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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur les probabilités conditionnelles}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion septembre 2009}}
Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40~\% à un deuxième et le reste à un troisième.

Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxième 95~\% et le troisième 85~\%. 
\begin{enumerate}
\item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
	\begin{enumerate}
		\item  Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.

		\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$.
	\end{enumerate}

\item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.\\
Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$.

%\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
%
%On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{-\nombre{1000}\lambda}$.
%
%		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
%
%\medskip
%
%La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilomètres sans crevaison étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$.
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2009}}

Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

 Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 

\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$T_{n}$}\taput{$u_{n}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
	\pstree{\TR{$P_{n}$}\tbput{$\ldots$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
}

\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$,\[ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2.\] 
		\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{La Réunion jun 2010}}

\textbf{Partie I :}

\medskip
 
On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires. 
\item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.
 
Démontrer que la probabilité de l'évènement C est égale à $\dfrac{7}{18}$. 
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes. 
\item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II :}

\medskip
 
On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ;

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue; 
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation. 
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer?
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ? 
\end{enumerate}


\end{multicols} 

%\newpage
%\setcounter{subsection}{0}
%\begin{center}
%\subsection*{\textcolor{red}{Correction}}
%\end{center}
%
%\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion septembre 2009}}
%%Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à  un premier fournisseur, 40~\% à  un deuxiéme et le reste à  un troisiéme.\\
%%Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxiéme 95~\% et le troisiéme 85~\%. 
%\begin{enumerate}
%\item %Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
%\begin{enumerate}
%\item  %Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à  0,875.
%F$_{1}$ désigne l'événement : \og le pneu provient du fournisseur 1 \fg.
%
%D désigne l'événement : \og le pneu présente un défaut \fg.
%
%On a l'arbre suivant :
%
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{F$_{1}$}\taput{0,3}}
%	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,8}
%	\TR{D}\tbput{0,2}
%	}
%\pstree{\TR{F$_{2}$}\taput{0,4}}
%	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,95}
%	\TR{D}\tbput{0,05}
%	}
%\pstree{\TR{F$_{3}$}\tbput{0,3}}
%	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,85}
%	\TR{D}\tbput{0,15}
%	}
%}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%D'aprés le théoréme des probabilités totales :
%
%$p\left(\overline{\text{D}}\right) = p\left(\text{F}_{1} \cap \overline{\text{D}}\right) + p\left(\text{F}_{2} \cap \overline{\text{D}}\right) + p\left(\text{F}_{3} \cap \overline{\text{D}}\right)$ soit 
%
%$p\left(\overline{\text{D}}\right) = 0,3 \times 0,8 + 0,4 \times 0,95 + 0,3 \times 0,85 = 0,24 + 0,38 + 0,255 = 0,875$.
%%\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxiéme fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à  10$^{-3}$.
%On a $p_{\overline{\text{D}}}\left(\text{F}_{2}\right) = \dfrac{p\left(\overline{\text{D}} \cap \text{F}_{2} \right)}{p\left(\overline{\text{D}} \right)} = \dfrac{0,4 \times 0,95}{0,875} = \dfrac{0,38}{0,875} \approx 0,434$.
%
%\end{enumerate}
%
%\item %Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à  un tirage avec remise de dix pneus.\\
%%Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à  10$^{-3}$.
%La variable aléatoire donnant le nombre de pneus ayant un défaut suit une loi binomiale de probabilité $1 - 0,875 = 0,125$ avec $n = 10$.
%
%La probabilité cherchée est donc égale à  :
%
%$p(\text{D}\leqslant 1) = p(\text{D} = 0) + p(\text{D} = 1) = 0,125^0\times 0,875^{10} + \displaystyle\binom{10}{1}\times 0,125^1 \times 0,875^9 = 0,875^{10} + 10 \times 0,125 \times 0,875^9 \approx{0,6388} \approx{0,639}$ au milliéme prés
%\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2009}}
%
%%Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.
%
%%On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.
%
%%Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
% 
%%Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
%  
%%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : 
%
%%\setlength\parindent{5mm}
%%\begin{itemize}
%%\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
%%\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
%%\end{itemize}
%%\setlength\parindent{0mm}
%
%%On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
%%\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
%%où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.
% 
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item  %Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$.
%$T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5.$
%
%D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2$.
%
%Toujours d'apr\`es lénoncé $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3$.
%
%		\item  %Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$.
%D'après le principe des probabilités totales :
%
%$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$
% 
%		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
%		
%\begin{center} 
%
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%{
%	\pstree{\TR{}\taput{$u_{n}$}}
%		{
%\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$0,3$}
%\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$0,7$}
% 		}
%	\pstree{\TR{}\tbput{$1 - u_{n}$}}
%		{
%\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$0,2$}
% \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$0,8$}
% 		}
%}
%
%\end{center} 
%		\item %Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$.
%Toujours d'après le principe des probabilités totales :
%
%$u_{n+1} = p\left(T_{n+1}\right) = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) = u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2 = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n} = 0,1u_{n} + 0,2$.
%		\item %À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;\:u_{5} = 0,2225$.
%
%Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
%	\end{enumerate} 
%\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
%%\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
%	\begin{enumerate}
%		\item  %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
%$v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{2}{9} = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45} = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{10}v_{n}.$
%
%La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est $v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}$.
%		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
%On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.
%
%Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  
%		\item %Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
%Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.
%
%Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
%
%\subsection{\textcolor{blue}{La Réunion juin 2010}}
%
%\subsection*{Partie I}
%
%On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.
%
%Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
%
%On note $V_1$, $N_1$ et $R_1$ (respectivement $V_2$, $N_2$ et $R_2$) la couleur obtenue au premier (respectivement second) jet.
% 
%\begin{enumerate}
%\item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires:
%\[
% \text{Les deux jets étant indépendants, nous pouvons écrire:}\ p(N_1\cap N_2)=p(N_1)\times p(N_2)=\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9}
%\]
% 
%\item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.
%\[
% p(C)= p(V_1\cap V_2)+ p(N_1\cap N_2)+ p(R_1\cap R_2)=p(V_1)\times p(V_2)+p(N_1)\times p(N_2)+p(R_1)\times p(R_2)=\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2+\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{7}{18}
%\]
% 
%\item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes:
%\[
% p(\overline{C})=1-p(C)=1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18}
%\]
% 
%\item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes:
%\[
%V\subset C \Longrightarrow C\cap V=V  \Longrightarrow p_C(V)=\frac{p(C\cap V)}{p(C)}=\frac{p(V)}{p(C)}=\cfrac{\left(\cfrac{1}{6}\right)^2}{\cfrac{7}{18}}=\frac{1}{36}\times\frac{36}{14}=\frac{1}{14}
%\]
%
%\end{enumerate}
%
%\subsection*{Partie II}
%
%On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé $B$ ;
%
%\begin{itemize}
%\item si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue; 
%\item si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue.
%\end{itemize}
%
% 
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Arbre de probabilités traduisant cette situation.:
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%    \tikzstyle{level 1}=[level distance=2cm, sibling distance=2cm]
%    \tikzstyle{level 2}=[level distance=2cm, sibling distance=0.85cm]
%    \node{}[grow=right]
%    child{node{$V$}
%      child{node{$V$}                     edge from parent node[below]{\textcolor{red}{\scriptsize{$2/3$}}}}
%      child{node{$N$}           	edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/3$}}}
%     edge from parent node[below]{$\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}$}}
%    child{node{$N$}
%      child{node{$V$}           edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/6$}}}
%      child{node{$N$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$2/6$}}}
%      child{node{$R$}           edge from parent node[above]{\scriptsize{$3/6$}}}
%      edge from parent node[above]{$\frac{1}{3}$}};
%\end{tikzpicture}                 \end{center} 
%		\item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer:
%\[
% \textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)=\frac{2}{3}}
%\]
%
%	\end{enumerate} 
%\item Probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$:
%\[
% p(V_1\cap V_2)=\textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)}\times \textcolor{blue}{p(V_1)}=\textcolor{red}{\frac{2}{3}}\times \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}
%\]
%
%\item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer :
%\[
%p(V_2)=p(N_1\cap V_2)+p(V_1\cap V_2)=p_{N_1}(V_2)\times p(V_1)+p_{V_1}(V_2)\times p(V_1)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}
%\]
%\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  