\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle (limites et probabilités)}}\end{center}




\subsection{}%https://www.annales2maths.com/exercices-ts-limites-suites/
Déterminer la limite des suites $\left(u_n\right)$ suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n =\dfrac{n^2 - 1}{n + 1}=\dfrac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\frac1n\right)}=\dfrac{n\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{1+\frac1n}$\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1$ donc, par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.

\item $u_n = \dfrac{n^3 - 1}{3n^2 + 5n^4}=\dfrac{n^3\left(1-\frac1{n^3}\right)}{n^4\left(\frac3{n^2}+5\right)}=\dfrac{1-\frac1{n^3}}{n\left(\frac3{n^2}+5\right)}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)=1$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac3{n^2}+5\right)=5$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[n\left(\frac3{n^2}+5\right)\right]=+\infty$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$

%\item $u_n=\dfrac{n^2-\sin n}{n+1}$ pour tout  $n$  entier naturel.

\item $u_n=5^n-2^n=5^n\left(1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right)$.\\
$-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}5^n=+\infty$ car $5>1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item $u_n=\sum_{k=0}^{k=n}\dfrac{1}{2^k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}$ pour tout  $n$  entier naturel.\\
On reconnait la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.\\
Alors : $u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.\\
Comme $-1<\dfrac{1}{2}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=2}}$.

\item $u_n=\dfrac{3n-\sqrt{9n^2+1}}{\sqrt{n^2+5}}=\dfrac{3n-\sqrt{9n^2+1}}{\sqrt{n^2+5}}\times \dfrac{3n+\sqrt{9n^2+1}}{3n+\sqrt{9n^2+1}}=\dfrac{9n^2-\left(9n^2+1\right)}{\sqrt{n^2+5}\times \left(3n+\sqrt{9n^2+1}\right)}=\dfrac{-1}{\sqrt{n^2+5}\times \left(3n+\sqrt{9n^2+1}\right)}$

Mais $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{n^2+5}\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}3n=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{9n^2+1}=+\infty$.\\

Par conséquent $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$.

\end{enumerate}


\subsection{}
Une suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :  $u_{n+1} = u_n + 3n^2 - 3n + 1$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_1=1$.
$u_1=u_0+3\times 0^2-3\times 0+1=0+0-0+1=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_1=1}}$

\item %Calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_2=u_1+3\times 1^2-3\times 1+1=1+3-3+1=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_2=2}}$

\item $u_3=u_2+3\times 2^2-3\times 2+1=2+12-6+1=9$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_3=9}}$

\item $u_4=u_3+3\times 3^2-3\times 3+1=9+27-9+1=28$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_4=28}}$

\item $u_5=u_4+3\times 4^2-3\times 4+1=28+48-12+1=65$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_5=65}}$
\end{enumerate}

\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(n-1)^3+1$.
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(n-1)^3+1$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $(0-1)^3+1=-1+=0=u_0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :\\
On suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $u_n=(n-1)^1+1$.\\
Alors : $u_{n+1}=u_n++3n^2-3n+1=\left[(n-1)^3+1\right]+3n^2-3n+1=n^3-3n^2+3n-1+1+3n^2-3n+1\\
=n^3+1=((n+1)-1)^3+1$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\end{enumerate}
La propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.\\
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=(n-1)^3+1}}$

%On pourra utiliser les identités remarquables 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
%
%\item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2017_2018/ctrle_01_rappel_suites_27_09_2017.pdf
%Correction : https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2017_2018/ctrle_01_rappel_suites_27_09_2017_correction.pdf
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $\begin{cases}u_0 = 2\\ u_{n + 1} = \dfrac{2u_n}{ 2 + 3u_n}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$u_1=\dfrac{2u_0}{2+3u_0}=\dfrac{4}{2+6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$ et $u_2=\dfrac{2u_1}{2+3u_1}=\dfrac{1}{2+\frac32}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{7}}}$.

\item %La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? 
$\begin{cases}u_1 - u_0 =\dfrac{ 1}{ 2}- 2 = - \dfrac{3}{ 2}\\ u_2 - u_1 = \dfrac{2}{ 7} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{ 3}{ 14}\end{cases} \rightarrow u_1 - u_0\neq u_2 - u_1$ : la suite $\left(u_n\right)$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas arithmétique}}.\\

\bigskip

$\begin{cases}\dfrac{u_1}{ u_0} =\dfrac{ 1}{ 4}\\\dfrac{u_2}{ u_1} =\dfrac{ 4}{ 7}\end{cases}$ donc $\dfrac{u_1}{ u_ 0}\neq\dfrac{u_2}{ u_1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas géométrique}}.
\end{enumerate}


\item %Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n$ n’est pas nul.
Montrons par récurrene que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n$ n’est pas nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} $u_0=2\neq 0$ donc c'est vrai au rang $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $u_n\neq 0$.\\
Alors : $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2+3u_n}\neq 0$ puisque $u_n\neq 0$
\end{enumerate}
La propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vrai pour tout $n$.

\item On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = 1 + \dfrac{2}{u_n}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
$\forall n\in\mathbb{N},~v_{n+1}-v_n=1+\frac{2}{u_{n+1}}-1-\dfrac{2}{u_n}=\dfrac{2\left(2+3u_n\right)}{2u_n}-\dfrac{2}{u_n}=\dfrac{2+3u_n-2}{u_n}=3$ :  $\forall n\in\mathbb{N},~ v_{n+1}-v_n=3$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $v_0=1+2u_0=2$.

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$.
$\forall n\in\mathbb{N},~v_n = v_0 + nr = 2 + 3 n$.\\
Alors : $v_n=1+\dfrac{2}{u_n}\Leftrightarrow\dfrac{2}{u_n}=v_n-1\Leftrightarrow\dfrac{u_n}{2}=\dfrac{1}{v_n-1}\Leftrightarrow u_n=\dfrac{2}{v_n-1}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{2}{3n+1}}}$

\item %Vers quel nombre tend la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+1)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilités}}
Une société effectue auprès de \numprint{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressées par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'échantillon. On note $J$ l'événement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intéressée\fg.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=6mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,9$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(I \cap J)=p_J(I)\times p(J)=0,2\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,08}}$

\item $p(I\cap\overline{J})=p_{\overline{J}}(I)\times p\left(\overline{J}\right)=0,1\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$

\item $p(\overline{I}\cap J)=p_J\left(\overline{I}\right)\times p(J)=0,8\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,32}}$

\item $p(\overline{I}\cap \overline{J})=p_{\overline{J}}\left(\overline{I}\right)\times p\left(\overline{J}\right)=0,9\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,54}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $p(I)$.
$I=(I \cap J)\cup \left(I \cap \overline{J}\right)$ donc $p(I)=p(I \cap J)+p\left(I \cap \overline{J}\right)=0,08+0,06=0,14$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(I)=0,14}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit.
Calculons la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit :\\
$p_I(J)=\dfrac{p(I \cap J)}{p(I)}=\dfrac{0,08}{0,14}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p_I(J)=\dfrac{4}{7}}}$`

\item %Compléter l'arbre ci-dessous.
Complétons l'arbre ci-dessous :

On a $p_{\overline{I}}(J)=\dfrac{p(\overline{I} \cap J)}{p\left(\overline{I}\right)}=\dfrac{0,32}{0,86}=\dfrac{32}{86}=\dfrac{16}{43}$

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=11mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $0,14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\frac47$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\frac37$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,86$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\frac{16}{43}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\frac{27}{43}$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Asie juin 2009
	 $\mathscr{F}_1$ , $\mathscr{F}_2$ , $\mathscr{F}_3$. Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_1$ , le tiers par le fournisseur $\mathscr{F}_2$ et le reste par le fournisseur $\mathscr{F}_3$ . Une étude statistique a montré que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_1$ ont un défaut ;

\item 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_2$ ont un défaut ; 

\item sur l’ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette ont un défaut. 
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item %Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
On a : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\text{F}_{1}\right) = \dfrac{1}{2}}}$~; ~$\boxed{\textcolor{red}{p\left(\text{F}_{2}\right) = \dfrac{1}{3}}}$. Puis :\\

$\boxed{\textcolor{red}{p_{\text{F}_{1}}(D) = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{p_{\text{F}_{2}}(D) = \dfrac{1,5}{100} = \dfrac{15}{1000}=\dfrac{3}{200}}}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{p(D) = \dfrac{3,5}{100} = \dfrac{35}{1000} = \dfrac{7}{200}}}$.

%\emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.}

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{F$_{1}$}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	  { 
		  \TR{D}\taput{$\frac{1}{20}$}
		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{F$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{D}\taput{$\frac{3}{200}$}
		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots} 
	  }
	\pstree{\TR{F$_{3}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{D}\taput{\ldots}
		   \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

		\item %Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut.
		Cette probabilité est  $p\left(F_1 \cap D\right)=p\left(\text{F}_{1}\right) \times p_{\text{F}_{1}}(D) \\
		= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{20} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{40}}}$.
		
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement F$_{2} \cap \text{D}$.
De la même façon, $p\left(F_2 \cap F\right)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{200} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{200}}}.$
		\item %En déduire la probabilité de l'évènement F$_{3} \cap \text{D}$.
$D=\left(D \cap F_1\right) \cup \left(D \cap F_2\right) \cup \left(D \cap F_3\right)$ (réunion d'événements incompatibles), donc : \\
$p\left(D \cap F_3\right)=p(D)-\left(D \cap F_1\right)-\left(D \cap F_2\right)\\
=\dfrac{7}{200}-\dfrac{1}{40}-\dfrac{1}{200}=\dfrac{7-5-1}{200}=\dfrac{1}{200}$ : \\
$\boxed{\textcolor{red}{p\left(D \cap F_3\right)=\dfrac{1}{200}}}$


		\item %Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
		On a $p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) = \dfrac{p\left(\text{F}_{3} \cap \text{D} \right)}{p\left(\text{F}_{3} \right)} = \dfrac{\frac{1}{200}}{1-\frac12-\frac13}=\dfrac{\frac{1}{200}}{\frac16} = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) =\dfrac{3}{100}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  