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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : correction du contrôle commun \no 1 (3 heures)}}\end{center}

%\section{\textcolor{red}{Suites}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(0,5 point)}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=3u_{n}-4n+6\end{array}\right.$.\\
%Calculer le terme $u_{4}$.
On remarque que le terme $n$, indice de $u_{n}$ est le même que dans $-4n+6$.\\
On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{1}=3u_{0}-4\times 0+6=6-0+6=12$\\

\item $u_{2}=3u_{1}-4\times 1+6=3\times 12-4+6=38$\\

\item $u_{3}=3u_{3}-4\times 2+6=114-8+6=112$\\

\item $u_{4}=3u_{3}-4\times 3+6=336-12+6=\boxed{\textcolor{red}{330}}$\\
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
%Déterminer le sens de variation des suites $\left(u_{n}\right)$ suivantes définies par :

\begin{enumerate}

\item %$u_{n} = n^2 - 9n + 20$
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n} = n^2 - 9n + 20$.\\
$u_{n}=f(n)$ avec $f(x)=x^{2}-9x+20$ ; $f'(x)=2x-9$.\\
$f'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant \dfrac{9}{2}$ et $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant \dfrac{9}{2}$.\\
La fonction $f$ est décroissante sur $\left]-\infty~;~\dfrac{9}{2}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{9}{2}~;~+\infty\right[$.\\
On en déduit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{décroissante} pour $n\leqslant 4$ et \textbf{croissante} à partir de $n=5$. (on remarque que $u_{4}=u_{5}$.\\

\noindent Autre fa\c con : pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=2n-8=2(n-4)$ après simplification, qui est négatif pour $n<4$, nul pour $n=4$ et strictement positif pour $n\geqslant 5$.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n} =\dfrac{n}{n+1}$.\\
$u_{n}=f(n)$ avec $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ($x\neq -1$).\\
Sur $[0~;~+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}>0$ donc la fonction $f$ est croissante ; on en déduit que la suite associée $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{croissante}.\\

\noindent \textbf{Autre méthode} :  pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{ (n+1)^{2}-n(n+2)}{(n+1)(n+2))}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par  : $u_{n+1} = u_{n} + u_{n}^2 + 1$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}^{2}+1>0$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{croissante}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par  $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1} = - \dfrac{2}{3} u_{n} + 5\end{array}\right.$.\\

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'expression de la fonction $f$ telle que, pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ ?
$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f:x\mapsto -\dfrac{2}{3}x+5$.

\item La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous.\\
 Représenter graphiquement sur le graphique  les cinq premiers termes de la suite.
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.5)(4.1,5.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{4} \def\ymin{0} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](0,0)(0,0)(4,5.5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,0)(2,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2,0)(2,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,3.66666)(0,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2,3.66666)(0,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.66666)(3.66666,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.66666)(3.66666,3.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,3.66666)(3.66666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,3.66666)(3.66666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,0)(3.66666,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,0)(3.66666,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,2.55555)(0,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,2.55555)(0,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.55555)(2.55555,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,2.55555)(2.55555,2.55555)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,2.55555)(2.55555,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,2.55555)(2.55555,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,0)(2.55555,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,0)(2.55555,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,3.29629)(0,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,3.29629)(0,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.29629)(3.29629,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.29629)(3.29629,3.29629)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,3.29629)(3.29629,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,3.29629)(3.29629,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,0)(3.29629,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,0)(3.29629,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,2.80246)(0,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,2.80246)(0,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.80246)(2.80246,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,2.80246)(2.80246,2.80246)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,2.80246)(2.80246,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,2.80246)(2.80246,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,0)(2.80246,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,0)(2.80246,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,3.13168)(0,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,3.13168)(0,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.13168)(3.13168,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.13168)(3.13168,3.13168)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.13168,3.13168)(3.13168,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.13168,3.13168)(3.13168,0)
\def\F{5 2 x mul 3 div sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{4}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[u](3,3){$\mathscr{C}_{f}$}
\uput[-90](2,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3.66666){ $u_1$}
\uput[-90](3.66666,0){ $u_1$}
\uput[180](0,2.55555){ $u_2$}
\uput[-90](2.55555,0){ $u_2$}
\uput[180](0,3.29629){ $u_3$}
\uput[-90](3.29629,0){ $u_3$}
\uput[180](0,2.80246){ $u_4$}
\uput[-90](2.80246,0){ $u_4$}
\uput[180](0,3.13168){ $u_5$}
\uput[-90](3.13168,0){ $u_5$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

Calculer les sommes suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $U = 3 + 5 + 7 + \cdots +99$.\\
C'est la somme de termes \textbf{consécutifs} d'une suite \textbf{arithmétique}, de premier terme $u_{0}=3$ et de raison $r=2$.\\
$99=u_{n}=u_{0}+nr=3+2n$ donc $n=48$.\\
On sait alors que $U=u_{0}+\cdots +u_{n}\\
=(n+1)\left(\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}\right)=49\times \left(\dfrac{3+99}{2}\right)=49\times \dfrac{102}{2}=49\times 51=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2499}}}$.

\item %$S = 300\left(1 + 1,1 + 1,1^2 + 1,1^3 + \cdots+ 1,1^{19}\right)$ (arrondir à l'entier le plus proche).
$1 + 1,1 + 1,1^2 + 1,1^3 + \cdots+ 1,1^{19}$ est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, de raison $q=1,1$.\\
On sait que $1+q+\cdots +q^{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$ donc :\\
$1 + 1,1 + 1,1^2 + 1,1^3 + \cdots+ 1,1^{19}=\dfrac{1,1^{20}-1}{1,1-1}=10\left(1,1^{20}-1\right)$.\\
On en déduit que $S=3000\left(1,1^{20}-1\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{17182}}}$
\end{enumerate}


%\subsection{}
%$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique telle que $u_{4}=14$ et $u_{9}=29$.\\
%Calculer le premier terme $u_{0}$, la raison $r$ et le terme $u_{13}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
On sait que $u_{1}+u_{7}=36$ et $u_{4}+u_{5}=41$.\\
%Quelles sont les valeurs de $u_{0}$ et de $r$ ?
$\left(u_{n}\right)$ est arithmétique donc, pour tout $n$, $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
$u_{1}+u_{7}=36\Leftrightarrow u_{0}+r+u_{0}+7r=36\Leftrightarrow 2u_{0}+8r=36$ .\\
$u_{4}+u_{5}=41\Leftrightarrow u_{0}+4r+u_{0}+5r=41\Leftrightarrow 2u_{0}+9r=41$.\\
On en déduit que $u_{0}$ et $r$ sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{l}2u_{0}+8r=36\\2u_{0}+9r=41\end{array}\right.$.\\
Par soustraction, on obtient $9r-8r=r=41-36=5$, donc $r=5$.\\
On en déduit alors que $2u_{0}=36-8r=36-8\times 5=-4$ d'où $u_{0}=-2$.\\
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{0}=-2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{r=5}}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
\begin{enumerate}
\item On a successivement : $V_1=\boxed{\textcolor{red}{120}}$ ; \\
$V_2=V_1-\frac{3}{4}V_1+120=\frac{1}{4}V_1+120=\boxed{\textcolor{red}{150}}$ ;\\
$V_3=V_2-\frac{3}{4}V_2+120=\frac{1}{4}V_2+120=\boxed{\textcolor{red}{157,5}}$

\item On trouve de même : $V_3\approx \boxed{\textcolor{red}{159,31}}$ ; \\
$V_4\approx \boxed{\textcolor{red}{159,84}}$ ; $V_6\approx \boxed{\textcolor{red}{159,96}}$.

\item Plus généralement, pour tout $n$, on a : \\
$V_{n+1}=V_n-\frac{3}{4}V_n+120=\boxed{\textcolor{red}{\frac{1}{4}V_n+120}}$.

\item Pour tout $n$, on pose : $t_n=160-V_n$. 

\begin{enumerate} 
\item Pour tout $n$ : $t_{n+1}=160-V_{n+1}\\
=160-\left(\frac{1}{4}V_n+120\right)=40-\frac{1}{4}V_n=\frac{1}{4}\left(160-V_n\right)=\boxed{\textcolor{red}{\frac{1}{4}t_n}}$. Donc : $\boxed{\textcolor{red}{t_{n+1}=\frac{1}{4}t_n}}$.\\
On en déduit que la suite $(t_n)$ est \textbf{géométrique}, de raison $q=\frac{1}{4}$ et de premier terme $t_1=160-V_1=40$.

\item Le terme général est alors : \\
$\boxed{\textcolor{red}{t_n=t_1q^{n-1}=40\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}}$.\\
D'où : $V_n=160-t_n=\boxed{\textcolor{red}{160-40\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}}$.

%\item $-1<\frac{1}{4}<1\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=0$. Par conséquent : $\lim_{n\rightarrow +\infty} t_n=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty} V_n=160$. \\
%La quantité de compost tend vers un volume de 160 litres.
Remarque : on verra bientôt que comme $-1<\dfrac{1}{4}<1$, $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$ se rapproche de plus en plus de 0 quand $n$ croît, donc la quantité de compost tend vers 160 Litres.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{2 x^{2}-x-5}{x-2}$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_{f}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
$f(x)=0\Leftrightarrow  \dfrac{2 x^{2}-x-5}{x-2}=0$.\\
Le discriminant vaut $\Delta=(-1)^{2}-4\times 2\times (-5)=41>0$.\\
L'équation a deux racines réelle : $x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}$ et $x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}$

\item %Étudier le signe de $f(x)$ ; en déduire la position relative de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Pour étudier le signe de $f(x)$, on renseigne un tableau de signes :\\
Remarquons d'abord que $x_{1}<0$ et $x_{2}<2$ (car $41<49$ donc $\sqrt{41}<\sqrt{49}=7$ qui donne $x_{2}<2$).\\
Le trinôme  $2 x^{2}-x-5$ est du signe du coefficient de $x^{2}$, 2 donc positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}&&\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}&&2&&\pI\\
\hline
2x^{2}-x-5&&+&\z&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
x-2&&-&\-&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\z&-&\bb&+&\\
\end{variations}
\end{center}
La courbe est donc en dessous de l'axe des abscisses pour $x\in\left]-\infty~;~\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}\right]\cup\left[\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}~;~2\right[$ et au-dessus pour \\
$x\in\left[\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}~;~\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}\right]\cup ]2~;~+\infty[$.

\item %Étudier les variations de $f$.
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de la dérivée.\\
$f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_{f}$ comme quotient de fonctions dérivables.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x^{2}-x-5$ et $v(x)=x-2$ ; $u'(x)=4x-1$ et $v'(x)=1$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}$ donc \\
$f'(x)=\dfrac{(4x-1)(x-2)-\left(2x^{2}-x-5\right)}{(x-2)^{2}}\\
=\dfrac{4x^{2}-8x-x+2-2x^{2}+x+5}{(x-2)^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x^{2}-8x+7}{(x-2)^{2}}}}$\\
Le dénominateur est positif, donc $f'(x)$ est du signe de son numérateur.\\
Signe de $2x^{2}-8x+7$ :\\
$\Delta=8>0$ ; les racines sont $x_{3}=\dfrac{8-\sqrt{8}}{4}=\dfrac{8-2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}$ et $x_{4}=\dfrac{4+\sqrt{2}}{2}$.\\
Ce trinôme est positif entre les racines ; il est clair que $x_{3}<2$ et $x_{4}>2$.\\
On en déduit le tableau de variations :
\scriptsize
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}&&2&&\dfrac{4+\sqrt{2}}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c& \h{\approx4,17}&\d&\bb&\d&\approx 9,83&\c&\\
\end{variations}
\end{center}
\normalsize
\item  

\begin{enumerate}
\item %Quel est le coefficient  directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse 0 ?
Le coefficient  directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse 0 est \\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=\dfrac{7}{4}}}$.

\item %Donner l'équation de cette tangente.
L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est $y=f'(x)(x-a)+f(a)$, donc, ici, $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.\\
$f'(0)=\dfrac{7}{4}$ et $f(0)=\dfrac{5}{2}$ donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est : $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{7}{4}x+\dfrac{5}{2}}}$.

%\item  Quelle est la position de la courbe par rapport à cette tangente?  (si c'est au programme de 1eS)
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\section{\textcolor{red}{Probabilités}}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,25 point)}}
La loi de probabilité ci-dessous donne le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Gain (en \euro{})&0&5&10&100&500\\
\hline
Probabilité&0,6&0,2&0,1&0,075&0,025\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item 

L'événement \og{} Le joueur gagne 5 \euro{}\fg{} est noté $(G=5)$.\\
%Comment peut-on noter l'événement \og{} Le joueur gagne au moins 5 \euro{}\fg{} ?\\
L'événement \og{} Le joueur gagne au moins 5 \euro{}\fg{} se note $(G\geqslant 5)$.\\
%Calculer sa probabilité.
$p(G\geqslant 5)=0,2+0,1+0,075+0,025\\
=1-p(G=0)=1-0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$.


\item L'organisateur prévoit de fixer le prix du billet à 15 \euro.\\
On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur \textbf{en tenant compte du prix du billet}.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les valeurs prises par X puis compléter le tableau suivant
Les valeurs pries par $X$ sont alors -15~;~\\
-10~;~-5~;~85 et 485.
\small
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Gain $X$ (en \euro{}&
-15&-10&-5&85&485\\
\hline
Probabilité&0,6&0,2&0,1&0,075&0,025\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
\item %Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat
L'espérance est $E(X)=\sum x_{i}p\left(X=x_{i}\right)=-15\times 0,6-10\times 0,2-5\times 0,1+85\times 0,075+485\times 0,025=-9-2-0,5+6,375+12,125\\
=\boxed{\textcolor{red}{7>0}}$\\
Cela signifie, qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne 7 euros par partie, donc l'organisateur va faire faillite.

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3,25 points)}}
Une entreprise possède 50 ordinateurs. La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de 0,01.\\
On suppose que le fonctionnement d’un ordinateur est indépendant des autres.\\
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d’ordinateurs en panne parmi les 50 disponibles.

\begin{enumerate}

\item %Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?
On a répétition d'épreuves identiques à deux issues donc $X$ suit la loi binomiale, de paramètres $n=50$ et $p=0,1$.

\item %Calculer la probabilité qu’aucun ordinateur ne tombe en panne.
La probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne est $0,99^{50}\approx 0,605$.

\item %Calculer la probabilité de l’événement E : \og{}au moins un ordinateur est en panne\fg.
E : \og{}au moins un ordinateur est en panne\fg{} est le contraire de l'événement précédent, donc $p(E)=1-9,99^{50}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,395}}$.

\item %Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
On sait que $p(X=k)=\binom{50}{k}p^{k}(1-p)^{50-k}$.\\
On en déduit que :\\
$p(X=5)=\binom{50}{5}\times 0,01^{5}\times 0,99^{45}\\
=3178140\times 0,01^{5}\times 0,99^{45}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,00013}}}$

\item  
\begin{enumerate}
\item %Que signifie $p(X = 3)$ ?\\
$p(X=3)$ est la probabilité qu'exactement trois ordinateurs tombent en panne.\\
$p(X=3)=\binom{50}{3}\times 0,01^{3}\times 0,99^{47}=0,012221098\approx \boxed{\textcolor{red}{0,012}}$
% Calculer ensuite $p(X = 3)$.

\item  %Calculer $p(X \leqslant  3)$. Interpréter ce résultat.
$p(X\leqslant 3)$ est la probabilité que moins de trois ordinateurs tombent en panne.\\
$p(X\leqslant 3)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,998}}$

\item %Calculer l'espérance $E(X)$. Interpréter ce résultat.
On sait que $E(X)=np$ donc \\
$E(X)=50\times 0,01=0,5$.\\
\textbf{En moyenne, le  nombre d'ordinateurs en panne sur les cinquante est 0,5;}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  