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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fluctuation et estimation}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents
\bigskip

\subsection{\textcolor{red}{Identification de la situation}}
On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant chacun un grand nombre de boules, rouges ou bleues.
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\begin{minipage}{9cm}
Dans l'urne $U_1$, on connaît la proportion $p$ de boules rouges.

On procède à des tirages, avec remise, de $n$ boules et on observe la fréquence d'apparition d'une boule rouge.

Cette fréquence change à chaque série des $n$ tirages. Celle-ci appartient à un \og{}intervalle de fluctuation\fg{} de centre $p$, dont l'amplitude diminue avec $n$.

On est ici dans le domaine de \textbf{l'échantillonnage} et de \textbf{l'intervalle de fluctuation}.
\end{minipage}&
\begin{minipage}{9cm}
Dans l'urne $U_2$, on \textbf{ignore} la proportion de boules rouges.

On effectue des tirages avec remise de $n$ boules ; on essaye alors d'estimer la proportion $p$ de boules rouges dans l'urne, proportion dont on n'a aucune idée \emph{a priori}.

Cette estimation se fait au moyen d'un \og{} intervalle de confiance\fg{}. Cet intervalle dépend d'un coefficient, le \og{}niveau de confiance\fg{} que l'on attribue à l'estimation.

On est ici dans le domaine de \textbf{l'estimation} et de \textbf{l'intervalle de confiance}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}



\subsection{\textcolor{red}{Échantillonnage, intervalle de fluctuation asymptotique}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalle de fluctuation pour une loi binomiale}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$ et soit $\alpha\in]0~;~1[$.\\
$\left[\dfrac{a}{n}~;~\dfrac{b}{n}\right]$ est un intervalle de fluctuation au seuil $1-\alpha$  signifie que $P(a\leqslant X\leqslant  b) = 1-\alpha$.\\
On choisit $a$ le plus petit  entier tel que $p(X\leqslant a)>0,025$.\\On choisit $b$ le plus grand  entier tel que $p(X\leqslant b)>0,975$.
\end{bclogo}

\subsubsection{I\textcolor{blue}{Intervalle de fluctuation asymptotique}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème et définition}}
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$. et soit $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<1$.

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0~;~1)$, on appelle $u_{\alpha}$ l'unique réel  tel que $p\left(-u_{\alpha}\leqslant X\leqslant u_{\alpha}=1-\alpha\right)$.

On appelle $I_{\alpha}$ l'intervalle $I_n=\left[p-u_{\alpha}\dfrac{p(1-p)}{\sqrt{n}}~;p+u_{\alpha}\dfrac{p(1-p)}{\sqrt{n}}~\right]$.\\
Alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}p\left(\dfrac{X_n}{n}\in I_n\right)=1-\alpha$.\\

L'intervalle $I_n$ contient la fréquence $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ avec une probabilité qui se rapproche de $1-\alpha$ lorsque $n$ augmente : on dit que c'est un intervalle de fluctuation asymptotique  de $F_n$ au seuil $1-\alpha$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}

On pose $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np[1-p]}}$ et on applique le théorème de Moicre-Laplace.

Si $X$ est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0~;~1)$, on appelle $u_{\alpha}$ l'unique réel tel que $p\left(-u_{\alpha}\leqslant X\leqslant u_{\alpha}\right)=1-\alpha$. (voir chapitre précédent).

$\lim_{n\rightarrow +\infty}p\left(Z_n\in[-u_{\alpha}~;~u_{\alpha}]\right)=p\left(X\in\left[-u_{\alpha}~;~u_{\alpha}\right]\right)=1-\alpha$.

Or $Z_n\in\left[-u_{\alpha}~;~u_{\alpha}\right]\iff -u_{\alpha}\leqslant \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant u_{\alpha}.\iff np-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}\leqslant X_n\leqslant np+u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}\\
\iff p-u_{\alpha}\dfrac{p(1-p)}{\sqrt{n}}\leqslant \dfrac{X_n}{n}\leqslant p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ (en divisant tout par $n$).

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple} :}
On a une urne contenant des boules bleues et rouges ; la proportion de boules rouges est $p=0,4$.

\noindent On tire 50 boules ; on souhaite déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil $\alpha=0,1$.\\
À la calculatrice, on trouve $u_{0,1}\approx 1,645$ (on cherche $\beta$ tel que $F(Z\leqslant \beta)=1-\dfrac{\alpha}{2}=0,95$) où $F$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

\noindent L'intervalle de fluctuation est donc $I_{50}=\left[0,4-u_{0,1}\dfrac{\sqrt{0,4\times 0,6}}{\sqrt{50}}~;~0,4+u_{0,1}\dfrac{\sqrt{0,4\times 0,6}}{\sqrt{50}}\right]=[0,286~;~0,514]$.

\noindent Ainsi, en effectuant 50 tirages dans cette urne, la fréquence d'apparition d'une boule rouge est comprise entre 0,286 et 0,514 avec une probabilité de 0,9.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque : }}Pour 500 tirages, toujours avec une probabilité de 0,9, on obtient comme intervalle de fluctuation $I_{500}=[0,364~;~0,436]$ ; l'amplitude de l'intervalle a été divisée par plus de trois.

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Cas particulier}} :  On sait que, pour $\alpha=0,05$, on a $\boxed{\textcolor{red}{u_{\alpha}\approx 1,96}}$.\\

On en déduit :\\
\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'intervale de fluctuation au seuil de 0,95 de la variable aléatoire fréquence $F$ est défini par : \[\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\]
\end{bclogo}

\bigskip
\newpage
Illustration du calcul de $u_{0,05}$ : 
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-0.1)(7,0.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-0.1)(5,0.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.02]{\psplot{-1.96}{1.96}{EXP((-(x)^(2))/(1^(2)*2))/(abs(1)*sqrt(PI*2))}\lineto(1.96,0)\lineto(-1.96,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{EXP((-(x)^(2))/(1^(2)*2))/(abs(1)*sqrt(PI*2))}
\psline(1.82,-0.1)(1.82,0.5)
\psline(-1.96,-0.1)(-1.96,0.5)
\rput[tl](-0.54,0.2){$\mathscr{A}=0,95$}
\rput[tl](3.74,0.22){$\dfrac{0,05}{2}=0,025$}
\psline{->}(3.66,0.14)(2.3,0.02)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-8.2,-0.03){$f$}
\rput[bl](1.98,0.86){$a$}
\rput[bl](-1.8,0.86){$b$}
\rput[bl](-0.12,0.02){\zzttqq{$c = 0.95$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.66,0.14)
%\rput[bl](3.74,0.15){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.3,0.02)
%\rput[bl](2.38,0.03){\blue{$B$}}
%\rput[bl](3.02,0.08){$u$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.31,0.11)
\rput[bl](3.38,0.12){\xdxdff{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : cet intervalle est inclus dans l'intervalle vu en seconde : $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : Soit $f:p\mapsto p(1-p))$.\\
$f(p)=p-p^{2}$ ; $f'(p)=1-2p$ ; $f'(p)=0\Leftrightarrow p=\dfrac{1}{2}$ ; $f'(p)\geqslant 0\Leftrightarrow p\leqslant \dfrac{1}{2}$.\\
On en déduit que $f$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ et ce maximum est $\dfrac{1}{4}$.\\
On peut donc majorer 1,96 par 2 et $\sqrt{p(1-p)}$ par $\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$ donc $1,96\sqrt{p(1-p)}$ par $2\times \dfrac{1}{2}=1$.\\
L'intervalle $\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ est donc bien inclus dans $\left[p-\dfrac{1}{n}~;~p=\dfrac{1}{n}\right]$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Prendre une décision à partir d'une intervalle de décision}}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : pour tester un hypothèse à l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique, on doit vérifier que les conditions d'utilisation suivantes sont vérifiées :

$n\geqslant 30$~;~$np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$.

Si ces conditions sont vérifiées, on calcule l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_n$ au seuil $1-\alpha$ (en général, 0,95).

Si la fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle $I_n$, on rejette j'hypothèse.

%\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
%
%M. et Mme Parent attendent un enfant. Comme la plupart d'entre nous, ils pensent qu'il y a une chance sur deux d'avoir une fille.\\
%En se rendant sur le site de l'INED, ils apprennent qu'en 2010, en France Métropolitaine, sur un échantillon de \numprint{802224} naissances, il y a eu \numprint{410140} gar\c cons, soit une fréquence $F=0,51$.\\
%On souhaite savoir si cette valeur observée de la fréquence aléatoire $F_{n}$ permet de remettre en cause l'hypothèse du coupe Parent, au seuil de 5\:\%.
%
%
%\begin{enumerate}
%\item On fait l'hypothèse que le couple Parent a raison et qu'une naissance est une expérience aléatoire de probabilité $p=0,5$ d'avoir un gar\c con.\\
%On note $X_{n}$ la variable aléatoire comptant le nombre de gar\c cons d'un échantillon aléatoire de $n$ futures naissances.\\
%
%\noindent $X_{n}$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(\numprint{802224}~;~0,5)$.
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% est :\\
%$I_{n}=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]=[0,499~;~0,501]$.
%
%\item Les conditions d'application sont vérifiées :\\
%$n=802224>30$ ; $np=n(1-p)=\numprint{401112}>5$.
%\end{enumerate}
%
%\item \textbf{\textcolor{red}{Règle de décision}}\\
%Si la fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95\:\%, alors l'hypothèse sur la valeur $p$ \textbf{\textcolor{blue}{acceptable}} ; sinon, elle est \textbf{\textcolor{blue}{rejetée}} au seuil de 5\:\%.\\
%
%\noindent La fréquence observe 0,51 n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique ; on peut donc rejeter l'hypothèse d'avoir une chance sur deux d'avoir un gar\c con au seuil de 5\:\%.
%
%\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}

Dans un casino, il a été décidé que les \og{}machines à sous\fg{} doivent être réglées sur une fréquence de gain du jouer de $p=0,6$.

Une fréquence inférieure est supposée faire fuir le client et une fréquence supérieure ruiner le casino.

Trois contrôleurs différents vérifient une même machine.

Le premier a joué 50 fois et gagné 2 fois, le deuxième a joué 120 fois et gagné 14 fois et le troisième a joué 400 lis et ganté 30 fois.

En utilisant à chaque fois l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95\:\%, quelle décision a pu rendre le contrôleur ?

\textbf{\textcolor{blue}{Solutions}}:

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Premier contrôleur} : $n=50\geqslant 30$ mais $np=50\times 0,06=3<5$ donc les coincions ne sont pas réunies.

\item \textbf{Deuxième contrôleur} : $n=120>30$ ; $np=7,2>5$ ; $n(1-p)=112,8>5$ : les conditions sont réunies.

$I_{120}=\left[0,06-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,06\times 0,94}}{\sqrt{120}}~;~0,06+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,06\times 0,94}}{\sqrt{120}}\right]\approx [\numprint{0,0175}~;~\numprint{0,1025}]$.

La fréquence observée est $f_2=\dfrac{14}{120}\approx \numprint{0,1167}\notin I_{120}$. Le contrôleur est conduit à rejeter l'hypothèse que $p=0,06$ (il a trop souvent gagné).

\item \textbf{Troisième contrôleur} : $n=400>30$ ; $np=24>5$ ; $n(1-p)=376>5$ : les conditions sont réunies.

$I_{400}=\left[0,06-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,06\times 0,94}}{\sqrt{400}}~;~0,06+1,9§\times \dfrac{\sqrt{0,06\times 0,94}}{\sqrt{400}}\right]\approx [\numprint{0,0367}~;~\numprint{0,0833}]$.

La fréquence observée est $f_3=\dfrac{30}{400}=\numprint{0,075}\in I_{400}$.. Le contrôleur est conduit à accepter l'hypothèse que $p=0,06$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Intervalle de confiance}}
Dans ce paragraphe, la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est inconnue ; on essaye de l'estimer à partit d'un échantillon pris dans la population.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Pour tout $\alpha\in]0~;~1[$, un \textbf{intervalle de confiance} pour une proportion $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ est la réalissation, à partir d'un échantillon,  d'un \textbf{intervalle aléatoire} contenant la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $1-\alpha$.
\end{bclogo}
\bigskip

\bigskip

Il y a plusieurs intervalles de confiance possibles.\\

En Terminale, on considère celui-là :

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 05\:\% est l'intervale $I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$où $f$ ets la fréquence observée du caractère sur un échantillon de taille $n$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple d'application :}}

Lors d'un scrutin électoral, on souhaite connaître la proportion $p$ de français votant pour le candidat \og{} A\fg. \\
L'institut SOFOS mène une enquête auprès de \numprint{1000} personnes tirées au hasard et avec remise (c'est-à-dire qu'une même personne peut éventuellement être choisie plusieurs fois). Le résultat indique qu'une proportion $f= 49\:\%$ d'entre elles voteront pour le candidat \og{} A\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par le nombre de personnes votant pour \og{} A\fg{} dans une enquête avec  remise effectuée auprès de \numprint{1000} personnes ? 

\item Étant donné le résultat de l'enquête SOFOS. donner un intervalle de confiance à 95\:\% pour l'estimation de $p$. 


\item Peut-on affirmer d'après l'enquête que le candidat \og{}A\fg{} n'aura pas la majorité des votes, c'est- à-dire que p < 0,5 ? 

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Solution}}
\begin{enumerate}
\item ¿ chaque étape de l'enquête, il y a une probabilité $p$ de tirer une personne votant pour \og{} A \fg{}, car on procède à des tirages avec remise. De plus, les \numprint{1000} tirages sont effectués de façon indépendante. L'enquête est donc un schéma de Bernoulli dont chaque succès correspond à tirer une personne  votant pour \og{} A \fg{}, \\
Le nombre de personnes votant pour \og{}A\fg{} dans l'enquête suit donc une loi binomiale $\mathscr{B(\numprint{1000}~;~p)}$ où $p$ est inconnu. 

\item Notons $F$ la proportion de personnes votant pour \og{}A\fg{} parmi \numprint{1000}.\\
D'après le cours, si $n\geqslant 30$, $np > 5$ ,$n(1-p)>5$, un intervalle de confiance au niveau  95\\\%  pour $p$ est $\left[F-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~F+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]$.\\
Ici, $n=\numprint{1000}>30$, $np\geqslant 5\Leftrightarrow p\geqslant 0,005$ et $n(1-p)\geqslant 5\Leftrightarrow p\leqslant 0,995$.\\
On ne connaît pas $p$, mais au vu de l'elnquête, $f=0,49$, donc on peut raisonnablement penser que $p$ les conditions sont vérifiées.\\
L'intervalle de confiance est $\left[0,49-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~0,49+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]=[0,458~;~0,522]$.


\item L'intervalle de confiance précédent montre qu'i est tut à fait possible que $p\geqslant 0,5$.\\
 Donc il n'est pas raisonnable d'affirmer suite à l'enquête que le candidat \og{}A\fg{} n'obtiendra pas majorité des votes. 


\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple :}}
Dans une urne contenant des boules rouges et bleues en proportions inconnues, on effectue des tirages au hasard avec remise. 

\begin{enumerate}
\item Après avoir effectué 100 tirages, on compte 52 boules rouges et 48 boules bleues.\\
Donner un intervalle de confiance à 95\:\% de la proportion $p$ de boules rouges dans l'urne. 

\item Combien faudrait-il, au minimum, effectuer de tirages pour obtenir un intervalle de confiance à 95\:\% de longueur inférieure ou égale à $2\times 10^{-2}$ (c'est-à-dire une précision d'au moins 0,02) ? 

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}


\begin{enumerate}
\item  Avec $n = 100$ et $f = 0,52$, on a $f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42$ et $f +\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,62$. Un intervalle de confiance à 95\:\% de la proportion $p$ de boules rouges dans l'urne est: [0.42~;~0,62].

\item On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant 10^{-2}$. On trouve $n\geqslant 10^{4}$.\\
En prélevant au moins \numprint{10000} boules, on obtient un intervalle de confiance à 95\:\% à la précision 0,02.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Exercice (livre Math'x)}}

Pour décider la construction d'un grand stade, une municipalité veut sonder la population pour estimer  si  plus de 50\:\% des électeurs y sont favorables. 

\begin{enumerate}[1.]
\item  La municipalité réalise un sondage aléatoire de taille 100 et obtient 54 avis favorables. 

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la fréquence $f$ d'avis favorables sur ce sondage ? 


\item La municipalité peut-elle décider la construction du stade en prétextant que plus de 50\:\% de la population est favorable? 

\end{enumerate}

\item 
On suppose que la municipalité réalise un sondage de taille $n$ et que la fréquence $f$ des votes favorables reste égale à 0,54.\\
Si $p$ est la proportion (inconnue) d'avis favorables dans la population, donner l'expression d'un intervalle de confiance de $p$ au niveau de 95\:\%.

\item La municipalité ne construira le stade que si la proportion $p$ d'avis favorables dépase 50\:\%.

\begin{enumerate}[a)]
\item  Montrer que pour avoir $p > 0,5$, au seuil de confiance de 95\:\%, il suffit d'avoir: $0,54 - \dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5$.


\item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ à partir duquel l'inéquation est vérifiée. 


\item Si le sondage, avec la même fréquence observée portait sur 650 personnes, pensez-vous que le stade serait construit ? 

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}

\begin{enumerate}[1.]
\item 

\begin{enumerate}[a)]
\item $f=0,54$

\item Au niveau de confiance de 95\:\%, l'intervalle de confiance est $\left[0,54-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~0,54+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]=[0,44~;~0,64]$.\\
On ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95\:\%, $p>0,5$. La réponse est non.

\end{enumerate}

\item $I_{n}=\left[0,54-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour avoir $p>0,5$, il suffit, au niveau de confiance de 95\:\%, d'avoir $0,54-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5$.

\item Cela équivaut à $n>625$ donc $n_{0}=626$.

\item Pour $n=650$, on aurait $p>0,5$ avec un niveau de confiance de 95\:\%. Le stade serait construit.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  