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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle (sujet A) (sur 10 points)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
%Donner la définition d'une suite croissante.
C'est du cours !

Une suite $\left(u_n\right)$ est croissante si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
%Donner la définition d'une suite arithmétique.
Une suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}= u_n+r$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+3\end{cases}$.


\begin{enumerate}

\item %Calculer $u_1$ puis comparer $u_1$ à $u_0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=\dfrac{1}{5}u_0+3=\dfrac{1}{5}+3=\dfrac{1+3\times 5}{5}\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{5}}}$.

\item $\dfrac{16}{5}>1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_1>u_0}}$
\end{enumerate}

\item %Montrer par récurrence que cette suite est croissante.
Soit $P_n$ la propriété $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Effectuons une démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : on a déjà montré $u_1>u_0$ à la question précédente donc $P_0$ est vraie.

\item Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_{n+1}>u_n$.

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{5}x+3$ est croissante (coefficient directeur positif), donc $f$ respecte l'ordre.

Puisque $u_{n+1}>u_n$, $f\left(u_{n+1}\right)>f\left(u_n\right)$ donc $u_{n+2}>u_{n+1}$ ; la propriété $P_n$ est donc héréditaire.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Autre méthode}} :

$u_n<u_{n+1}\Rightarrow \dfrac{1}{5}u_n<\dfrac{1}{5}u_{n+1}\Rightarrow \dfrac{1}{5}u_n+3<\dfrac{1}{5}u_{n+1}+3$ d'où $u_{n+2}<u_{n+1}$

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier $n\geqslant 1$, \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
Soit $P_n$ la propriété : \og{}$S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$\fg{} pour $n\geqslant 1$.

Démontrons cette propriété par récurrence.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item initialisation : la somme $S_n$ contient $n$ termes au rang $n$ donc pour $n=1$, $S_1=1$ et la partie droite est $1^2=1=S1$ donc $P_1$ est vraie.

\item Hérédité :
Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_{n+1}>u_n$, donc $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.

Au rang $n+1$ : $S_{n+1}=S_n+(2(n+1)-1)=S_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$ (identité remarquable).

$P_{n+1}$ est donc vraie ; elle est donc héréditaire.

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{2cm}
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle (sujet B) (sur 10 points)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
C'est du cours !

Une suite $\left(u_n\right)$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}\leqslant u_n$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
%Donner la définition d'une suite arithmétique.
Une suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}= u_n+r$.


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{4}{5}u_n-1\end{cases}$.


\begin{enumerate}

\item %Calculer $u_1$ puis comparer $u_1$ à $u_0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=\dfrac{4}{5}u_0-1=\dfrac{4}{5}\times 3-1=\dfrac{12}{5}-1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{5}}}$.

\item $\dfrac{7}{5}<3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_1<u_0}}$
\end{enumerate}

\item %Montrer par récurrence que cette suite est croissante.
Soit $P_n$ la propriété $u_{n+1}<u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Effectuons une démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : on a déjà montré $u_1<u_0$ à la question précédente donc $P_0$ est vraie.

\item Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_{n+1}<u_n$.

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{4}{5}x-1$ est croissante (coefficient directeur positif), donc $f$ respecte l'ordre.

Puisque $u_{n+1}<u_n$, $f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right)$ donc $u_{n+2}<u_{n+1}$ ; la propriété $P_n$ est donc héréditaire.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Autre méthode}} :

$u_n>u_{n+1}\Rightarrow \dfrac{4}{5}u_n>\dfrac{4}{5}u_{n+1}\Rightarrow \dfrac{4}{5}u_n-1<>\dfrac{4}{5}u_{n+1}-1$ d'où $u_{n+2}>u_{n+1}$

\end{enumerate}


D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier $n\geqslant 1$, \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
Soit $P_n$ la propriété : \og{}$S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$\fg{} pour $n\geqslant 1$.

Démontrons cette propriété par récurrence.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item initialisation : la somme $S_n$ contient $n$ termes au rang $n$ donc pour $n=1$, $S_1=1$ et la partie droite est $1^2=1=S_1$ donc $P_1$ est vraie.

\item Hérédité :
Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_{n+1}>u_n$, donc $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.

Au rang $n+1$ : $S_{n+1}=S_n+(2(n+1)-1)=S_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$ (identité remarquable).

$P_{n+1}$ est donc vraie ; elle est donc héréditaire.

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier $n\geqslant 1$, \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]


\label{fin}
\end{document}  