\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\intervalle}[4]{\mathopen{#1}#2
                            \mathclose{}\mathpunct{};#3
                            \mathclose{#4}}
\newcommand{\intervalleff}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervalleof}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervallefo}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\intervalleoo}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\N}{\ensemblenombre{N}}
\newcommand{\Z}{\ensemblenombre{Z}}
\newcommand{\Q}{\ensemblenombre{Q}}
\newcommand{\R}{\ensemblenombre{R}}
\newcommand{\C}{\ensemblenombre{C}}
\newcommand{\diff}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\norme}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille (2)}}\end{center}

\subsection{}
Pour tout $n$, $u_n=\sum_{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+\cdots+(2n-1)$.\\
$u_n$ est donc la somme des $n$ premiers nombres impairs.\\
\textcolor{blue}{Soit $P_n$ la proposition : pour tout $n\geqslant 1$, $\og{} u_n=n^2\fg$.}\\
Démontrons $P_n$ par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation} :} pour $n=1$, $n^2=1^2$ et $u_1=1$ donc $u_1=1^2$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité :}}on suppose la propriété $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque.\\
Par conséquent : $u_n=n^2$.\\
Alors : $u_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=u_n+(2\times (n+1)-1)=u_n+(2n+1)=\textcolor{red}{n^2}+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ (identité remarquable).\\
La propriété est vraie au rang $~+1$.\\
Elle est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item On a: $u_0=\boxed{\textcolor{red}{1}}$, $u_1=\sqrt{2u_0}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$, $u_2=\sqrt{2u_1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2\sqrt{2}}}}$ et 
		
		$u_3=\sqrt{2u_2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}}=1.8340$ à $10^{-4}$ près
		
		
		\item Cet algorithme permet le calcul du terme de rang $n$. 
		\item D'après le tableau des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$, on peut conjecturer que la suite est \textbf{croissante} et \textbf{majorée par 2}.
		

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons par \textbf{récurrence} que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		
		\textbullet ~~\textbf{\textcolor{red}{Initialisation}}
		
		On a $u_0=1$ donc $0 < u_{0} \leqslant 2$
		
		\textbullet ~~\textbf{\textcolor{red}{Hérédité}}
		
		Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0 < u_{n} \leqslant 2$.
		
		On a:
		$0 < u_{n} \leqslant 2\Leftrightarrow 0 < 2u_{n} \leqslant 4 \Leftrightarrow0 <\sqrt{ 2u_{n}} \leqslant 4\Leftrightarrow0 < u_{n+1} \leqslant 2$. (en utilisant la croissance de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$)
		
		
		\textbullet ~~\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}}
		
		$0 < u_{0} \leqslant 2$
		
		Si $0 < u_{n} \leqslant 2$ alors	$0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
		
		D'après l'axiome de récurrence on a pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} \leqslant 2$.
				
		\item Déterminons le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		
		Comme  pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
		
		On a: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{2u_{n}}}{u_n}=\sqrt{\dfrac{2u_{n}}{u_n^2}}=\sqrt{\dfrac{2}{u_n}}$.
		
Comme on a démontré précédemment que $u_{n} \leqslant 2$, alors ${\dfrac{2}{u_n}}\geqslant1$ et ${\sqrt{\dfrac{2}{u_n}}}\geqslant1$. 
		
		
		On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$,  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ ; $(u_n)$ est une suite \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
		
		
		\item On vient de prouver que, d'une part la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que d'autre part, elle est majorée par 2.
		
		Ceci démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}. \\
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$ donc en particulier: 
		
		$u_0=\ln(u_0)-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ 
		
		On a aussi pour tout entier naturel $n$,$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2$, mais $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
		
		Alors: $v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)+\ln2\right)-\ln2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)-\ln2\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}v_n}}$  
		
		On peut en conclure que  la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite \textbf{géométrique} de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. \\
		\item On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$,  $v_{n}=\boxed{\textcolor{red}{-\ln2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}}$.\\
		
		$v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left(\dfrac{u_n}{2}\right)=v_n \Leftrightarrow {\dfrac{u_n}{2}}=e^{v_n} \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_n=2e^{v_n}}}$.
		$u_{n}$ en fonction de $n$. \\
		 
		\item Comme $\dfrac{1}{2}\in[0;1]$,		
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=0$ 		
		 et 
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0$ 
		
		On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(e^x\right)}=1$, alors par composition des limites:$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(e^{v_n}\right)}=1$ et finalement: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$  \\
		
		\item L'algorithme ci-dessous permet d' afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
				&Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Affecter à $n$ la valeur $n+1$
\\ 
Sortie :&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$u_{1}=\dfrac{3\times \dfrac{1}{2}}{1+2\times \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.\\
$u_{2}=\dfrac{3\times \dfrac{3}{4}}{1+2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{\dfrac{9}{4}}{\dfrac{5}{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{10}}}$

\item %Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $.
Démontrons, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $u_{0}=\dfrac{1}{2}>0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{Hérédité} : supposons la propriété vraie à un rang $n$ quelconque.\\
Alors $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}>0$ puisque $u_{n}>0$ ; la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}



\item On \textbf{admet} que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$. 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}-u_{n}=\dfrac{2u_{n}-2u_{n}^{2}}{1+2u_{n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2u_{n}\left(1-u_{n}\right)}{1+2u_{n}}>0}}$ car $u_{n}>0$ et $1-u_{n}>0$ puisque $u_{n}<1$.\\
Le suite $\left(u_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croisante}}.\\

\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante majorée par 1, donc elle \textbf{converge} vers une limite $\ell$ avec $\ell\leqslant 1$.
\end{enumerate}


\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{1-\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}=\dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{\dfrac{1+2u_{n}-3u_{n}}{1+2u_{n}}}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}\times \dfrac{1+2u_{n}}{1-u_{n}}=3\times \dfrac{u_{n}}{1-u_n}\\
=\boxed{\textcolor{red}{3v_{n}}}$.\\
Pour tout $n$, $v_{n+1}3v_{n}$ donc la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique, de raison 3 et de premier terme \\
$v_{0}=\dfrac{u_{0}}{1-u_{0}}=1$

\item %Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 
Puisque $\left(vn\right)$ est \textbf{géométrique} de raion 3, on en déduit $v_{n}=v_{0}\times 3^{n}=3^{n}$.


\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.
$v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1-u_{n}}\Leftrightarrow v_{n}-u_{n}v_{n}=u_{n}\Leftrightarrow v_{n}=u_{n}v_{n}+u_{n}\Leftrightarrow v_{n}=u_{n}\left(1+uv_{n}\right)\Leftrightarrow u_{n}=\dfrac{v_{n}}{1+v_{n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3^{n}}{1+3^{n}}}}$

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$v_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}\left(1+\dfrac{1}{3^{n}}\right)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3^{n}}}$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}3^{n}=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=1$.\\
La suite $\left(u_{n}\right)$ \textbf{\textcolor{red}{converge vers 1.}}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2012}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Énoncé 1 :} %Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de réels.
 
%Pour tout entier $n$, on pose $u_{n} = \sin \left(a_{n}\right)$. 

%\emph{Proposition $1$ : \og On peut choisir la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ telle que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg}
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : exemple $a_{n} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2^n}$. 
\item \textbf{Énoncé 2 :} %Dans le plan complexe d'origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_{n}$ d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}}$.
 
%\emph{Proposition $2$ : \og Les points O, $M_{1}$ et $M_{20}$ sont alignés. \fg}
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : on a $z_{1} = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$ qui a pour argument $\dfrac{2\text{i}\pi}{3}$  et $z_{20} = \text{e}^{\frac{2\text{i}\times 20\pi}{3}} = \text{e}^{\frac{40\text{i}\pi}{3}}$. Or 

$\dfrac{40\pi}{3} = \dfrac{36\pi + 4\pi}{3} = 12\pi + \dfrac{4\pi}{3}$, donc $z_{20}$ a pour argument $\dfrac{4\pi}{3} \neq \dfrac{2\pi}{3}$. Donc les points O, $M_{1}$ et $M_{20}$ ne sont pas alignés.
\item \textbf{Énoncé 3 :} %On considère une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x = 0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. 

\emph{Proposition }$3$ : %\og La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ \fg.} 

%\psset{xunit=3.14159265cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-1,-5)(1.2,5)
%\psaxes[trigLabels,trigLabelBase=2]{->}(0,0)(-0.5,-5)(2.2,5)
%\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{0.5  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{2  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{x  RadtoDeg  sin}
%\rput(-3,5){Courbe 1}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
%\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
%\end{pspicture}
% 
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(-6.4,-2.2)(14.8,3)
%\psaxes[Dx=50,Dy=2]{->}(0,0)(-6.4,-2.2)(14.8,3)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{14.8}{0.5  x mul RadtoDeg   cos 2 mul}
%\rput(-3.5,3){Courbe 2}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
%\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
%\end{pspicture}
%

%\vspace{2cm}
%\psset{xunit=3.14cm,yunit=2cm,comma=true,trigLabels}
%\begin{pspicture}(-1.1,-1.5)(2.1,1.5)
%\psaxes[Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.1,-1.5)(2.1,1.3)
%\rput(-1.5,1.4){Courbe 3} \uput[d](-3.14,0){$- \pi$}
%%\uput[d](3.14,0){$\pi$}\uput[d](6.28,0){$2\pi$}
%\uput[dr](0,0){$0$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,xunit=1cm]{-1.1}{6.4}{x  RadtoDeg   sin }
%\end{pspicture}
 
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : si la courbe 3 est la représentation graphique de $f$, la courbe 1 est celle de $F$ puisque c'est la seule qui contient l'origine ($F(0) = 0$).

Or on voit sur la courbe 1  que $F^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$, mais $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \neq 0$.  Donc la courbe 1 n'est pas la représentation graphique de la primitive $F$.

%Remarques : équation possible pour la courbe 1 : $y = - 4 \sin 0,5x$ ;
%
%équation possible pour la courbe 2 : $y = 2 \cos 0,5x$ ;
%
%équation possible pour la courbe 3 : $y = \sin x$.
\item \textbf{Énoncé 4 :} %On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point A(0~;~0 ; ~;~3) et le plan P d'équation $2x - y + z = 0$. 

\emph{Proposition $4$} : % \og La sphère de centre A et de rayon 2 et le plan P sont sécants. \fg}
\textbf{\textcolor{red}{Ce n'est plus au programme de 2013}}\\

\noindent Calculons la distance de A au plan P :

$d(\text{A}~;~\text{P}) = \dfrac{\left| 3 \right|}{\sqrt{2^2 + (- 1)^2 + 1^2}}  = \dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,225$.

La distance est inférieure au rayon du cercle : la réponse est VRAI.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Restitution organisée des connaissances}}\\
%
%On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$.
%
%Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\noindent On effectue un changement de variable, en possant $X=\ln(x)$ ; alors $x=\mathrm{e}^{X}$.\\
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend aussi vers $+\infty$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}}=0$ d'après le rappel.\\

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%%
%On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = x -
%\frac{\ln(x)}{x}$. 
%
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
%orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~=\infty[]$ par $g(x) =  x^2  -1 + \ln(x)$.

%  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
$g$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[]$ comme somme de fonctions dérivables.\\
Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0}}$ (somme de nombres positifs).\\
$g$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $[1~;~+\infty[$.\\
$g(1)=0$.\\
Le tableau de variation de $g$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\pI\\
\filet
g'(x)&&+&\\
\filet
\m{g(x)}&0&\c&\\
\end{variations}
\end{center}
Le minimum de $g$ est 0, donc $g(x)$ est \textbf{\textcolor{red}{positif}} pour tout $x\in[1~;~+\infty[$.

\item
  \begin{enumerate}
  \item %Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =    \frac{g(x)}{x^2}$.
  $f$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$.\\
  Pour tout $x\in [1~;~+\infty[$, $f'(x)=1-\left[\dfrac{\frac1x\times x-\ln(x)}{x^2}\right]=1-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}}$.
  
  \item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.
Comme $x^2>0$ sur $[1~;~+\infty[$,   $f'(x)$ est du signe de $g(x)$, donc positif sur $[1~;~+\infty[ $ avec $f'(1)=0$.

  \item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
  Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.\\
  D'après la partie A, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.\\
La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est donc asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.

  \item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à    la droite $\mathcal{D}$.
  Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{\ln(x)}{x}<0}}$ car $\ln(x)\geqslant 0$ et $x>0$.\\
  La courbe $\mathcal{C}$ est donc \textbf{en dessous} de son asymptote $\mathcal{D}$ (avec intersection en $x=1$).
  \end{enumerate}

\item %Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
  \begin{enumerate}
  \item %Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
  On a donc $M_kN_k=y_{N_k}-y_{M_k}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\ln(k)}{k}}}$.
  
  \item %Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
  L'algorithme est : 
  

\begin{center}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     k EST_DU_TYPE NOMBRE
3   DEBUT_ALGORITHME
4     k PREND_LA_VALEUR 2
5     TANT_QUE (ln(k)/k>0.01) FAIRE
6       DEBUT_TANT_QUE
7       k PREND_LA_VALEUR k+1
8       FIN_TANT_QUE
9     AFFICHER k
10  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
\end{minipage}
\end{center}

  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2012}}
\begin{enumerate}
\item $~$\vspace{0,1cm}\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $u$&$v$ &$a$&$b$\\ \hline  
0 &4 &9&4&9\\ \hline 
1&6,5&6,964&6,5&6,964\\ \hline 
2&6,732&6,736&6,732&6,736\\ \hline
\end{tabularx}
%
%
%
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{\textcolor{red}{Initialisation}}
		
Pour $n = 0$, on a bien $u_0>0$ et $v_0>0$. L'hypothèse de récurrence est vérifiée pour $n=0$.

\fbox{\textcolor{red}{Hérédité}}
		      
Supposons que pour $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 0$ et $v_n > 0$. Alors :\vspace{0,1cm}
		
		$u_n + v_n > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n + v_n}{2}>0 \Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} > 0}}$\\
		$u_n^2 > 0 \text{ et } v_n^2 > 0 \Rightarrow u_n^2 + v_n^2 > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}>0 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}}>0  \Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{v_{n + 1} > 0}}$
		
L'hypothèse de récurrence est donc vérifiée au rang $n+1$.

Ainsi, d'après l'axiome de récurrence, on en déduit que : \fbox{$u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$}.
		\item $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}- \left(\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\right)^2=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2}{4}- \dfrac{u_{n}^2 +2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=\dfrac{u_{n}^2 -2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=$
		
$\boxed{\left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2=v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}$.\vspace{0,2cm}
		
D'oô, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geqslant 0  \Rightarrow v^2_{n+1} \geqslant u^2_{n+1} \Rightarrow v_{n+1} \geqslant u_{n+1}  \Rightarrow v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n\in\mathbb{N}^* $.\vspace{0,1cm}

Par construction, $ v_0 \geqslant u_0 $.\vspace{0,1cm}

 Conclusion : $\boxed{v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}- u_{n} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2} \geqslant 0$ d'après la question précédente. \\
		\fbox{La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc croissante}. 
		\item $0 < u_n \leqslant v_n \Rightarrow u_n^2 \leqslant v_n^2 \Rightarrow u_n^2+v_n^2 \leqslant v_n^2+v_n^2 \Rightarrow \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2} \leqslant v_n^2 \Rightarrow \boxed{v_{n+1}^2 \leqslant v_n^2} \Rightarrow v_{n+1} \leqslant v_n$ {\footnotesize{(car les éléments de la suite $v_n$ sont positifs)}}.\vspace{0,1cm}
		
		\fbox{La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc décroissante}.\vspace{0,1cm} 
\end{enumerate} 
\item On a montré que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $u_{n}$ est croissante donc $u_{0} \leqslant  u_{n}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] la suite $v_{n}$ est décroissante donc $v_{n} \leqslant v_{0}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \leqslant v_{n}$.
\end{itemize}

On en déduit que pour tout entier naturel $n, u_{0} \leqslant u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant v_{0}$ d'oô en particulier
$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n} &\leqslant& v_{0}\\
v_{n} &\leqslant& u_{0}
\end{array}\right.$

La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante majorée par $v_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

La suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante minorée par $u_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

%\fbox{Il s'agit, vous l'aurez compris, de suites adjacentes, car on peut démontrer  que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(v_{n} - u_{n} \right) = 0$}.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2012}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}\\

%\noindent Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%¿ l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\
%
%\bigskip

Les solutions de l'équation $ (E) $ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir $2$. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre $0$ et $1$.

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \mathbb{R},x^2 + x^3 = x^2(1+x)$. Comme un carré est positif ou nul, $ x^2+x^3 $ est du signe de $ 1 + x $. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ x^2+x^3=0 $ pour $x \in \left\lbrace -1~;~0 \right\rbrace $.
\item $ x^2+x^3 >0$ pour $ x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[$.
\item  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~ -1[$.
\end{enumerate}

\item $x$ solution de $(E)\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) \Leftrightarrow x^2+x^3 = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}$. Or, pour tout réel $x, \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3} >0$, alors que  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~-1[$. $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.

\item $ \mathrm{e}^{x} = 1 $  et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc $0$ n'est pas solution de (E).
\end{enumerate}

\item $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, \begin{array}[t]{lcll}
(E) & \Leftrightarrow & \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) & \\
& \Leftrightarrow & \ln \mathrm{e}^{x} = \ln \left( 3\left(x^2+x^3\right)\right) & a=b \Leftrightarrow \ln a = \ln b \\
& \Leftrightarrow & x = \ln 3 + \ln \left( x^2\left( 1+x \right) \right) & \ln (ab) = \ln a + \ln b \\
& \Leftrightarrow 	& x = \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) & \\
& \Leftrightarrow 	&  \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) -x = 0 & \\
& \Leftrightarrow 	&  h(x) = 0 & \\
\end{array} $

\item 
\begin{enumerate}
\item $h$ est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc $h$ est bien dérivable sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$. 

Si $u>0$ sur un intervalle, alors $ \ln u $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $ \dfrac{u'}{u} $.

Pour tout réel $x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[, h'(x) = 0 + \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)} $


On a bien : $h'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.$

\item Pour étudier le sens de variations de $h$, on étudie le signe de sa dérivée. 

Les numérateurs et dénominateurs sont des trinômes du second degré. 

Pour le dénominateur, les racines sont $0$ et $-1$, le coefficient dominant est $1>0$. Il est donc positif \og à l'extérieur \fg{} des racines, négatif \og entre \fg{} les racines (voir le tableau).

Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : $ \Delta =12>0 $ et les deux racines sont $ x_1 = \dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = 1-\sqrt{3} $ et $ x_2 = 1+\sqrt{3} $. Le coefficient dominant est $-1>0$, d'oô le signe... 

%\begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
%\hline $x$ & $-1$  &  & $1-\sqrt{3}$ &  & $0$& & $ 1+\sqrt{3} $ & &$+\infty$\\ 
%\hline $-x^2+2x+2$ &   & $-$ & $0$ & & $+$ & &$0$  &$-$&\\ 
%\hline $x(x+1)$ & $0$ &   & $-$&   &$0$ & &$+$ & &\\ 
%\hline $h'(x)$ & $\mid\mid$ & $+$ & $0$ &$-$  &$\mid\mid$&$ + $ &$ 0 $ &$-$& \\ 
%\hline 
%\end{tabular}\end{center} 

Étude des limites aux bornes :

\begin{itemize}
\item Limite en $ -1 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3 - 1 \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad x^2  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln x^2   =  0  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad 1+x  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln (1+x)   =  -\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad h(x)  =  0  $

\item Limite en $ 0 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3  \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad x^2  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln x^2   =  -\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad 1+x  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln (1+x)   =  0 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad h(x)  =  -\infty  $

\item Limite en $ +\infty $

$ \left. \begin{array}{r}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad \ln 3 -x   =  - \infty \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad x^2  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln x^2   =  +\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln (1+x)   =  +\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \text{on a la F.I. }"+\infty - \infty"$

$ h(x) = \ln 3 +(x+1) \left( \dfrac{2 \ln x}{x+1} + \dfrac{\ln(1+x)}{x+1}-\dfrac{x}{x+1} \right)  $.

Or 

\begin{itemize}
\item $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+1}   = \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = 1  $ 
\item $  \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad \dfrac{ \ln X }{X} & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}   =  0 $
\item Pour tout $x > 1, 0 \leqslant\dfrac{\ln x}{x + 1} < \dfrac{ \ln x}{x}  $. Par comparaison, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x} = 0 $ et le théorème des gendarmes assure que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x+1} = 0 $

Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } h(x) = -\infty $.

Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de $ h\left(1-\sqrt{3}\right) <0 $ et $ h(1 + \sqrt{3})> 0 $ que l'on obtient avec la calculatrice. 

\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=3]
%{$x$ /1,$h'(x)$ /1,$h(x)$ /2}{$-1$,$1-\sqrt{3}$,$0$,$1+\sqrt{3}$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{d,+,z,-, d ,+,z,-,}
%\tkzTabVar{D-/$0$,+/$h(1-\sqrt{3})$,-D-/$-\infty$,+/$h(1+\sqrt{3})$,-/$-\infty$}
%%\tkzTabVal[draw]{2}{3}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{4}{5}{.5}{$\alpha_2$}{$0$}
%\end{tikzpicture}
\begin{variations}
x&-1&&1-\sqrt{3}&&&0&&&1+\sqrt{3}&&\pI\\
\filet
-x^2+2x+2	&\bb&-&\z&+&&\l&&+&\z&-&\\
\filet
x(x+1)&\bb&-&\l&-&&\z&&+&\l&+&\\
\filet
h'(x)&\bb&+&\z&-&&\bb&&+&\z&-&\\
\filet
\m{h(x)}&\bb&\c&\h{\approx -0.11}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{\approx 1,7}&\d&\mI\\
\end{variations}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}

\item \begin{itemize}
\item Sur l'intervalle $ \left]-1 ~;~ 0\right[  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+;-) $, donc $ h(1-\sqrt{3}) $ est un maximum pour $h$ sur cet intervalle. Or $ h(1-\sqrt{3}) <0$ donc l'équation $ h(x) = 0 $ n'a pas de solution sur $ \left]-1~;~0\right[$. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.

\item Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est dérivable, donc continue ; $0$ est compris entre $ \displaystyle \lim_{x \to 0 }h(x) $ et $ h\left(1+\sqrt{3}\right) $, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet donc au moins une solution sur $ \left[0~;~ 1+\sqrt{3} \right[$. Comme $h$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution $ \alpha_1 $ est unique.

La calculatrice donne : $ h(0,61) \approx -0,02 $ et $ h(0,62) \approx 0,24 $.

$0$ est donc compris entre $ h(0,61) $ et $ h(0,62) $, le raisonnement précédent assure donc que 

$ \alpha_1 \in [0,61~;~0,62 ] $. 

Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc par exemple $ 0,61 $.

\item Comme $ h(1+\sqrt{3}) > 0 $, $0$ est aussi compris entre  $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }h(x) $ et $ h\left(1 + \sqrt{3}\right) $. Le même raisonnement assure donc l'existence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau.

Avec la calculatrice, on trouve $ 7,11 $ comme valeur approchée de $\alpha_2$, arrondie au centième.
\end{itemize}
\item La conjecture de la partie A est erronée. Il y a bien deux solutions mais pas dans les intervalles prévus !
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  