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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : corrigé du contrôle sur les nombres complexes (2 heures)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{1,5 point}}
Déterminer les formes algébriques des nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=$~]
\item $(2+3\mathrm{i})(1-7\mathrm{i})=2-14\mathrm{i}+3\mathrm{i}+21=\boxed{\textcolor{red}{23-11\mathrm{i}}}$.

\bigskip

\item $\left(2-3\mathrm{i}\right)^2=4-2\times 2\times 3\mathrm{i}-9=\boxed{\textcolor{red}{-5-12\mathrm{i}}}$

\bigskip

\item $\dfrac{2+5\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}=\dfrac{(2+5\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})}{3^2+(-2)^2}=\dfrac{-4+10\mathrm{i}}{13}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{13}+\dfrac{19}{13}\mathrm{i}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2 points}}
Donner une forme trigonométrique des nombres suivants :
\begin{enumerate}[$A=$~]
\item $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}}$.

\bigskip

\item $\sqrt{3}-\mathrm{i}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)}}$

\bigskip

\item $\boxed{\textcolor{red}{-5=5\left(\cos\pi+\mathrm{i}\sin\pi\right)}}$

\bigskip

\item $-3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=3\left(-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\pi\right)\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{3\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2,5 points}}

\begin{enumerate}
\item %Donner une forme trigonométrique de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)}}$.

\item %En déduire la forme algébrique de \[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)^{2014}.\]
Posons $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ et $Z=z^{\numprint{2014}}$.\\
Pour trouver la forme algébrique de $Z$, on passe par la forme trigonométrique.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $|Z|=\left|z^{\numprint{2014}}\right|=|z|^{\numprint{2014}}=1^{\numprint{2014}}=1$.

\item $\arg(Z)=\arg\left(z^{\numprint{2014}}\right)=\numprint{2014}\arg(z)\\
=\numprint{2014}\times \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)~[2\pi]$.\\
On cherche la mesure principale de l'angle $\numprint{2014}\times \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\numprint{1007}}{3}\pi$..\\
On cherche $k\in\mathbb{Z}$ tel que \\
$-\pi\leqslant -\dfrac{\numprint{1007}}{3}\pi+2k\pi<\pi$.\\
En simplifiant par $\pi$, on obtient :\\
$-1\leqslant -\dfrac{\numprint{1007}}{3}+2k<1\\
\Leftrightarrow -3\leqslant -\numprint{1007}+6k<3\\
\Leftrightarrow -3+\numprint{1007}\leqslant 6k<3+\numprint{1007}\\
\Leftrightarrow \dfrac{502}{3}\leqslant k<\dfrac{505}{3}$.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{k=168}}$.\\
La mesure principale est donc \\
$-\dfrac{\numprint{1007}}{3}\pi+2\times 168\pi=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{3}}}$.\\

\bigskip

On en déduit : \\
$Z=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $2\mathrm{i}z=1-z\\
(2\mathrm{i}+1)z=1\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{1+2\mathrm{i}}=\dfrac{1-2\mathrm{i}}{5}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}\mathrm{i}}}$

\bigskip

\item $(2+3\mathrm{i})z=1-5\mathrm{i}\Leftrightarrow z=\dfrac{1-5\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}=\dfrac{{(1-5\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})}}{13}\\
=\dfrac{-13-13\mathrm{i}}{13}=\boxed{\textcolor{red}{-1-\mathrm{i}}}$.

\bigskip

\item Pour résoudre $z=2\overline{z}$, on pose $z=x+\mathrm{i}y$, $x$ et $y$ réels.\\
On obtient $x+\mathrm{i}y=2(x-\mathrm{i}y)\Leftrightarrow -x+3y\mathrm{i}=0\\
\Leftrightarrow x=0\text{ et }y=0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{z=0}}$.

\bigskip

\item $z^2=-3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\mathrm{i}\sqrt{3}~;~\mathrm{i}\sqrt{3}\right\}}}$

\bigskip

\item $3z^2+2z+5=0$\\
$\Delta=-56<0$ ; l'équation adieux solutions complexes conjuguées.\\
$z_1=\dfrac{-2-\mathrm{i}\sqrt{56}}{6}=\dfrac{-1-\sqrt{14}}{3}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{14}}{3}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{14}}{3}~;~\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{14}}{3}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2 points}}
Soit $z$ un nombre complexe et soit $z'$ le nombre complexe défini par $z'=(z-\mathrm{i})(3\mathrm{i}z-4)$.\\
On pose $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$ $x'\in\mathbb{R}$ et $y'\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item 

Déterminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.\\
$z'=x'+\mathrm{i}y'=(x+\mathrm{i}y-\mathrm{i})(3\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)-4)\\
=[x+(y-1)\mathrm{i}][(-3y-4)+3x\mathrm{i}]\\
=x(-3y-4)-3x(y-1)+[3x^2+(y-1)(-3y-4)]\mathrm{i}$.\\
On en déduit que $x'=x(-3y-4)-3x(y-1)=-6xy-x=-\boxed{\textcolor{red}{x(6y+1)}}$\\
et $\boxed{\textcolor{red}{y'=3x^2-3y^2-y+4}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $z$ tel que $z'$ soit imaginaire pur.
$z'$ est imaginaire pur si, et seulement si, sa partie réelle est nulle.\\
$x"=0\Leftrightarrow x(6y+1)=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou }y=-\dfrac{1}{6}$.\\
Ce sont deux équations de droites.

\item %Représenter l'ensemble des points d'affixe $z$ correspondants dans le plan complexe.
Gréphiquement, on obtient :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(3,3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,-2)(0,3)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{3}{(-0.17-0*x)/1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

%\item Déterminer $z\in\mathbb{C}$ tel que $z'$ soit réel.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
On considère les nombres complexes $z_1=\sqrt{2}(1+\mathrm{i})$ et $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}2{}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
La forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$ est :\\
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\mathrm{i})}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}=\sqrt{2}\dfrac{(1+\mathrm{i})\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)}{1}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}+\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}}}$.

\item %Déterminer la forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $z_1=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}}$.

\item $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}}$.

\item $\left[\dfrac{z_1}{z_2}\right]=\dfrac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}=\dfrac{2}{1}=2$.\\
$\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg\left(z_1\right)-\arg\left(z_2\right)=\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5\pi}{12}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{z_1}{z_2}=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}+\mathrm{i}\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.
En identifiant les patties réelles des formes algébrique et raigonométrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$, pn trouve :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2\left(\sqrt{3}-1\right)}}{4}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)}}{4}}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Dans le plan complexe muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_\text{A}=-1-\mathrm{i}$, $z_\text{B}=2-2\mathrm{i}$ et $z_\text{C}=1+5\mathrm{i}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la forme algébrique de \[z=\dfrac{z_\text{C}-z_\text{A}}{z_\text{B}-z_\text{A}}.\]
$z=\dfrac{z_\text{C}-z_\text{A}}{z_\text{B}-z_\text{A}}.=\dfrac{2+4\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\dfrac{2\mathrm{i}(3-\mathrm{i})}{3-\mathrm{i}}=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{i}}}$ (en mettant $2\mathrm{i}$ en facteur au numérateur).

\item %En déduire le module et un argument de $z$.
$|z|=|2\mathrm{i}=2$ et $\arg(z)=\arg(2\mathrm{i})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]}}$.
\end{enumerate}

\item %Interpréter $|z|$ et $\arg(z)$ à l'aide des points A, B et C.
$|z|=\left|\dfrac{z_\text{C}-z_\text{A}}{z_\text{B}-z_\text{A}}\right]=\dfrac{\left|z_\text{C}-z_\text{A}\right|}{\left|z_\text{B}-z_\text{A}\right|}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$ donc $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}=2$ d'où $\text{AC}=2\text{AB}$.\\
$\arg(z)=\left(\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.

\item %En déduire la nature du triangle ABC.
On en déduit que le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A et\textbf{ \textcolor{red}{non isocèle}}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
%Résoudre soigneusement l'inéquation suivante : \[\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{x+3}.\]
Soit $(I)$  l'inéquation : $\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{x+3}.$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}^*$.

\item On suppose $x\neq 0$.\\
$(I)\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\leqslant x+3$ car $\mathrm{e}^{x}\leqslant \mathrm{e}^{y}\Leftrightarrow x\leqslant y$.

\item POur $x\neq0$,  $\dfrac{1}{x}\leqslant x+3\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}-(x+3)\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1-x(x+3)}{x}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{-x^2-3x+1}{x}\leqslant 0$.

\item On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on consigne les résultats dans un tableau de signes.\\
$\Delta=13$ ; l'expression du second degré a deux racines : $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$ et $\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$.\\

\bigskip
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}&&0&&\dfrac{-3+\sqrt{13}}2{}&&\pI\\
\hline
-x^2-3x+1&&-&\z&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\text{quotient}&&+&\z&-&\bb&+&\l&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que l'ensemble des solutions est :\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}~;~0\right]\cup\left[\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}~;~+\infty\right[}}\]
\end{enumerate}

%\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  