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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : Exercices de bac sur les intervalles de fluctuation et \\ les intervalles de confiance}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord, mai 2013}}
\begin{center}
\emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à  385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à  385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 


\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
\hline
$x$&380&385&390&395&400\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5\\ \hline
\hline
$x$&405&410&415&420&\\
\hline
$P(X \leqslant x)$&0,675&0,818&0,914&0,965&\\
\hline
\end{tabular}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
\item Calculer la probabilité\index{probabilité} $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
 
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à  96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
 
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$. 
\item Parmi les $300$~pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation\index{intervalle de fluctuation} obtenu à  la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2013}}
\emph{Les $3$ parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.

L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :

\noindent 30~\% de musique classique, 45~\% de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
\end{itemize}

\medskip

On considérera les évènements suivants :
\begin{description}
\item[$C$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
\item[$V$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de variété \fg{} ;
\item[$J$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de jazz \fg{} ;
\item[$H$ :] \og Le morceau écouté est encodé en haute qualité \fg{} ;
\item[$S$ :] \og Le morceau écouté est encodé en qualité standard \fg.
\end{description}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{}.

\emph{On pourra s'aider d'un arbre de probabilités\index{arbre de probabilités}.}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
\item On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Les évènements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
		\item Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{} de son MP3, 60 morceaux de musique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95~\% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
\item Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction \og lecture aléatoire \fg{} du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à  chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $200$ et d'écart-type $20$.

\medskip

\emph{On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

On écoute un morceau musical au hasard.
\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près de \\
$P(180 \leqslant X \leqslant 220)$.
\item Donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près de la probabilité\index{probabilité} que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}
\textbf{Partie A}

\smallskip

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale\index{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité\index{probabilité} au moins égale à  \numprint{0,95}.\\

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à  \numprint{0,95}.

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On cherche à  étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à  choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.

On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

\begin{enumerate}
\item On interroge un étudiant au hasard. On note:
	\begin{description}
		\item[$A$] l'évènement \og l'étudiant répond $A$\fg{},
		\item[$B$] l'évènement \og l'étudiant répond $B$\fg{},
		\item[$C$] l'évènement \og l'étudiant répond $C$\fg{},
		\item[$R$] l'évènement \og l'étudiant connait la réponse\fg{},
		\item[$\overline{R}$] l'évènement contraire de $R$.
	\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation à  l'aide d'un arbre de probabilité.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
		\item Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à  effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
		\item Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de l'estimation de $p$.

En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de $r$.
		\item Dans la suite, on suppose que $r = \numprint{0,4}$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale\index{loi normale}.
			\begin{enumerate}
				\item Donner les paramètres de cette loi normale.
				\item Donner une valeur approchée de \\
				$P(X\leqslant 250)$ à  $10^{-2}$ près.
				
On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de \\
$P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question \textbf{2. c}.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  