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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de démonstration par récurrence}}\end{center}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 7$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = 2 \times  u_n – 3$.

Démontrons par récurrence que pour tout entier $n$, $P(n)$ : $u_n=2^{n+2}+3$.

\subsection{}
Démontrer que pour tout $n\geqslant 1$, $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)[2n+1]}{6}$.

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$.\\
Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=n^2$.

\subsection{}
Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $S_n=1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.
\label{fin}
\end{document}  