\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Correction du contrôle commun TS1-TS2-TS3 \no 3}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : correction du contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{PARTIE I}}\\

\noindent Soi $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h (x) = \mathrm{e}^{x} + x+ 1$. 

\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de $h$ et ses limites. 
$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme  somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $h'(x)=\mathrm{e}^{x}+1>0$ donc $h$ est croissante sur $\mathbb{R}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=-\infty$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)=+\infty $ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=+\infty$.
On en déduit le tableau de variation de $h$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{h(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer que l"équation $h (x ) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. 
$h$ est continue comme somme de fonctions continues ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=+\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=0$ admet une solution.

Comme $h$ est croissante, cette solution est unique. On la note $\alpha$.

\item %Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. Justifier.
À la calculatrice, on trouve $h(-1,28)<0$ et $h(-1,27)>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-1,28<\alpha<-1,27}}$.

\item  %Donner le signe de $h ( x )$ . 
On en déduit le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
h(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie II}}\\

\noindent Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f ( x) = \dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ d'unité graphique 4 cm.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $f$ est dérivable et montrer que $f'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}h(x)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}$.
$f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.\\
$h=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x\mathrm{e}^{x}$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}+1$.\\
$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ avec $u'(x)=1\times \mathrm{e}^{x}+x\mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$.\\
On en déduit $f'(x)=\dfrac{(x+1)\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)-x\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\left[(x+1)\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)-x\mathrm{e}^{x}\right]}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+x+1\right)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{x}h(x)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}}}$

\item %En déduire le sens de variation de $f$. `
Le dénominateur est positif (carré d'un réel) ; $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $h(x)$.\\
On en déduit  que $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ et croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$.
\item %Montrer que $f(\alpha)=\alpha +1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
Par définition de $\alpha$, on a $\mathrm{e}^{\alpha}+\alpha+1=0$ donc $\mathrm{e}^{\alpha}=-\alpha-1$.\\
Alors : $f(\alpha)=\dfrac{\alpha\mathrm{e}^{\alpha}}{\left(\mathrm{e}^{\alpha}+1\right)}=\dfrac{\alpha(-\alpha-1)}{-\alpha-1+1}=\dfrac{-\alpha(\alpha+1)}{-\alpha}=\alpha+1$.\\
Comme $-1,28<\alpha<-1,17$, on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{-0,28<f(\alpha)<-0,27}}$.

\item Soit $( T)$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. 

\begin{enumerate}
\item   %Donner une équation de $(T ) $.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 0 est :\\
$y=f'(0)(x-0)+f(0)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{1}{2}x}}$.

\item %Étudier la position relative de $( T)$ et $\mathscr{C}$.
Pour étudier la position relative de $( T)$ et $\mathscr{C}$, on étudie le signe de $f(x)-\dfrac{1}{2}x$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2x\mathrm{e}^{x}-x\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}{2\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}=\dfrac{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}{2\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}$ qui est du signe du numérateur, car le dénominateur est positif.\\
Pour $x> 0$, $x>0$ et $\mathrm{e}^{x}-1>0$ donc le produit est positif.\\
Pour $x< 0$, $x<0$ et $\mathrm{e}^{x}-1<0$ donc le produit est positif.\\
$f(x)-\dfrac{1}{2}x=0$ pour $x=0$.\\
On en déduit que la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de la tangente $(T)$
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $f$. Dresser le tableau de variation de $f$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ :\\
D'après les formules de croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$.

\item Limite en $+\infty$ :\\
$f(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)}=\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}}$.\\
D'après les croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)=1$.\\
On en déduit $\lim_{x\rightarrow =\infty}f(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{0}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.\\
%Que peut-on en dire alors de $(D)$ où $(D)$ est la droite d'équation $y=x$ ?
Pour tout $x$, $f(x)-x=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-x=x\left[\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-1\right]=x\left[\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}\right]=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+1}=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=0$ (croissances comparées) et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.\\
On en déduit que $\left(D\right)$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en $+\infty$.

\item %Étudier la position relative de $(D )$ et $\mathscr{C}$.
Pour tout $x$, $f(x)-x=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+1}$ qui est du signe opposé à celui de $x$, donc positif pour $x\leqslant 0$ et négatif pour $x\geqslant 0$.\\
On en déduit que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $(D)$ pour $x\leqslant 0$ et en dessous pour $x\geqslant 0$.


\item %Tracer sur une même figure $\mathscr{C}$, $ ( D)$ et $( T )$ sur $[ - 2~;~ 4 ].$ 
\textbf{Courbe :}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(4,4)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-2.0}{4.0}{x*EXP(x)/(EXP(x)+1)}
\psplot[linecolor=blue]{-2}{4}{(-0--0.5*x)/1}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=green]{-2.0}{4.0}{x}
\uput[u](1,1){$(D)$}
\uput[d](2,1.8){$\mathscr{C}$}
\uput[d](2,1){$(T)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\begin{enumerate}
\item 
\noindent Soit $\mathscr{A}$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par  $\mathscr{A}(x) = (\cos(x)+1) \sin(x)$.

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction dérivée $\mathscr{A}'$ de la fonction $\mathscr{A}$ est définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : \[\mathscr{A}'(x)=2\cos^2(x)+\cos(x)-1.\]
$\mathscr{A}$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables.\\
$\mathscr{A}'(x)=-\sin x\times \sin x+\cos x (\cos x+1)=-\sin^2x+\cos^2x+\cos x=\left(\cos^2 x+1\right)+\cos^2 x+\cos x=\boxed{\textcolor{red}{2\cos^2x+\cos x-1}}$.

\item %Étudier le signe du trinôme $2X^2 + X - 1$.
$2X^2 + X - 1=(X+1)(2X-1)$ qui s'annule en -1 et $\dfrac{1}{2}$.\\
On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
X&\mI&&-1&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
2X^2 + X - 1&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le signe de $\mathscr{A}'$ en fonction de $x$, puis les variations de la fonction $\mathscr{A}$.
\textbf{Signe de $\mathscr{A}'(x)$}.\\
$\mathscr{A}'(x)=2\cos^2x+\cos x-1=2X^2 + X - 1$ en posant $X=\cos x$.\\
$\mathscr{A}'(x)$  est donc  positif pour $\cos (x)\leqslant -1$ ou $\cos x\geqslant \dfrac{1}{2}$ et négatif pour $-1\leqslant \cos x\leqslant \dfrac{1}{2}$.\\
Or $x\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc $0\leqslant \cos x\leqslant 1$ et $\cos x=\dfrac{1}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$.\\
On en déduit que $\mathscr{A}'(x)\geqslant 0$ pour $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}$ et négatif pour $\dfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}$.\\
\textbf{Variations de $\mathscr{A}$ :}
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\mathscr{A}'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{\mathscr{A}(x)}&0&\c&\h{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}&\d&1&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item \textbf{Application numérique}\\

\noindent On considère le trapèze isocèle ABCD ci-dessous où AD = AB = BC = 1.\\
%Trouver la valeur de l'angle x pour laquelle l'aire du trapèze est maximale.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1)(6,3)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1)(6,3)
\pspolygon(-2.24,0)(0,2)(3,2)(5.24,0)
\pspolygon(0,0.42)(-0.42,0.42)(-0.42,0)(0,0)
\pspolygon(3.42,0)(3.42,0.42)(3,0.42)(3,0)
\psline(0,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](-2.24,0)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(5.24,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5.24,0)(-2.24,0)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(3,0)
\pscustom{\parametricplot{0.0}{0.7297276562269663}{0.6*cos(t)+-2.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(-2.24,0)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{2.411864997362827}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+5.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(5.24,0)\closepath}
\uput[r](-1.8,0.25){$x$}
\uput[r](4.3,0.25){$x$}
\uput[d](0,0){A'}
\uput[d](3,0){B'}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2)
\rput[bl](0.08,2.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.08,2.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.24,0)
\uput[l](-2.24,0){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.24,0)
%\rput[bl](2.32,0.12){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.76,0)
%\rput[bl](0.84,0.12){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.24,0)
%\rput[bl](5.32,0.12){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,0)
\uput[r](5.24,0){\darkgray{$C$}}
%\rput[bl](-1.98,0.04){\qqwuqq{$\alpha$}}
%\rput[bl](4.84,0.04){\qqwuqq{$\beta$}}
%\rput[bl](-0.32,0.16){\qqwuqq{$\gamma$}}
%\rput[bl](3.18,0.16){\qqwuqq{$\delta$}}
%\end{scriptsize}
\uput[r](0,1){$h$}
\end{pspicture*}
\end{center}
L'aire d'un trapèze est $\mathscr{A}=\dfrac{(\text{Petite base }+ \text{Grande base})\times \text{Hauteur}}{2}$.\\
La petite base vaut $\text{AB}=1$.\\
La grande base vaut $\text{DC}=\text{DA'}+\text{A'B'}+\text{B'C}=\text{AD}\times \cos x+1+BC\times \cos x=\cos x+1+\cos x=1+2\cos x$.\\
La hauteur est $h=\text{AD}\sin x=1\times \sin x=\sin x$.\\
On en déduit : $\mathscr{A}=\dfrac{(2+2\cos x)\sin x}{2}=(1+\cos x)\sin x$.\\
On retrouve la fonction étudiée dans la question 1.\\
On en déduit que l'aire est maximale pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{\pi}{3}}}$.

%\begin{enumerate}
%\item Exprimer la hauteur h du trapèze en fonction de l'angle $x$.
%
%\item Démontrer que l'aire du trapèze est définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $\mathscr{A}(x) = (\cos(x)+1)\times \sin(x)$.

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par : 	
\[z_0=1\text{ et }z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z_n.\]
On note $An$ le point d'affixe $z_n$, 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer sous forme algébrique les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
On pose $q=\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.\\
On obtient successivement : $\boxed{\textcolor{red}{z_1=z_0\times q=\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{z_2=qz_1=\dfrac{3+3\sqrt{3}\mathrm{i}}{8}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{z_3=qz_2=\dfrac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{8}}}$\\
$z_4=qz_3=\dfrac{-9+9\sqrt{3}\mathrm{i}}{32}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{z_5=qz_4=\dfrac{-27+9\sqrt{3}\mathrm{i}}{64}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{z_6=qz_5=-\dfrac{27}{64}}}$

\item %Dans un repère orthonormé direct (unité graphique 8 cm), placer les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ et $A_6$
\textbf{Figure}:
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=3.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.4,-0.6)(2.4,1.6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.4,-0.6)(2.4,1.6)
\psset{xunit=8.0cm,yunit=8.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.7,-0.3)(1.2,0.8)
\pspolygon[linecolor=zzttqq](1,0)(0.75,0.43)(0.38,0.65)(0,0.65)(-0.28,0.49)(-0.42,0.24)(-0.42,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(0.75,0.43)
\psline[linecolor=zzttqq](0.75,0.43)(0.38,0.65)
\psline[linecolor=zzttqq](0.38,0.65)(0,0.65)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0.65)(-0.28,0.49)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.28,0.49)(-0.42,0.24)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.42,0.24)(-0.42,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.42,0)(1,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.03,0.04){\blue{$A_0$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.75,0.43)
\rput[bl](0.78,0.48){\darkgray{$A_1$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.38,0.65)
\rput[bl](0.41,0.69){\darkgray{$A_2$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0.65)
\rput[bl](0.03,0.69){\darkgray{$A_3$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.28,0.49)
\rput[bl](-0.25,0.53){\darkgray{$A_4$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.42,0.24)
\rput[bl](-0.39,0.29){\darkgray{$A_5$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.42,0)
\rput[bl](-0.39,0.04){\darkgray{$A_6$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n =\left|z_{n+1} - z_n\right|$
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $z_{n+1}-z_n=\left(\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(z_n-z_{n-1}\right).$
Pour tout $n\geqslant 1$, $z_{n+1}-z_n=qz_n-qz_{n-1}=q\left(z_n-z_{n-1}\right)=\left(\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(z_n-z_{n-1}\right).$.

\item %En déduire une relation entre $d_n$ et $d_{n-1}$ pour $n\geqslant 1$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ et $d_0$.
Pour tout $n$, $d_{n+1}=\left|z_{n+1} - z_n\right|=\left|q\left(z_n-z_{n-1}\right)\right|=|q|\left|\left(z_n-z_{n-1}\right)\right|=|q|d_n$.\\
Or, $|q|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}\right|=\dfrac{1}{4}\left|3+\sqrt{3}\mathrm{i}\right|=\dfrac{1}{4}\times \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\dfrac{1}{4}\times \sqrt{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
On en déduit que, pour tout $n\geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{d_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}d_n}}$.\\

\item %Fournir une interprétation géométrique des nombres $d_n$.
$d_n$ est la \textbf{longueur} du  segment $A_nA_{n+1}$.

\item %On pose $L_n=\sum_{k=0}^{n-1}A_kA_{k+1}=A_0A_1+A_1A_2+\cdots+A_{n-1}A_n$ ; $L_n$ est la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs $A_0$, $A_1$, \dots, $A_n$.\\
%Déterminer $L_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
Pour tout $n\geqslant 1$, $d_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}d_n$, donc la suite $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique, de raison $q'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
Pour tout $n\geqslant 1$, $L_n=d_1+d_2+\cdots+d_n$ qui est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.\\
$L_n=d_1\times \dfrac{1-q'^{n}}{1-q'}$ avec $d_1=\left|z_1-z_0\right|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}4{\mathrm{i}-1}\right|=\left|-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}}=\sqrt{\dfrac{4}{16}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$.\\
Par conséquent : $L_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{2-\sqrt{3}}}}$.\\
Comme $-1<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}L_n=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}}}$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ l'argument de $z_n$ dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. 

\begin{enumerate}
\item  %Établir une relation entre $a_n$ et $a_{n-1}$ pour tout entier $n\geqslant 1$.\\
%En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$. 
Pour tout $n\geqslant 1$, $z_{n+1}=qz_n$ donc $\arg\left(z_{n+1}\right)=\arg\left(qz_n\right)=\arg(q)+\arg\left(z_n\right)=\arg(q)+a_n$.\\
Soit $\theta$ un argument de $q$.\\
On doit avoir $\cos\theta=\dfrac{\frac34}{|q|}=\dfrac{\frac34}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2}$.\\
On en déduit  que $\arg(q)=\dfrac{\pi}{6}$.\\
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{a_{n+1}=a_n+\dfrac{\pi}{6}}}$.\\
La suite $\left(a_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r=\dfrac{\pi}{6}$.\\
Le premier terme est $a_0=\arg\left(z_0\right)=\arg(1)=\pi$.\\
Par conséquent, $a_n=a_0+nr=n\dfrac{\pi}{6}~[2\pi]$.

\item %Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés? 
Les points O, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $\left(\overrightarrow{OA_0}~;~\overrightarrow{0A_n}\right)=O~[\pi]\Leftrightarrow \arg\left(z_n\right)-\arg\left(z_0\right)=k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$, donc pour $n\dfrac{\pi}{6}=k\pi$, c'est-à-dire pour $\boxed{\textcolor{red}{n=6k}}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{$n$ doit être un multiple de 6}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les non-spécialistes}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

\begin{enumerate}
\item $\left(\mathrm{e}^{3x+1}\right)^2=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{-2x}}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2(3x+1)}=\mathrm{e}^{1-(-2x)}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{6x+2}=\mathrm{e}^{2x+1}$.\\
Or, $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{y}\Leftrightarrow X=Y$ donc l'équation équivaut à $6x+2=2x+1$, donc $x=-\dfrac{1}{4}$. \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}}}.$

\item %$\mathrm{e}^{\frac{-3x+1}{2x+3}}\leqslant 1$.
Soit l'inéquation $\mathrm{e}^{\frac{-3x+1}{2x+3}}\leqslant 1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$.

\item On suppose $x\neq -\dfrac{3}{2}$.\\
Alors : $\mathrm{e}^{\frac{-3x+1}{2x+3}}\leqslant 1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\frac{-3x+1}{2x+3}}\leqslant \mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow \dfrac{-3x+1}{2x+3}\leqslant 0$, car, comme la fonction $\exp$ est croissante, $\mathrm{e}^{x}\leqslant \mathrm{e}^{y}\Leftrightarrow x\leqslant y$.\\
On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{1}{3}&&\pI\\
\hline
-3x+1&&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline2x+3&&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-3x+1}{2x+3}&&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[}}$

\end{enumerate}

\item %Simplifier l'écriture suivante : $A=\dfrac{\mathrm{e}^{2-x}\times \mathrm{e}^{3x-5}}{\mathrm{e}^{-2x}\times \mathrm{e}^{2}}$.
$A=\dfrac{\mathrm{e}^{2-x}\times \mathrm{e}^{3x-5}}{\mathrm{e}^{-2x}\times \mathrm{e}^{2}}=\mathrm{e}^{2-x+3x-5-(-2x+2)}=\mathrm{e}^{2-x+3x-5+2x-2}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{4x-5}}}$.
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : 

\begin{enumerate}
\item %$3+4\mathrm{i}-4\mathrm{i}z=2z-4$
$3+4\mathrm{i}-4\mathrm{i}z=2z-4\Leftrightarrow  7+4\mathrm{i}=(2+4\mathrm{i})z\Leftrightarrow z=\dfrac{7+4\mathrm{i}}{2+4\mathrm{i}}=\dfrac{7+4\mathrm{i}}{2(1+2\mathrm{i})}\Leftrightarrow z=\dfrac{(7+4\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{2\left(1^2+2^2\right)}=\dfrac{15-10\mathrm{i}}{10}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{z=\dfrac{3}{2}-\mathrm{i}}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{3}{2}-\mathrm{i}\right\}}}$.

\bigskip

\item $2z+\overline{z}=9+\mathrm{i}$
On pose $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$.\\
$2z+\overline{z}=9+\mathrm{i}\Leftrightarrow 2x+2\mathrm{i}y+x-\mathrm{i}y=9+\mathrm{i}\Leftrightarrow 3x+\mathrm{i}i=9+\mathrm{i}\Leftrightarrow x=3$ et $y=1$ en identifiant parties réelle et imaginaire.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{3+\mathrm{i}\right\}}}$.
\bigskip

\item %$z^4+z^2-20=0$
Soit l'équation $z^4+z^2-20=0$.\\
On pose $Z=z^2$. L'équation équivaut alors à $\left\{\begin{array}{l}Z=z^2\\Z^2+Z-20=0\end{array}\right.$.
Résolvons l'équation $Z^2+Z-20=0$.\\
$\Delta=81>0$. L'équation adieux solutions réelles : $Z_1=-5$ et $Z_2=4$.\\
On résout alors les équations $z^2=Z_1=-5$ et $z^2=Z_2=4$.\\
On trouve alors quatre solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\mathrm{i}\sqrt{5}~;~\mathrm{i}\sqrt{5}~;~-2~;~2\}}}$
\end{enumerate}

\item \textbf{QCM :} %Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. \\
%Aucun point ne sera donné si la réponse n'est pas justifiée.
\begin{enumerate}
\item  %Soit $z$ un nombre complexe. Alors $|z+\mathrm{i}|$ est égal à \\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.} $|z| + 1$&  \textbf{b.} $|z - 1|$&  \textbf{c.} $|\text{i}\overline{z} + 1|$\\
%\end{tabularx}
Soit $z$ un nombre complexe. $|z+\mathrm{i}|=|\mathrm{i}(1-\mathrm{i}z)|=|1-\mathrm{i}z|=|\overline{1-\mathrm{i}z}|=|1-\mathrm{i}\overline{z}|=|1+\mathrm{i}\overline{z}|=|\mathrm{i}\overline{z}+1|$ (réponse \textbf{c.})

\item %Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$.\\
%Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est :
$\arg\left(\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}\right)=\arg(-1+\mathrm{i}\sqrt{3})-\arg\left(\overline{z}\right)$.\\
$-1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2\left(-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ d'où $\arg\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$.\\
$\arg\left(\overline{z}\right)=-\arg(z)=-\theta$.\\
Finalement : $\arg\left(\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}\right)=\dfrac{2\pi}{3}-(-\theta)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\pi}{3}+\theta}}$ (réponse \textbf{b.})

\medskip

% \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$&  \textbf{b.} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$&  \textbf{c.} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\
%\end{tabularx}

\item %La forme algébrique de $\dfrac{5-2\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}}$ est :\\
% \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
%\textbf{a.} $\dfrac{26}{25}+\dfrac{7}{25}\mathrm{i}$&\textbf{b.} $\dfrac{14}{25}-\dfrac{23}{25}\mathrm{i}$&\textbf{c.} $\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{3}\mathrm{i}$&\textbf{d.} $\dfrac{26}{24}-\dfrac{23}{25}\mathrm{i}$
%\end{tabularx}
$\dfrac{5-2\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}}=\dfrac{(5-2\mathrm{i})(4-3\mathrm{i})}{4^2+3^2}=\dfrac{14-23\mathrm{i}}{25}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14}{25}-\dfrac{23}{25}\mathrm{i}}}$ (réponse \textbf{b.})

\item %Le conjugué de $\dfrac{1-z}{1+\mathrm{i}}$, où $z$ est un nombre complexe est :\\
% \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
% \textbf{a.} $\dfrac{1+z}{1-\mathrm{i}}$&\textbf{b.} $\dfrac{-1-z}{-1+\mathrm{i}}$&\textbf{c.} $\dfrac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}}$&\textbf{d.} $(1-z)(1-\mathrm{i})$
%\end{tabularx}
 Le conjugué de $\dfrac{1-z}{1+\mathrm{i}}$ est $\dfrac{\overline{1-z}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}}}}$ (réponse \textbf{c.})
\end{enumerate}


\end{enumerate}

%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les spécialistes }}
%
%On considère l\textquoteright{}algorithme suivant : 
%
%\bigskip
%
%\begin{center}
%\begin{minipage}{8cm}
%\begin{tabular}{|l>{\raggedright}p{5cm}|}
%\hline 
%Variables :  & $a$ est un entier naturel
%
%$b$ est un entier naturel
%
%$c$ est un entier naturel
%
%$ $\tabularnewline
%Initialisation :  & Affecter à $c$ la valeur 0
%
%Demander la valeur de $a$
%
%Demander la valeur de $b$
%
%$ $\tabularnewline
%Traitement : & Tant que $a\geq b$
%
%Affecter à $c$ la valeur $c+1$
%
%Affecter à $a$ la valeur $a-b$
%
%Fin tant que
%
%$ $\tabularnewline
%Sortie : & Afficher $c$ 
%
%Afficher $a$\tabularnewline
%\hline 
%\end{tabular}
%\end{minipage}
%\end{center}
%
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie 1 :}} 
%
%
%\begin{enumerate}
%\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a=13$ et $b=4$ puis avec
%$a=15$ et $b=3$ en indiquant les valeurs des variables à chaque
%étape. 
%
%\item Que permet de calculer cet algorithme? 
%
%\end{enumerate}
%\bigskip
%
%\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie 2 : }}
%
%\noindent À chaque lettre de l\textquoteright{}alphabet, on associe, grâce au
%tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.\\
%
%\footnotesize
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline 
%A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\tabularnewline
%\hline 
%0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\tabularnewline
%\hline 
%\end{tabular}\\
%
%\normalsize
%\noindent On définit un procédé de codage de la façon suivante : 
%
%\emph{Étape 1 :} À la lettre que l\textquoteright{}on veut coder,
%on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau. 
%
%\emph{Étape 2 :} On calcule le reste de la division euclidienne de
%$9m+5$ par 26 et on le note $p$.
%
%\emph{Étape 3 :} Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante
%dans le tableau.
%
%\begin{enumerate}
%\item Coder la lettre U.
%
%\item En s'inspirant si besoin de la partie 1, écrire un algorithme qui,
%pour une valeur de $m$ entrée par l\textquoteright{}utilisateur,
%affiche la valeur de $p$, calculée à l\textquoteright{}aide du procédé
%de codage précédent. 
%
%\end{enumerate}
%\bigskip
%
%\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie 3 : }}
%
%\begin{enumerate}
%
%\item  Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $9x+26z=1$. 
%
%
%\item En déduire un nombre entier vérifiant $9x\equiv1\,[26]$. 
%
%\item Démontrer l\textquoteright{}équivalence : $9m+5\equiv\,[26]\Leftrightarrow m\equiv3p-15\,[26]$
%
%\item Décoder le mot TS.
%\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  