\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La suite $\left(v_{n}\right)$ est telle que $v_{0}=1$ et, pour tout $n$, 
$v_{n+1}=3v_{n}-1$.\\
Calculer $v_{2}$. Exprimer $v_{n+2}$ en fonction de $v_{n}$.

\subsection{}
$(u_{n})$ est la suite de terme général $u_{n}=\frac{n}{n^{2}+4}$. \\
Exprimer $u_{n+1}$, $u_{n}+1$, $u_{2n}$, $u_{n+2}$ et $u_{n}+2$ en 
fonction de $n$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+3}$ ; calculer $u_{4}$.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+n+3\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.\]Calculer $u_{4}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{5x+4}$ une fonction.

\begin{enumerate}
\item Sur quel ensemble est définie cette fonction ?

\item Étudier les variations de cette fonction.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{2n+3}{5n+4}$.\\
Que peut-on dire des variations de cette suite ?
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique.\\
On sait que $u_{4}=13$ et $u_{8}=29$.\\
Calculer $u_{0}$ et la raison de cette suite ; en déduire la valeur de $u_{20}$.

\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique.\\
On sait que $u_{2}=18$ et $u_{8}=\numprint{13122}$.\\
Calculer $u_{0}$ et la raison de cette suite ; en déduire la valeur de $u_{20}$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

%\vspace{1cm}
%\setcounter{subsection}{0}
%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices \no 1}}\end{center}
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\subsection{}
%La suite $\left(v_{n}\right)$ est telle que $v_{0}=1$ et, pour tout $n$, 
%$v_{n+1}=3v_{n}-1$.\\
%Calculer $v_{2}$. Exprimer $v_{n+2}$ en fonction de $v_{n}$.
%
%\subsection{}
%$(u_{n})$ est la suite de terme général $u_{n}=\frac{n}{n^{2}+4}$. \\
%Exprimer $u_{n+1}$, $u_{n}+1$, $u_{2n}$, $u_{n+2}$ et $u_{n}+2$ en 
%fonction de $n$.
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+3}$ ; calculer $u_{4}$.
%
%\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+n+3\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.\]Calculer $u_{4}$.
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%Soit $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{5x+4}$ une fonction.
%
%\begin{enumerate}
%\item Sur quel ensemble est définie cette fonction ?
%
%\item Étudier les variations de cette fonction.
%
%\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{2n+3}{5n+4}$.\\
%Que peut-on dire des variations de cette suite ?
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique.\\
%On sait que $u_{4}=13$ et $u_{8}=29$.\\
%Calculer $u_{0}$ et la raison de cette suite ; en déduire la valeur de $u_{20}$.
%
%\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique.\\
%On sait que $u_{2}=18$ et $u_{8}=\numprint{13122}$.\\
%Calculer $u_{0}$ et la raison de cette suite ; en déduire la valeur de $u_{20}$.
%
%\end{enumerate}
%
%
%\end{multicols}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Correction}}

\end{center}\setcounter{subsection}{0}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La suite $\left(v_{n}\right)$ est telle que $v_{0}=1$ et, pour tout $n$, 
$v_{n+1}=3v_{n}-1$.\\
$v_{1}=3v_{0}-1=3\times 1-1=\fbox{2}$ et $v_{2}=3v_{1}-1=3\times 2-1=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.\\
$v_{n+2}=3v_{n+1}-1=3\left(3v_{n}-1\right)-1=\boxed{\textcolor{red}{9v_{n}-4}}$

\subsection{}
$(u_{n})$ est la suite de terme général $u_{n}=\frac{n}{n^{2}+4}$. \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n+1}{n^{2}+2n+5}}}$.

\item $u_{n}+1=\frac{n}{n^{2}+4}+1=\dfrac{n+n^{2}+4}{n^{2}+4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n^{2}+n+4}{n^{2}+4}}}$.

\item $u_{2n}=\frac{2n}{(2n)^{2}+4}=\frac{2n}{4n^{2}+4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n}{2\left(n^{2}+1\right)}}}$.

\item $u_{n+2}=\frac{n+2}{(n+2)^{2}+4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n+2}{n^{2}+4n+8}}}$

\item $u_{n}+2=\frac{n}{n^{2}+4}+2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2n^{2}+n+8}{n^{2}+4}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+3}$.\\
$u_{4}=\dfrac{1}{4^{2}+3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{19}}}$.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+n+3\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.\]\\
La suite est définie \textbf{par récurrence} ; il faut calculer les termes successifs :\\
$u_{1}=u_{\textcolor{red}{0}+1)}=2u_{\textcolor{red}{0}}+\textcolor{red}{0}+3=5$.\\
$u_{2}=2u_{1}+1+3=14$.\\
$u_{3}=2u_{2}+2+3=33$.\\
$u_{4}=2u_{3}+3+3=72$.\\
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $\mathscr{D}_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{4}{5}\right\}$.

\item $f'(x)=-\dfrac{7}{(4x+5)^{2}}<0$ sur $\mathscr{D}_{f}$.

\item $u_{n}=f(n)$. $\mathbb{N}$ est inclus dans l'intervalle $\left]-\dfrac{4}{5~;~=\infty}\right[$ ; $f$ est décroissante sur cet  intervalle,  donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique.\\
On sait que $u_{4}=13$ et $u_{8}=29$.\\
$u_{8}-u_{4}=4r$ donc $\boxed{\textcolor{red}{r=4}}$.\\
$u_{4}=u_{0}+4r$ donc $u_{0}=u_{4}-4r=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$.\\

$u_{20}=u_{8}+12r=29+48=\boxed{\textcolor{red}{77}}$.

\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique.\\
On sait que $u_{2}=18$ et $u_{8}=\numprint{13122}$.\\
%Calculer $u_{0}$ et la raison de cette suite ; en déduire la valeur de $u_{20}$.
$\dfrac{u_{8}}{u_{2}}=q^{6}=\dfrac{13122}{18}=729$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{q=3}}$.\\

\noindent On en déduit $u_{2}=u_{0}q^{2}$ donc $u_{0}=\dfrac{u_{2}}{q^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.\\
On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n}=\boxed{\textcolor{red}{2\times 3^{n}}}$.

\noindent $u_{20}=u_{0}\times q^{20}=2\times 3^{20}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{6973568802}}}$.

\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  