\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\;}} 
\DeclareMathOperator{\e}{e} 
\renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}.} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}
\begin{center}
   \section*{\fbox{\textcolor{red}{\textbf{Rappels de trigonométrie}}}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Notions élémentaires}}}}
\fbox{\parbox{8cm}{$M$ a pour coordonnées : $M\left(\cos x~;~\sin x\right)$\\
$\cos x=x_{M}\in[-1~;~1]\\
\sin x=y_{M}\in[-1~;~1]\\
\cos(x+2\pi)=\cos x\\
\sin(x+2\pi)=\sin x$}}\hfill
\parbox{10cm}{\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psset{xunit=2.5,yunit=2.5}
\pscircle(0,0){2.6}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(1,0)
\psline{->}(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,.5){$\overrightarrow{v}$}
\psline(0.867,0.5)
\psarc{->}(0,0){1.2}{0}{30}
\uput[r](0.45,0.2){x}
\uput[r](0.867,0.5){$M$}
\psline[linestyle=dashed](0.867,0)(0.867,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.867,0.5)(0,0.5)
\uput[d](0.867,0){\tiny{$\cos x$}}\uput[ur](0,0.5){\tiny{$\sin x$}}
\end{pspicture}}

On oriente le cercle trigonométrique , en tournant dans le sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre.

\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Valeurs remarquables}}}}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x\text{ en radians }&\begin{minipage}{2cm}\begin{center}
0\end{center}\end{minipage}&\begin{minipage}{2cm}\begin{center}
$\frac{\pi}6$
\end{center}\end{minipage}&\begin{minipage}{2cm}\begin{center}
$\frac{\pi}4$
\end{center}\end{minipage}&\begin{minipage}{2cm}\begin{center}
$\frac{\pi}3$
\end{center}\end{minipage}&\begin{minipage}{2cm}\begin{center}
$\frac{\pi}2$
\end{center}\end{minipage}\\
\hline
\cos x&1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac1{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}2&\frac12&0\\
\hline
\sin x&0&\frac12&\frac1{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}2&\frac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&0&\frac1{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}3&1&\sqrt{3}&\text{\textcolor{red}{non défini}}\\
\hline
\end{array}$\\


\bigskip

Les valeurs pour les angles $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{4}$ s'obtiennent facilement à l'aide de calculs trigonométriques dans un triangle équilatéral coupé par une hauteur pour avoir un triangle rectangle et un triangle rectangle isocèle.\\

\noindent Il faut savoir placer les angles sur un cercle trigonométrique.
On a notamment $\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$ et $\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$ donc on trace les droites d'équations $x=\dfrac{1}{2}$ et $y=\dfrac{1}{2}$.\\
On trace alors la droite passant par l'origine O et l'intersection de ces deux droites, qui correspond à la bissectrice, correspondant à l'angle $\dfrac{\pi}{4}$



\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Cercle trigonométrique}}

\bigskip


\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psset{xunit=4,yunit=4}
%cercle
\pscircle(0,0){4}
%Diamètres
\psline(0,-1)(0,1)\psline(-1,0)(1,0)
%Graduations
\uput[l](-1,0){$\pi$}\uput[r](1,0){$0$}\uput[dl](0.5,0){$\frac12$}\uput[dl](0.707,0){$\frac{\sqrt{2}}2$}
\uput[dl](0.866,0){$\frac{\sqrt{3}}2$}\uput[l](0,0.5){$\frac12$}\uput[l](0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}2$}\uput[l](0,0.866){$\frac{\sqrt{3}}2$} 
%Lignes horizontales
\psline[linewidth=2pt](-1,0)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,0.5)(0.866,0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0.866)(0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,-0.5)(0.866,-0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)
%Lignes verticales
\psline[linewidth=2pt](0,-1)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,-0.866)(-0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,-0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,-0.5)(-0.866,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.5,-0.866)(0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](0.707,-0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](0.866,-0.5)(0.866,0.5)
%Rayons
\psline(0.866,0.5)
\psline(0.707,0.707)
\psline(0.5,0.866)
\psline(-0.866,0.5)
\psline(-0.707,0.707)
\psline(-0.5,0.866)
\psline(0.866,-0.5)
\psline(0.707,-0.707)
\psline(0.5,-0.866)
\psline(-0.866,-0.5)
\psline(-0.707,-0.707)
\psline(-0.5,-0.866)
%Angles
\uput[r](0.866,0.5){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[r](0.707,0.707){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[r](0.5,0.866){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[r](0,1){$\frac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Configuration du rectangle}}}}
Soit $x$ un réel. Les points correspondant aux angles $x$, $\pi-x$, $\pi+x$ et $x$ forment un rectangle.\\
En utilisant les symétries par rapport aux deux axes, on trouve : 
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{5cm}
$\cos(-x)=\cos x\\
\sin(-x)=-\sin x\\
\cos(\pi-x)=-\cos x\\
\sin(\pi-x)=\sin x\\
\cos(\pi+x)=-\cos x\\
\sin(\pi+x)=-\sin x$
\end{minipage}}
\end{center}
%%%%%%%%%


\begin{center}
\psset{xunit=3,yunit=3}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pscircle(0,0){3}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(-1,0)(1,0)
\psline{->}(0,-1)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,.6){$\overrightarrow{v}$}
\pspolygon[linestyle=dashed](0.867,0.5)(-0.867,0.5)(-0.867,-0.5)(0.867,-0.5)
\uput[r](0.867,0.5){$x$}\uput[l](-0.867,0.5){$\pi-x$}\uput[l](-0.867,-0.5){$x+\pi$}\uput[r](0.867,-0.5){$-x$}
\psarc{->}(0,0){1.2}{0}{30}
\psline(0.867,0.5)
\uput[r](0.6,0.1){$x$}
\psline[linestyle=dashed](0.867,0)(0.867,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.867,0.5)(0,0.5)
\uput[d](0.867,0){\tiny{$\cos x$}}\uput[ur](0,0.5){\tiny{$\sin x$}}
\end{pspicture}

\end{center}
\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Configuration des angles complémentaires}}}}
\parbox{12cm}{Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut $\frac{\pi}2$. L'angle complémentaire de $x$ est $\frac{\pi}2-x$.\\
Les points correspondants du cercle trigonométrique sont symétriques par rapport à la première bissectrice, d'équation $y=x$, qui transforme un point de coordonnées $(x~;~y)$ en un point de coordonnées $(y~;~x)$.\\\\
On en déduit : \\\\
\fbox{\parbox{4cm}{$\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)=\sin x\\
\sin\left(\frac{\pi}2-x\right)=\cos x$}}}\hfill\parbox{6cm}{\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psset{xunit=3,yunit=3}
\pscircle(0,0){3}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(-1,0)(1,0)
\psline{->}(0,-1)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[r](0.867,0.5){\tiny{$x$}}
\uput[ur](0.5,0.867){\tiny{$\left(\frac{\pi}2-x\right)$}}
\uput[u](-0.5,0.867){\tiny{$\left(\frac{\pi}2+x\right)$}}
\psline(0.5,0.867)\psline(-0.5,0.867)
\psarc{->}(0,0){1.2}{0}{30}
\uput[u](0,1){\tiny{$\frac{\pi}2$}}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=red](-0.8,-0.8)(0.8,0.8)
\psline(0.867,0.5)
\uput[r](0.6,0.1){$x$}
\end{pspicture}}

\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Angle augmenté de $\frac{\pi}2$ }}}}
\noindent En utilisant les formules ci-dessus et en effectuant une symétrie par rapport à l'axe imaginaire, on trouve : \\\\
\fbox{\parbox{8cm}{$\cos\left(x+\frac{\pi}2\right)=-\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)=-\sin x\\
\sin\left(x+\frac{\pi}2\right)=\sin\left(\frac{\pi}2-x\right)=\cos x$}}\\\\


\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{Formules d'addition}}}
On a :\\
\fbox{\parbox{6cm}{$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$}}\\\\

En prenant $-b$ à la place de $b$, on obtient : \\\\
\fbox{\parbox{6cm}{$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$}}\\\\

En prenant $a=b$, on trouve les formules de duplication: \\\\
\fbox{\begin{minipage}{10cm}$\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2cos^2a-1=1-2\sin^2a$ \\
$\sin(2a)=2\sin a\cos a$
\end{minipage}}

\bigskip

Pour $\cos(2a)$, on utilise $\cos^2a+\sin^2a=1$\\

\subsection*{\textcolor{blue}{\textbf{\underline{Formules de linéarisation}}}}
Les formules de duplication donnent : \\\\
\fbox{\parbox{4cm}{$\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}2$\\
$\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}2$}}\\\\


\label{fin}
\end{document} 
