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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3 \no 2}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 2 }}\end{center}







\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

\begin{enumerate}
\item %La suite de terme général $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge vers 0.
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $-1\leqslant (-1)^n\leqslant 1\Rightarrow \dfrac{-1}{n}\leqslant \dfrac{(-1)^n}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}$.\\
Pr, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}=0$, donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$, donc la proposition est vraie.

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_{n+1}=3u_n+1$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=2u_n+1$.
\begin{enumerate}
\item %Si $u_0=1$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Soit $u_0=1$. Par récurrence, on montre que, pour tout $n$, $2u_n+1>0$, c'est-à-dire $u_n>-\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=1>-\dfrac{1}{2}$ donc c'est vrai au rang $n=0$.

\item On suppose que $u_n>-\dfrac{1}{2}$ pour un rang $n$ quelconque ; alors $2u_n>-1$ et $2u_n+1>0>-\dfrac{1}{2}$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, pour tout $n$, \\
$2u_n+1>0$, donc $u_{n+1}-u_n>0$

\item Si $u_0=-2$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
On montre par exemple par récurrence que $u_n<-1$ (facile à faire). On en déduit que $2u_n+1<0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante

\item Si $u_0=-\dfrac{1}{2}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante. (se montre par récurrence)
\end{enumerate}

\item Toute suite $v$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.\\
C'est faux ! Contre-exemple : $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.

\item La suite de terme général $u_n=\numprint{0,999999999}^n$ converge vers 1.\\
C'est faux ! $-1<\numprint{0,999999999}<1$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\numprint{0,999999999}^n=0}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}%\textcolor{blue}{ES  Centres étrangers 2010}
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. En 2010, la forêt possède \numprint{50000}~arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\:\% des arbres existants et de replanter \numprint{3000}~arbres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la situation peut être modélisée par :
% \[u_{0} = 50~\text{et pour tout entier naturel}~n~\text{par la relation :}~ u_{n + 1} = 0,95u_{n} + 3.\]
Pour tout $n$, on a $u_{b+1}=u_n-\dfrac{5}{100}u_n+3=\boxed{\textcolor{red}{0,95u_n+3}}$.
 
\item  On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 60 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$. 
		Pour tout $n$, $v_{n+1}=60-u_{n+1}=60-\left(0,95u_n+3\right)=57-0,95u_n=0,95\left(60-u_n\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,95v_n}}$\\
		On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est \textcolor{red}{géométrique} de raison $q=0,95$.
		
		\item %Calculer $v_{0}$. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		Le premier terme est $v_0=60-u_0=60-50=10$.\\
		On en déduit ue, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{v_n=10\times 0,95^n}}$.
		
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 60 - 10 \times (0,95)^n$.
		On a $v_n=60-u_n$, donc $u_n=60-v_n\\
		=\boxed{\textcolor{red}{60-10\times 0,95^n}}$.
			\end{enumerate} 
			
\item %Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité. 
2015 correspond à $n=5$ ; $u_5=52,262$ donc le nombre d'arbres en 2015 est environ égal à \textcolor{red}{\numprint{52262}} (à un arbre près) 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité 
		
%\[u_{n + 1}  - u_{n} = 0,5 \times  (0,95)^n.\] 
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n\\
=\left[60-10\times 0,95^{n+1}\right]-\left[60-10\times 0,95^n\right]\\
=10\times 0,95^n-10\times 0,95^{n+1}\\
=10\times 0,95^n(1-0,95)=10\times 0,05\times 0,95^n=\boxed{\textcolor{red}{0,5\times 0,95^n}}$.

		\item  %En déduire la monotonie de la suite.
		Pour tout $n$, $0,5\times 0,95^n>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$ ; la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
	\end{enumerate} 
	
\item %Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\:\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010. 
$50+50\times \dfrac{10}{100}=50\times 1,1=55$.\\
On doit trouver $n$ tel que $u_n\geqslant 55$.\\
\`A la calculatrice, on trouve que $n\geqslant 14$, donc le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\:\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010 en 2024.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter. 
$-1<0,95<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,95^n=0$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=60$.\\
Le nombre d'arbres va se stabiliser à \numprint{60000}.
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_0=3\\u_{n+1} = \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2 + 1}}\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n$, $u_n>0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=3>0$ donc c'est vai pour $n=0$.

\item On suppose que $u_n>0$ pour une valeur de $n$ quelconque.\\
Alors, comme $\sqrt{u_n^2+1}>0$, on a $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}>0$.\\
La prpriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
On en déduit que $u_n>0$ pour tout $n$.

\item %Démontrer que la suite est décroissante.
D'après la question 1., $u_n>0$ ; alors $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1}}<1}}$ car $u_n^2+1>1$ donc $\sqrt{u_n^2+1}>\sqrt{1}=1$.\\
On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\item %Justifier la convergence de la suite.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 0, donc convergente vers une limte $\ell$ avec $\ell\geqslant 0$.

\item %Calculer sa limite
$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.\\
$f$ est continue, donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=x\Leftrightarrow x\left[1-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right]=0$.\\
$x=0$ est une soluton.\\
Si $x\neq 0$, $\sqrt{x^2+1}>1$ donc $1-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\neq 0$.\\
La seule solution est 0, donc la limite de la suite est $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Proposition (asymptotes)}}

%\begin{enumerate}
%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote.

%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote.

%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $x=2$ et la droite d'équation $y=2$ comme asymptote.
%\end{enumerate}



%\subsection{}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $f$ une fonction définie et continue sur [-2~;~3]., telle que $f(-2)=-1$ et $f(3)=7$.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ est :

%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item  Soit $f$ une fonction définie et continue sur [-2~;~3], telle que $f(-2)=-1$ et $f(3)=7$.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=8$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item Soit $f$ la fonction défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+2x-11$ et soit $k$ un réel.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[-2~;~+\infty[$ tlle que $f(-2)>0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-1.$
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\end{enumerate} 

\subsection{}
%Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
 \item $\lim_{x\rightarrow }\left(\dfrac{3}{x}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2-\dfrac3x\right)=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ par somme. \bigskip

\item Pour tout $x\neq 0$, $3x^2-8x+1=x^2\left(3-\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3-\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)=3$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$ donc
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3x^2-8x+1\right)=+\infty$ \bigskip

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{6x-1}{3x^2+x-2}\right)$ \bigskip
Pour tout $x\neq0$,  $\dfrac{6x-1}{3x^2+x-2}=\dfrac{x\left(5-\frac1x\right)}{x^2\left(3+\frac1x-\frac2x\right)}=\dfrac{6-\frac1x}{x\left(3+\frac1x-\frac2x\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(6-\dfrac{}{x}\right)=6$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3+\frac1x-\frac2x\right)=3$ donc \\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(3+\frac1x-\frac2x\right)\right]=+\infty$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{6x-1}{3x^2+x-2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

%\columnbreak
\item% $\lim_{x\rightarrow 2}\left(\dfrac{3x^2-5x-2}{2x^2-5x+2}\right)$ \bigskip
Le numérateur et le dénominateur s'annulent en 2, donc on peut les factoriser par $(x-2)$.\\
$3x^2-5x-2=(x-2)(x+1)$ et $2x^2-5x+2=(x-2)(2x-1)$.\\
Pour $x\neq 2$, $\dfrac{3x^2-5x-2}{2x^2-5x+2}=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(2x-1)}=\dfrac{x-1}{2x-1}$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow 2}\left(\dfrac{3x^2-5x-2}{2x^2-5x+2}\right)=\lim_{x\rightarrow 2}\left(\dfrac{x-1}{2x-1}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.

\item %$\lim_{x\rightarrow 3}\left(\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}\right)$ \bigskip
Pour $x\neq 3$, $\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}=\dfrac{\left[\sqrt{x+6}-3\left[\sqrt{x+6}+3\right]\right]}{(x-3)\left[\sqrt{x+6}+3\right]}=\dfrac{x-3}{(x-3)\left[\sqrt{x+6}+3\right]}=\dfrac{1}{\sqrt{x+6}+3}$ d'où $\lim_{x\rightarrow 3}\left(\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}\right)\\
=\lim_{x\rightarrow 3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+6}+3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$.

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{5x-3}{2x+1}}$
Pour $x\neq 0$ $\dfrac{5x-3}{2x+1}=\dfrac{x\left(5-\frac3x\right)}{x\left(2+\frac1x\right)}=\dfrac{5-\frac3x}{2+\frac1x}$ d'où $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{5x-3}{2x+1}\right)=\dfrac{5}{2}$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow *\infty}\sqrt{\dfrac{5x-3}{2x+1}}=\lim_{X\rightarrow \frac{5}{2}}\sqrt{X}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{5}{2}}}}$ (d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée).\\
Attention aux manipulations sur les racines carrées ; par exemple, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ uniquement si $a>0$ et $b>0$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Sot $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}ax+3&\text{ si }x\in\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right[\\\\\sqrt{\dfrac{2x-1}{x+15}}&\text{ si }x\in\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]\\\\\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}&\text{ si }x\in]1~;~+\infty[\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $f$ est continue en 1. (indication : penser à la quantité conjuguée) 
Sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, $f$ est continue et est la restriction d'une fonction continue, donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 1}\\{x<1}}f(x)=f(1)=\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}$.\\
Pour savoir si $f$ est continue en 1, il reste à montrer que $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=f(1)=\dfrac{1}{4}$.\\
Or, pur $x>1$, $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\\
=\dfrac{\left[\sqrt{x+3}-2\right]\times \left[\sqrt{x+3}+2\right]}{(x-1)\times \left[\sqrt{x+3}+2\right]}=\dfrac{x-1}{(x-1)\left[\sqrt{x+3}+2\right]}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}}}$.\\
Par conséquent : $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}=f(1)}}$.\\
On en déduit que $f$ est continue en 1.

\item %Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $\dfrac{1}{2}$ ?
De même, $\lim_{\substack{x\rightarrow \frac12\\x>\frac12}}f(x)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$.\\ %(restriction d'une fonction continue définie sur un intervalle plus grand).\\
Pour que $f$ soit continue en $\dfrac{1}{1}$, il faut que $\lim_{\substack{x\rightarrow \frac12\\x<\frac12}}f(x)=0$ donc $a\times \dfrac{1}{2}+3=0$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{a=-6}}$.

\end{enumerate}

\vspace{2cm}
\subsection{}
Soit (E) l'équation : $x^3-2x-2=0$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2~;~3]$.
L'équation (E) s'écrit $f(x)=0$ en définissant la fonction $f$ par $f(x)=x^3-2x-2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue (polynôme)

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ en mettant $x^3$ en facteur.

\item De même, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.

\item %Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (E) à l'aide des représentations graphiques des fonctions $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto 2x+2$.
L'équation (E) s'écrit $x^3=2x+2$. les solutions de (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes représentatives des deux fonctions $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto 2x+2$.\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(3,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-4)(3,9)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{x^3}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{2*x+2}
\rput[bl](-1.86,-8.58){$f$}
\rput[bl](-5.14,-8.58){$g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Il n'y a qu'une intersection, donc l'équation semble n'avoir qu'une solution.

\item %Justifier par une étude de fonction le nombre de solutions trouvé précédemment.
\'Etudions les variations de la fonction $f$.\\
$f$ est dérivable et $f'(x)=3x^2-2$.\\
$f'(x)=0$ pour $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\approx-0,91}&\d&\approx-3,09&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
D'après les variations et les valeurs des extrema, on trouve que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution.

\item %Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la ou des solutions de (E).
Avec une calculatrice, on trouve que la solution $\alpha$ vaut environ $\boxed{\textcolor{red}{1,77}}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité)}}%\textcolor{blue}{Métropole septembre 2013}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 

On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$. (se montrerait pat técurrence)

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$. On pourra en donner une valeur approchée à  $10^{-2}$ près. 
		On a $u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}=0,8}}$ ; $u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14}{13}\approx 1,08}}$~;~\\
		$u_3=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{40}{41}\approx 0,98}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{u_4=\dfrac{122}{121}\approx 1,01}}$
		
		\item %Vérifier que si $n$ est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$. 
		$u_0-1=1>0$ et $(-1)^0=1$ : $u_1-1\approx -0,2<0$ et $(-1)^1=-1$ ; $u_2-1\approx 0,08>0$ et $(-1)^2+1$ ; $u_3-1\approx -0,02<0$ et $(-1)^3=-1$ ; $u_4-1\approx 0,01>0$ et $(-1)^4=1$ donc, pour l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4,  $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$.
		
		\item %Établir que pour tout entier naturel $n, u_{n+ 1} - 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}$. 
		Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-1=\dfrac{u_n+2}{2u_n+1}-1=\dfrac{u_n+2-\left(2u_n+1\right)}{2u_n+1}=\dfrac{-o_n+1}{2u_n+1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{u_n-1}{2u_n+1}}}$ 
		\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$	
		Soit $P_n$ la propriété \og{}$n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$\fg.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Au rang 0, la propriété est vraie (déjà vérifiée)

\item On suppose que $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$ pour un entier $n$.\\
Alors : $u_{n+1}-1=-\dfrac{u_n-1}{2u_n+1}$ ; Si $u_n-1$ a le signe de $(-1)^n$, alors $-\left(u_n-1\right)$ a le signe de $-(-1)^n=(-1)^{n+1}$. Quant au dénominateur, comme $u_n>0$ pour tout $n$, $2u_n+1>0$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}	
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que pour tout entier naturel $n, 
% v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$. 
Pour tout $b$, $v_{n+1}= \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1}\\
=\dfrac{ \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}-1}{ \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}+1}=\dfrac{\frac{-u_n+1}{2u_n+1}}{\frac{3u_n+3}{2u_n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}}}$.

		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		Pour tout $n$, $v_{n+1}=-\dfrac{u_n-1}{3\left(u_n+1\right)}=-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\
		=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3}v_n}}$.\\
		Pour tout $n$, $v_{n+1}=-\dfrac{1}{3}v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$.\\
		
%En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
On en déduit que, pour tout $n$, $v_n=v_0q^n\\
=\dfrac{1}{3}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=\boxed{\textcolor{red}{(-1)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}}$.

		\item On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} =  \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
		  
%Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On obtient  $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{1 + (-1)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - (-1)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}}}$.\\
Comme $-1<-\dfrac{1}{3}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ ; on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\columnbreak
%\subsection*{\textcolor{blue}{VII (Pour les élèves suivant  l'enseignement de spécialité)}}
%\emph{\textbf{Important} : Dans tout l'exercice on pourra utiliser la propriété suivante sans démonstration :}\\
%\og{} Soirnt $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$ alors $x^n - 1$ est divisible par $x- 1$.\fg \\

%\noindent Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : \[\left\{\begin{array}{l}u_0 = 14\\
%u_{n+1} = 5u_n- 6\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}
%\end{array}\right.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers
%chiffres de $u_n$ ?

%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
%$u_{n+2}\equiv  u_n~[4]$.

%\item En déduire que pour tout $k\in\mathbb{N}$ ; $u_{2k} \equiv  2~[4]$ et $u_{2k+1}\equiv  0~[4]$.
%\end{enumerate}

%\item Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$;  $2u_n = 5^{n+2} + 3$.	

%\item On suppose que $n$ est pair. Démontrer que $2u_n- 28$ est divisible par 200. En déduire les
%deux derniers chi res de l'écriture décimale de $u_n$.

%\item On suppose désormais que $n$ est impair. Démontrer que $2u_n - 128$ est divisible par 200. En
%déduire les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_n$.
%\end{enumerate}


%\end{multicols}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}   