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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle sur les suites et les démonstrations par récurrence}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ? (d'après concours ESIEE)}}%ESIEE 2009
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses et justifier, soit par une propriété du cours, soit par un contre-exemple (éventuellement graphique).


\begin{enumerate}
\item Soient $\left(u_{n}\right)$   et   $\left(v_{n}\right)$ deux suites réelles vérifiant pour tout  $n\geqslant 0$ :  .$u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant 2u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(v_{n}\right)$ converge.\\
\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : \textbf{contre-exemple} : $u_{n}=1$ pour tout $n$ donc $2u_{n}=2$ et $v_{n}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{4}$.\\
Sur le dessin, les termes $u_{n}$ sont en bleu, $2u_{n}$ en rouge et $v_{n}$ en vert.
\begin{center}
\newrgbcolor{wwzzqq}{0.4 0.6 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(10,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(10,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](2,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](4,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](5,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](7,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](8,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](9,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](10,1)
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\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](12,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1,1)
%%%%%%%%%%%
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](1,1.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](2,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](3,1.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](4,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](5,1.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](6,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](7,1.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](8,1.25)
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\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](11,1.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](12,1.25)
%%%%%%%%%%%%%%
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](1,2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](3,2)
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\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](10,2)

\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=+\infty$.
C'est \textbf{\textcolor{red}{vrai}} (théorème ds gendarmes).

\item  Si $\left(u_{n}\right)$ ne converge pas, alors $\left(v_{n}\right)$ ne converge pas.
\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : contre-exemple :\\
$u_{n}=1+\dfrac{(-1)^{n}}{4}$ qui vaut alternativement $\dfrac{5}{4}$ ou $\dfrac{3}{4}$ ; $2u_{n}$ vaut donc alternativement $\dfrac{5}{2}$ ou $\dfrac{3}{2}$.\\
On prend $\left(v_{n}\right)$ constante, avec $v_{n}=\dfrac{11}{8}$.
Illustration :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(11,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1,0.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](2,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3,0.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](4,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](5,0.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](7,0.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](8,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](9,0.75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](10,1.25)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1,0.75)
%%%%%%%%%%%%%%
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](3,2.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](4,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](5,2.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](6,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](7,2.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](8,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](9,2.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](10,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](1,2.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,1.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](3,2.5)
%%%%%%%%
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](1,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](2,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](3,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](4,1.375)
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\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](6,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](7,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](8,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](9,1.375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=green](10,1.375)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ :
\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$.
\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : contre-exemple : $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$. $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et tend vers 0.

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$, alors $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir d’un certain rang.\\
\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : contre exemple : $u_{n}=-n+(-1)^{n}$. $u_{n}\leqslant -n+1$, donc, d'après le théorème des gendarmes, \\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$ et cette suite n'est pas monotone\\
Illustration :
\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-21)(21,1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-21)(21,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](1,-2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](2,-1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,-4)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](4,-3)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](5,-6)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](6,-5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](7,-8)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](8,-7)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](9,-10)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](10,-9)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](11,-12)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](12,-11)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](13,-14)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](14,-13)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](15,-16)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](16,-15)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](17,-18)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](18,-17)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](19,-20)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](20,-19)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}



%\subsection{}
%Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{l}v_{0}=0\\v_{n+1}=v_{n}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\end{array}\right.$. Alors :
%
%\begin{enumerate}
%\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
%
%\item $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique. 
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $u_{o} +u_{l} +u_{2} +\cdots+u_{n} = 2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1} = 1+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
%
%\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=2$.
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Pour toute suite réelle $\left(u_{n}\right)$ :
%
%\begin{enumerate}
%\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(u_{n}^{2}\right)$ converge. 
%
%\item Si $\left(u_{n}^{2}\right)$converge, alors $\left(u_{n}\right)$ converge.
%
%\item Si $\left(u_{n}\right)$ est bornée, alors $\left(u_{n}\right)$ converge.
%
%\item  Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
%
%\item Si $\left(u_{n}^{2}\right)$ est bornée, alors $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^{n}+5$ est un multiple de 3.
Démontrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^{n}+5$ est un multiple de 3.\\
Soit $P_{n}$ la proposition : $4^{n}+5=3k_{n}$, $k_{n}\in\mathbb{Z}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : $4^{0}+5=6=3\times 2$ donc $4^{n}+5$ est bien un multiple de 3.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $4^{n}+5=3k_{n}$, $k_{n}\in\mathbb{Z}$.\\
Alors : $4^{n+1}+5=4\times 4^{n}+5=4\left(3k_{n}-5\right)+5=12k_{n}+15=3\left(4k_{n}+5\right)=3k_{n+1}$ avec $kn+1=4k_{n}+5\in\mathbb{Z}$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : pour ceux qui suivent l'enseignement de spécialité, c'est facile à démontrer directement, car $4\equiv 1~[3]$ donc $4^{n}\equiv 1^{n}~[3]\equiv 1~[3]$ donc, pour tout $n$, $4^{n}+5\equiv 6~[3]$.
%\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$ : \[1+5+9+\cdots+(4n-3)=\dfrac{n(4n-2)}{2}.\]


\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{à}=1\\u_{n+1}=u_{n}(5+u_{n})\end{array}\right.$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que tous les termes de cette suite $\left(u_{n}\right)$ sont positifs.\\
Démontrons par \textbf{\textcolor{red}{récurrence}} que tous les termes de cette suite $\left(u_{n}\right)$ sont positifs.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{0}=1>0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.

\item On suppose la propriété vraie ) un rang $n$ quelconque, donc $u_{n}>0$ ; alors $5+u_{n}>0$ donc $u_{n+1}=u_{n}\left(5+u_{n}\right)>0$ et la rporpiété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, tous les termes $u_{n}$ sont positifs.

\item %Étudier la monotonie de cette suite.
$u_{n}>0$ pour tout $n$ ; pour tout $n$, $\dfrac{un+1}{u_{n}}=5+u_{n}>5>1$, donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croisante}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier dans chaque cas la limite éventuelle de la suite $\left(u_{n}\right)$ :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_{n}=\dfrac{3n^{2}+5n+1}{n^{2}+1}$\\
Pour tout $n\neq 0$, $u_{n}=\dfrac{n^{2}\left(3+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}=\dfrac{3+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)=3$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)$, donc par quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=3}}$

\bigskip
\item $u_{n}=\dfrac{n+2}{5n^{2}+1}$.\\
De même, $u_{n}=\dfrac{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{n^{2}\left(5+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{n\left(5+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}$.\\
=1$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(5+\dfrac{1}{n^{2}}\right)=5$ doù $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[n\left(5+\dfrac{1}{n^{2}}\right)\right]=+\infty$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=0}}$.

\bigskip
\item $u_{n}=\dfrac{5+\cos(n)}{n+1}$\\
$\forall n$, $-1\leqslant \cos(n)\leqslant 1\Rightarrow 4\leqslant 5+\cos(n)\leqslant 6\Rightarrow\dfrac{4}{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant \dfrac{6}{n+1}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{4}{n+1}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{6}{n+1}\right)=0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=0}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac métropole juin 2009}}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a, pour $n\neq 0$ : $w_{n}=\dfrac{(n+1)w_{n-1}+1}{n}$ donc $w_{10}=\dfrac{11w_{9}+1}{10}=\dfrac{11\times 19+1}{10}=21$ ; $\boxed{\textcolor{red}{w_{10}=21}}$.

\item La suite $\left(w_{n}\right)$ semble la suite des nombres impairs. On \textbf{conjecture} que $\textcolor{red}{w_{n}=2n+1}$.\\
Démontrons cette conjecture par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $n=0$ : $2\times 0+1=1=w_{0}$ donc c'est vrai au rang 0.

\item Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ : $w_{n}=2n+1$.\\
On calcule alors $w_{n+1}$ : d'après la définition de la suite $\left(w_{n}\right)$, on a : \\
$w_{n+1}=\dfrac{(n+2)w_{n}+1}{n+1}=\dfrac{(n+2)(2n+1)+1}{n+1}=\dfrac{(2n^2+5n+3}{n+1}=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$.\\
La propriété est vraie au rang $n+1$ et elle donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, cette propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{w_{n}=2n+1}}$.

\item On en déduit $u_{\numprint{2000}}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4001}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}}
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
D'après la définition $u_{2} = u_{1} - \dfrac{1}{4}u_{0} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.

$\bullet~$ Si la suite était géométrique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $- \dfrac{1}{2}$ ; or $u_{1} \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) =  \dfrac{1}{2} \neq u_{2}$.

$\bullet~$ Si la suite était arithmétique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $\dfrac{1}{2} - ( -1) = \dfrac{3}{2}$ ; \\
or $u_{1} + \left(\dfrac{3}{2}  \right) =  \dfrac{4}{2} = 2  \neq u_{2}$.

Conclusion : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item %On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
%\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{0}$.
$v_{0} = u_{1} - \dfrac{1}{2}u_{0} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times (- 1) = 1$. 
		\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
On a pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}= u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = $

$\dfrac{1}{2}u_{n+1} -  \dfrac{1}{4}u_{n} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}v_{n}}}$.
 		\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}$ signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a donc quel que soit $n \in \mathbb{N},~v_{n} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2^n}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

%\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $w_{0}$.
$w_{0} = \dfrac{u_{0}}{v_{0}}  = \dfrac{- 1}{1} = \boxed{\textcolor{red}{-1}}$.
		\item %En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
On a  $w_{n+1}   = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_{n}} = \boxed{\textcolor{red}{2 + \dfrac{u_{n}}{v_{n}}}}$.
		\item %En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
On a par définition $\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = w_{n}$, donc l'égalité ci-dessus s'écrit :

$\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1} = 2 + w_{n}}}$. 
		\item %Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		L'égalité précédente montre que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $- 1$ et de raison $2$.
		
		On a donc $w_{n} = w_{0} + n \times 2 = - 1 + 2n=\boxed{\textcolor{red}{2n-1}}$.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$

%\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
On a trouvé que $w_{n} = 2n - 1 = \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{u_{n}}{\frac{1}{2^n}} = 2^n \times u_{n}$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = \dfrac{2n - 1}{2^n}}}$, car $2^n \neq 0$ quel que soit $n \in \mathbb{N}$.  
\item %Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
%Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 

%\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$ Initialisation : $S_{0} = u_{0} = -1$ et $2 - \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 - \dfrac{3}{1} = 2 - 3 = - 1$. La formule est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$ Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $k$ tel que :

$S_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} u_{i} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{k} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k}$.

Donc $S_{k+1} = S_{k} + u_{k+1} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k} +  \dfrac{2(k + 1) - 1}{2^{k+1}} = 2 +  \dfrac{-4k - 6  + 2k + 1}{2^{k + 1}} = 2 + \dfrac{-2k - 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2k + 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}$.

La formule est vraie au rang $k + 1$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :$\boxed{\textcolor{red}{S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}}}.$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  