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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 (5 points)}}%Métropole septembre 2013
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \text{ }
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline D$}\tbput{\small $0,9$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,09$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline D$}\tbput{\small $0,91$}
}
}

\end{center}\item On demande $p(A\cap D)$.

$p(\text{A}\cap \text{D})=p_{\text{D}}(\text{A})\times p(\text{A})=0,4\times 0,1$, donc 

$p(\text{A}\cap \text{D})= \boxed{\textcolor{red}{0,04}}$.

		\item On calcule aussi $p(\text{B}\cap \text{B})$ de la même façon, c'est  $0,6\times 0,09=\boxed{\textcolor{red}{0,054}}$.

A et B sont des évènements formant une partition de l'ensemble des pièces (c'est-à-dire 

$\text{D}=(\text{D}\cap \text{A})\cup(\text{D}\cap \text{B})$ et c'est une réunion d'évènements disjoints),.

Alors : $P(\text{D}) = p(\text{D}\cap (\text{A}\cup \text{B}))\\p(\text{D})=p((\text{D}\cap \text{A})\cup (\text{D}\cap \text{B}))=p(\text{D}\cap \text{A})+p(\text{D}\cap \text{B})\\
=p_{\text{A}}(\text{D})\times p(\text{A})+p_{\text{B}}(\text{D})\times p(\text{B})$ (formule des probabilités totales).

Ainsi :

$p(\text{D}) = 0,04 + 0,054 =\boxed{\textcolor{red}{0,094}}$.

		\item On nous demande $p_{\text{D}}(\text{A})$, on utilise  la formule : 

$p_{\text{D}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{D}\cap \text{A})}{p(\text{D})} = \dfrac{0,04}{0,094}=\dfrac{40}{94}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{20}{47}}}$.
	\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a répétition de 150 expériences \textbf{identiques} et \textbf{indépendantes} avec \textbf{deux} issues :

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,1$ : $\boxed{\textcolor{red}{X\hookrightarrow \mathscr{B}(150~;~0,1)}}$.

\item Pour tout $k$ entier compris entre 0 et 150, on a \\
$p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{p(X=k)=\binom{150}{k}\times 0,1^k\times 0,9^{150-k}}}.\]

On demande $p(X\leqslant 1)$.

$p(X\leqslant 1)=p(X=0)+p(X=1)\\
=0,9^{150}+150\times 0,1\times 0,9^{149}\approx \boxed{\textcolor{red}{2,4610^{-6}}}$

\item $p(X\leqslant 149)=1-p(X=150)\\
=1-\binom{150}{0}\times 0,1^0\times 0,9^150=\boxed{\textcolor{red}{1-10^{-150}}}$ (valeur exacte). (remarque : la calculatrice affiche 1, mais cet événement \textbf{n'est pas certain})
\end{enumerate}

\item $p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)=1-\binom{n}{0}\times 0,1^0\times 0,9^n=1-0,9^n$.\\
On cherche $n$ tel que $1-0,9^n\geqslant 0,99$.

$1-0,9^n\geqslant 0,99\iff 1-0,99\leqslant 0,9^n\iff 0,01\leqslant 0,9^n\\
\iff \ln(0,01)\leqslant n\ln(0,9)\iff n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9)}\approx 43,7$.

Le plus petit entier tel que $p(X\geqslant 1)\geqslant 0,99$ est $\boxed{\textcolor{red}{n=44}}$.

	\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (5 points)}}%Centres étrangers juin 2009
\begin{center} \textbf{Partie A :} %\emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$

 \end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.
Soient $n$ et $p$ deux naturels distincts. 

$f_{n}(x) = f_{p}(x) \iff \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} = \dfrac{\text{e}^{-px}}{1 + \text{e}^{-x}}\\
 \iff \text{e}^{-nx} = \text{e}^{-px}~(\text{car}~ 1 + \text{e}^{-x} > 0)\\
 \iff -nx = - px~(\text{par croissance de la fonction ln}) \\
 \iff \boxed{\textcolor{red}{x = 0}} ~(\text{car} n \neq p)$.

Quel que soit $n \in \mathbb{N},~f_{n}(0) = \dfrac{\text{e}^0}{1 + \text{e}^0} = \dfrac{1}{2}$.

Toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ passent par le point $\left(0~,~\dfrac{1}{2}\right)$ et ont ce point pour seul point commun. 

\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de $f_{0}$.
	$f_{0}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}$.
	
Cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ et 

$f'_{0}(x) = -\dfrac{- \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{ \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2}}}$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$  et $\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2 > $, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'_{0}(x) > 0}}$.

La fonction $f_{0}$ est donc \textbf{croissante} sur $\mathbb{R}$.
	\item %Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
On sait que $\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$. Donc $ \boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty}}$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to - \infty} f_{n}(x) = 0}}$. Ceci signifie que l'axe des abscisses est \textbf{asymptote} à la   courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $- \infty$.

On sait  que $ \lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $ \boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1}}$.

Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est \textbf{asymptote} horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $+ \infty$.
	\item   \text{ }\\%Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$.
		On a $f_1(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $\mathrm{e}^{x}$.
		
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f_1(x)=1}}$.

\item $f_1(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x)=-\infty$ donc 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f_1(x)=0}}$

\item $f_1(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{x}$.

$f_1'=\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=\mathrm{e}^{x}$.

Alors $\boxed{\textcolor{red}{f_1'(x)=-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^2}<0}}$ car $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f_1$ est décroissante.

\textbf{Tableau de variation} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{f_1(x)}&\h{1}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
		
		\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
%		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]
$f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}$. En multipliant chaque terme par $\text{e}^{nx} > 0,~\boxed{\textcolor{red}{f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}}}.$
	\item  %Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
Pour $p \geqslant 2, \lim_{x \to + \infty} \text{e}^{px} = + \infty$, donc en utilisant l'écriture du \textbf{a.}, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty}  f_{n}(x) = 0}}.$

Limite en $- \infty$ : $\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{nx} = 0_{+}$ et $\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{(n - 1)x} = 0_{+}$ donc par limite de l'inverse $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = + \infty}}$

	\item  %Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$.
$f_{n}$ quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car 

$\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}> 0$.

En utilisant l'écriture trouvée au début de la question :

$\boxed{\textcolor{red}{f'_{n}(x) = - \dfrac{n\text{e}^{nx} + (n - 1)\text{e}^{(n - 1)x}}{\left(\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x} \right)^2}}}$.

Comme $n \geqslant 2$, cette dérivée est \textbf{négative} quel que soit $x$ réel. Les fonctions ($f_{n},~n \geqslant 2$) sont donc \textbf{décroissantes} de $+ \infty$ à $0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} 

%On pose, pour tout entier naturel $n ~~ :\quad  u_{n} = \int_{0}^1  f_{n}(x)\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$.
$u_{1} = \int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1  \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$.

En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{-x},~u'(x) = - \text{e}^{-x}$, on remarque que la fonction à intégrer est $-\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ dont une primitive est la fonction $- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)$.

Donc $u_{1} = \left[- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)  \right]_{0}^1 = \boxed{\textcolor{red}{- \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) + \ln 2}}$.

Par linéarité, on a : 

$u_0+u_1=\int_0^1\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\text{ d}x+\int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1+-x}\text{ d}x=\int_0^1\dfrac{1+\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x}\\
=\int_0^11\text{ d}x=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.

On en déduit $u_0+u_1=1$ donc \[u_0=1-u_1=\boxed{\textcolor{red}{1-\ln 2+\ln\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)}}.\]

\item %Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  \int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$.
On a la suite d'inéquations :

$\text{e}^{-x} > 0 \iff 1 + \text{e}^{-x} > 1 \iff 0 < \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}} < 1\\
\iff 0 < \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} < \text{e}^{-nx}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant f_n(x)\leqslant \mathrm{e}^{-nx}}}$.

En intégrant ces trois fonctions sur [0~;~1] , on trouve, par \textbf{conservation de l'ordre} :

$0 < \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x  < \int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x \iff 0 < u_{n}< \int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$.
\item %Calculer l'intégrale : $\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite.
$\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x = \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{-nx}  \right]_{0}^1 = - \dfrac{1}{n}\left( \text{e}^{-n} - 1\right) = \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right).$
 
Par limite au voisinage de $+ \infty :$

$\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0,~\lim_{x \to + \infty} 1 - \text{e}^{-n} = 1,~\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, donc par produit :

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) = 0$.

En utilisant l'encadrement de la question \textbf{2.}, et d'après le théorème des \og gendarmes \fg, on obtient 

$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 0}}$. 

La suite est donc convergente. vers 0
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (5 points)}}%d'après Nouvelle-Calédonie novembre 2012
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Restitution organisée de connaissances}} 

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{voir cours}}

\bigskip

\noindent \emph{\textbf{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}}


\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip
 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]
%
% où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$.
$z^2 - 2z + 2 = 0$  a pour discriminant $\Delta=-4<0$.

L'équation a deux solutions complexes conjuguées : $\boxed{\textcolor{red}{z_1=1-\mathrm{i}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{z_2=\overline{z_1}=1+\mathrm{i}}}$.

\item %On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$. 

On a A$M_{1} = \left|z_{1} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 - \text{i} - 1\right| = |- \text{i}| = \boxed{\textcolor{red}{1}}$. 

De même A$M_{2} = \left|z_{2} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 + \text{i} - 1\right| = | \text{i}| = \boxed{\textcolor{red}{1}}$.

 Ces deux résultats signifient que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle de centre A et de rayon 1 soit au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
%
%\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
\hyperlink{Figure}{Figure} : voir à la fin de l'exercice. 
\item %Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

%\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
$z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2} \Rightarrow z'  - 1 = \frac{2z - 1 }{2z - 2} - 1 \iff z' - 1  = \frac{2z - 1 - 2z + 2}{2z - 2}\\
\iff z" - 1 = \dfrac{1}{2(z - 1)} \iff \boxed{\textcolor{red}{\left(z' - 1 \right)(z - 1) = \frac{1}{2}}}$.
\item %Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

%\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
%\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
%M' \neq \text{A} ;\\ 
%\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
%\end{array}\] 
Le résultat précédent entraîne :

$\bullet~~$ en termes de modules :  $\boxed{\textcolor{red}{\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2}}}$ ;

$\bullet~~$ le produit des deux complexes étant non nul aucun des deux facteurs ne peut l'être, et en particulier $z' - 1 \neq 0 \iff z' \neq 1$, soit $\boxed{\textcolor{red}{M' \neq \text{A}}}$ ;

$\bullet~~$en termes d'argument : arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = 0 + 2k\pi$. Or arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right)$, donc 

$\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}}}$.
\item %On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P.
On a  $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \iff z_{\text{P}} - 1 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \Rightarrow \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = \left|  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right|\\
 \iff \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = \boxed{\textcolor{red}{1}}$.

Cette dernière égalité montre que P appartient au cercle de centre A et de rayon 1, donc au cercle $\mathcal{C}$.

Il ne reste plus qu'à construire sur ce cercle le point tel que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AP}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
\item %En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction.
On a AP $ \times \text{AP}' = \frac{1}{2}$ ; or AP $ = 1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{AP}'  = \frac{1}{2}}}$.le point P$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{1}$ de centre A et de rayon  $\frac{1}{2}$. 

D'autre part on a $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AP}'}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

On peut donc construire P$_{1}$ symétrique sur le cercle $\mathcal{C}$ du point P autour de l'axe horizontal contenant A. Le point P$'$ est le point commun à [AP$_{1}$] et au cercle $\mathcal{C}_{1}$. Voir \hyperlink{Figure}{Figure}.
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
On a donc $z = \frac{3}{4} + \text{i}t$ avec $t \in \mathbb{R}$. 

Or : $(z'-1)(z-1)=\dfrac{1}{2}$ donc $z'-1=\dfrac{1}{2(z-1)}$ donc $z'=1+\dfrac{1}{2(z-1)}=1+\dfrac{1}{2\left(\frac34+\mathrm{i}t-1\right)}=1+\dfrac{1}{2\left(-\frac14+\mathrm{i}t\right)}\\
=1+\dfrac{1}{2\left(\dfrac{-1+4\mathrm{i}t}{4}\right)}=1+\dfrac{1}{\dfrac{-1+4\mathrm{i}t}{2}}=1+\dfrac{2}{-1+4\mathrm{i}t}\\
=\dfrac{-1+4\mathrm{i}t}{-1+4\mathrm{i}t}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+4\mathrm{i}t}{-1+4\mathrm{i}t}}}$.

On en déduit : $z'=\left|\dfrac{1+4\mathrm{i}t}{-1+4\mathrm{i}t}\right|=\dfrac{\left|1+4\mathrm{i}t\right|}{\left|-1+4\mathrm{i}t\right|}\\
=\dfrac{\sqrt{(1)^2+(4t)^2}}{\sqrt{(-1)^2+(4t)^2}}=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\left|z'\right|=1}}$


%D'où $\left|z'\right|^2  = \dfrac{\left(- \frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} + \dfrac{4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = \dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 - 2\alpha^2 + 4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} =$
%
%$\dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 + 2\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} =
%\dfrac{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = 1$.
%D'où $\left|z' \right| = 1$ :

Le point $M"$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
		\item %Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
Un point $M'$ de $\mathcal{C}'$ a une affixe qui peut s'écrire \\
$z' = \text{e}^{\text{i}a}$ avec $a \in \mathbb{R}$. Son ou ses antécédents par $f$ vérifient :

$\text{e}^{\text{i}a} = \dfrac{2z - 1}{2z - 2} \iff 2z\text{e}^{\text{i}a} - 2\text{e}^{\text{i}a} = 2z - 1 \iff 2z\left(\text{e}^{\text{i}a} - 1 \right) = 2\text{e}^{\text{i}a} - 1 \iff z = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}a} - 1}{\text{e}^{\text{i}a} - 1 }$\:si $\text{e}^{\text{i}a} - 1 \neq 0$.

Or $\text{e}^{\text{i}a} - 1 = 0 \iff \text{e}^{\text{i}a} = 1 \iff a = 0 \iff z = 1$. 

C'est le point A et on sait que ce point n'a pas d'image par $f$. La réponse est : \textbf{\textcolor{red}{non}}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\hypertarget{Figure}{}
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.25,-1.25)(2.25,1.25)

\multips(0,-1)(0,0.8){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.25,0)(2.25,0)}
\multips(0,0)(0.8,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.25)(0,1.25)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.25,-1.25)(2.25,1.25)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.7pt](-0.2,-1.2)(2.2,1.2)

\pscircle(1,0){3}
\pscircle(1,0){1.5}
\psline(1,0)(1.71,-0.71)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-1)
\rput[bl](1.02,-0.97){\blue{$M_1$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.02,0.03){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.02,1.03){\blue{$M_2$}}
\rput[bl](0.5,0.75){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.71,0.71)
\rput[bl](1.73,0.74){\blue{$P$}}
\rput[bl](0.75,0.33){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.71,-0.71)
\rput[bl](1.73,-0.68){\blue{$P_1$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.35,-0.35)
\rput[bl](1.37,-0.33){\darkgray{$P'$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (5 points)}}%Nouvelle Calédonie mars 2011
\textbf{Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}& =& 1\\
%u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
%\end{array}\right.$
%
%\medskip 
	 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$.
$f(x) = x \iff x - \ln \left(x^2 + 1\right) = x \iff \ln \left(x^2 + 1\right) = 0 \\
\iff x^2 + 1 = 1 \iff x^2 = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{x = 0}}$ 
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~1]$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - 2x \times \dfrac{1}
{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}}}$.

On a quel que soit $x$, $x^2 + 1\geqslant 1 > 0$ et sur [0~;~1], $(x - 1)^2 \geqslant 0$, donc sur [0~;~1], $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction est donc \textbf{croissante} sur [0~;~1].

On a vu que $f(0) = 0$ et $f(1) = \boxed{\textcolor{red}{1 - \ln 2 < 1}}$.
%En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
La fonction est croissante de $0$ à $1 - \ln 2 < 1$, donc toutes les images $f(x)$ appartiennent à l'intervalle [0~;~1].
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{1-\ln 2<1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Figure à la fin de l'exercice (\hyperlink{Annexe}{Annexe} exercice IV)
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$.
On effectue une \textbf{démonstration par récurrence} :

\emph{\textbf{Initialisation} :} $u_{0} = 1 \leqslant 1$, donc $u_{0} \in [0~;~1]$.

\emph{\textbf{Hérédité} :} Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $u_{p} \in [0~ ;~1]$ ; d'aprËs la partie A, on a $u_{p+1} = f\left(u_{p} \right)$ et on a vu que si $u_{p} \in [0~ ;~1]$, alors

$\boxed{\textcolor{red}{f\left(u_{p} \right) = u_{p+1} \in [0~;~1]}}$.

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

On a donc pour tout naturel $n,~u_{n} \in [0~;~1]$.

\item %Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_{n} =\boxed{\textcolor{red}{ - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)}}$

Or $u_{n} \geqslant 0 \Rightarrow u_{n}^2 \geqslant 0 \Rightarrow  u_{n}^2 + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \ln \left(u_{n}^2  + 1\right) \geqslant 0 \\
\iff  0 \geqslant - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)$.

\textbf{Conclusion} : quel que soit le naturel $n,~\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0}}$ : \\
la suite est \textbf{décroissante}.

\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite est décroissante et tous ses termes sont minorés par $0$ : elle est donc \textbf{convergente} vers une limite supérieure ou égale à $0$.

$f$ est continue, donc la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$. La seule solution est $0$ (d'après A.1.) donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.

%Déterminer sa limite.
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 0}}$. 
\end{enumerate}
\columnbreak

\begin{center}
\hypertarget{Annexe}{Annexe à l'exercice IV} 
\end{center}\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=6cm , yunit=12cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{1} \def\ymin{0} \def\ymax{1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,0.30685)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.1709)(0.1709,0)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.14211,0.14211)(0.14211,0)
\def\F{x x 2 exp 1 add ln sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{1}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.30685){ $u_1$}
\uput[-90](0.30685,0){ $u_1$}
\uput[180](0,0.21686){ $u_2$}
\uput[-90](0.21686,0){ $u_2$}
\uput[180](0,0.1709){ $u_3$}
\uput[-90](0.1709,0){ $u_3$}
\uput[180](0,0.14211){ $u_4$}
\uput[-90](0.14211,0){ $u_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 de spécialité (5 points)}}
\textbf{Pour les élèves ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
\noindent \textbf{Partie A.} Quelques exemples
\begin{enumerate}
\item $ 4 \equiv 1 \mod 3$, donc $4^n \equiv 1^n \mod 3$ et finalement  $\boxed{\textcolor{red}{4^n \equiv1 \mod 3}}$.

\item $4$ est premier avec $29$ ($29$ est premier). Donc d'après le petit théorème de Fermat $\boxed{\textcolor{red}{4^{29 - 1}  - 1 \equiv  0 \mod 29}}$ donc  $4^{28} - 1$ est divisible par $28$.

\item $4 = 0 \times 17 + 4$ ;\\
$4^2 = 0 \times 17 + 16$ ;\\
$4^3 = 3 \times 17 + 13$ ;\\
$4^4 = 15 \times 17 + 1$.

La dernière égalité montre que $\boxed{\textcolor{red}{4^4 \equiv 1 \mod 17}}$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\left(4^4\right)^k \equiv 1^k \mod 17}}$ soit $4^{4k} \equiv 1 \mod 17$ ou encore $4^{4k}  - 1 \equiv  0 \mod 17$.\\
 \textbf{Conclusion} : \fbox{\textcolor{red}{$4^{4k}  - 1$ est divisible par $17$}}.
 
\item On a $4^2 = 16 = 3 \times 5 + 1$ ou $4^2 \equiv 1 \mod 5$ d'où il résulte que $4^{2k}  \equiv 1 \mod 5$  ou encore $\boxed{\textcolor{red}{4^{2k} - 1 \equiv 0 \mod 5}}$.

\textbf{Conclusion} : $4^n - 1$ est divisible par $5$ si $n$ est pair.

En revanche  : de $4 \equiv 4 \mod 5$ et $4^{2k} \equiv 1 \mod 5$. Il résulte par produit que  $\boxed{\textcolor{red}{4^{2k+1} \equiv 4 \mod 5 }}$.

\textbf{Conclusion} : $4^n - 1$ est divisible par $5$ \textbf{si  et seulement si} $n$ est pair. (\textbf{équivalence})

\item Diviseurs premiers de $4^{28} - 1$ : la question 2 a déjà donné le nombre 29 ; la question 3 a donné le diviseur premier 17 ;  la question 4 a donné le diviseur 5.

D'autre part, $4 \equiv 1 \mod 3$ entraîne  $4^n \equiv1 \mod 3$ ou encore $4^n - 1$ est divisible par 3 qui est premier. Il y a également $5,~ 43$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\noindent \textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier
\begin{enumerate}

\item $4 = 2^2$ ; si $p$ est premier différent de 2, il est premier avec 4, donc d'après le petit théorème de Fermat $4^{p - 1} - 1 \equiv 0 \mod p$ ou $\boxed{\textcolor{red}{4^{p - 1} \equiv 1 \mod p}}$.

 Le premier premier différent de $2$ est $3$, donc $\boxed{\textcolor{red}{n = p - 1 \geqslant 1}}$.
 
\item 
\begin{enumerate}
\item On a donc : $4^n \equiv 1 \mod p,~4^b \equiv 1 \mod p$ et $n = bq + r$ avec $r< b$. On  déduit de la seconde congruence que $4^{bq} \equiv 1 \mod p$ et par quotient avec $4^{bq+r} \equiv 1 \mod p$ que $4^r \equiv 1 \mod p$.

 Or $b$ étant le plus petit naturel vérifiant $4^b \equiv 1 \mod p$, il en résulte que $4^r = 1$ ou encore $\boxed{\textcolor{red}{r = 0}}$.
 
\item On vient démontrer dans la question précédente que si  $4^n \equiv 1 \mod p$, alors $n$ est multiple de $b$, $b$ étant le plus naturel positif tel que $4^b \equiv 1 \mod p$.

\textbf{Réciproquement } : si $n = kb$, de $4^b \equiv 1 \mod p$, on déduit que $\left(4^b\right)^k \equiv 1^k \mod p$ soit $4^n \equiv 1 \mod p$. L'équivalence est donc démontrée.

\item D'après la question B. 1 $4^{p - 1} \equiv 1 \mod p$ et soit $b$ le plus petit entier tel que $4^b \equiv 1 \mod p$. D'après la question 2. b. il en résulte que $p - 1$ est multiple de $b$ ou encore $b$ (non  nul) divise $p - 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  