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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille de révisions (12 juin 2014)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$.\\
Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=n^2$.

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à  $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à  $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à  $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à  $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à  l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
	\footnotesize	
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{|c}|}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 \\ \hline 
Valeur affichée	&\numprint{1,4142} &\numprint{1,9571} &\numprint{1,9986} \\
 \hline
$n$&15&20&\\
\hline
Valeur affichée	&\numprint{1,9999} &\numprint{1,9999}&\\
\hline

\end{tabular}
\end{center}
\normalsize

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à  afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à  $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à  $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&\\
				&\\ 
Sortie :		&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2013}}
On considère la suite\index{suite} $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

\begin{enumerate}
\item
  	\begin{enumerate}
  		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
  	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
  	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
  		\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
  		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
  		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2012}}
\textbf{VRAI ou FAUX ?}

\medskip 

\emph{Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Énoncé 1 :} Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite non constante de réels.
 
Pour tout entier $n$, on pose $u_{n} = \sin \left(a_{n}\right)$. 

\emph{Proposition $1$ : \og On peut choisir la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg} 
\item \textbf{Énoncé 2 :} Dans le plan complexe d'origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_{n}$ d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}}$.
 
\emph{Proposition $2$ : \og Les points \emph{O}, $M_{1}$ et $M_{20}$ sont alignés. \fg} 
\item \textbf{Énoncé 3 :} On considère une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x = 0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. 

\emph{Proposition $3$ : \og La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ \fg.} 

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6.4,-5)(12.8,5.5)
\psaxes[Dx= 50,Dy=2]{->}(0,0)(-6.4,-5)(12.8,5)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{12.8}{0.5  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
\rput(-3,5){Courbe 1}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\end{pspicture}
 
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-6.4,-2.2)(14.8,3)
\psaxes[Dx=50,Dy=2]{->}(0,0)(-6.4,-2.2)(14.8,3)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{14.8}{0.5  x mul RadtoDeg   cos 2 mul}
\rput(-3.5,3){Courbe 2}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\end{pspicture}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3.1,-1.5)(7.1,1.5)
\psaxes[Dx=50,Dy=0.5]{->}(0,0)(-3.1,-1.5)(6.7,1.3)
\rput(-1.5,1.4){Courbe 3} \uput[d](-3.14,0){$- \pi/2$}
\uput[d](3.14,0){$\pi/2$}\uput[d](6.28,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3.1}{6.7}{x  RadtoDeg   sin }
\end{pspicture} 

\item \textbf{Énoncé 4 :} On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point A(0~;~0~;~3) et le plan P d'équation $2x - y + z = 0$. 

\emph{Proposition $4$ : \og La sphère de centre \emph{A} et de rayon $2$ et le plan \emph{P} sont sécants. \fg} 


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
\textbf{Restitution organisée des connaissances}

On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^t}{t} = + \infty$.

Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}$. 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x)$.

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2012}}
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
 


\begin{tabular}{|l|p{5cm}|}
\hline
&Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ 
\textbf{Entrée}& Saisir un réel strictemenl positif non nul $b\: (b > a)$\\ 
&Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline 
&Affecter à $u$ la valeur $a$\\ 
\textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ 
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline 
&TANTQUE $n < N$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ 
\textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline 
\textbf{Sortie}& Afficher $u$,  afficher $v$\\ \hline
\end{tabular} 

\medskip

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4,\: b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline  
0 &4 &9&&\\ \hline 
1&&&&\\ \hline 
2&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
 
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : 

$u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : 
 
\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et 
		
$v_{n} > 0$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
		\item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2012}}
On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $x$ réelle :

\[\text{e}^{x} = 3\left(x^2 + x^3\right)\]

\bigskip

\textbf{PARTIE A : conjecture graphique}

\medskip

 Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\left(x^2 + x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

\medskip

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
%\draw[->,color=black] (-6.2,0) -- (3,0);
%\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2}
%\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
%\draw[->,color=black] (0,-5.2) -- (0,6.2);
%\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
%\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
%\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
%\clip(-6.2,-5.2) rectangle (3,6.2);
%\draw[line width=1pt, smooth,samples=100,domain=-6.2:3.0] plot(\x,{3*(\x)^2+2.9*(\x)^3)});
%\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-6.0:3.0] plot(\x,{exp(1.1*(\x))});
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $(E)$ et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

\bigskip

\textbf{PARTIE B : étude de la validité de la conjecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.
          \item En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
          \item Vérifier que $0$ n'est pas solution de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel $x$ de $]-1~;,~0[~\cup~ ]0~;~+\infty[$ par :
  
      \[h(x)=\ln 3 + \ln\left(x^2\right)+\ln(1 + x) - x.\]
      Montrer que, sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $h(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : \[h^{\prime}(x)=\frac{-x^2+2x+2}{x(x+1)}\]
          \item Déterminer les variations de la fonction $h$.
          \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
	\end{enumerate}
\item Conclure quant à la conjecture de la \textbf{partie A}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}








\label{fin}
\end{document}  