\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,wrapfig}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\pagestyle{fancy}

\setlength{\oddsidemargin}{0pt}  	% Marge gauche sur pages impaires
\setlength{\evensidemargin}{9pt} 	% Marge gauche sur pages paires
\setlength{\textwidth}{481pt} 	% Largeur de la zone de texte (17cm)
 \textheight 24cm
 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(\text{O},   \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$}}%repère orthon.direct
%plan
\newcommand{\RON}{\mbox{$\left(\text{O} , \overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)$}}%repère orthon
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\ie}{\leqslant}
\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\voffset -2cm
\textheight 25cm

%\usepackage[frenchb]{babel}
%\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
%\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
%\rfoot{\small{\textcolor{red}{ mars 2016 - Durée : 4 heures}}}
%\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}
 
\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
\markboth{}{}
\pagestyle{fancy}
%pied de page gauche
% pour le pied de page central
\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 

\begin{document}
%\sf{ }
%\begin{center}
%\begin {tabular}{|c|}
%\hline\\
% \huge \montitre   \\
% \\
%\hline
%\end{tabular}\\
%\vspace{2cm}
%\large {mars 2016}\vspace{1.5cm}\\
%\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
%\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\
%
%\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\
%
%\textbf{\textit{Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5}}\\
%
%
%\bigskip
%
%\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\
%
%
%\fbox{\begin{minipage}{16cm}
%Le candidat doit traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV en fonction de l'enseignement de spécialité suivi.\\
%L'exercice de spécialité est en page 5.
%
%\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
%\end{minipage}
%}\end{center}
%\newpage
%\normalsize


\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc de mars 2016}}
\end{center}

\subsection{}

On considère le plan complexe $\mathscr{P}$ muni du repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Soit le polynôme $P$ tel que, pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ , $P ( z ) = z^3 - 4z^2 + 6 z - 4$.


\begin{enumerate}

\item %Montrer que 2 est une racine du polynôme $P(z)$.
$P(2)=2^3-4\times 2^2+6\times 2-4=8-16+12-4=0$ donc \textcolor{red}{2 est une racine de $P$}.

\item %Déterminer les réels $a$, $b$, $c$  tels que \[P(z) = ( z-2) \left(az^2 + bz + c\right)\] et résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P ( z ) = 0$.
Pour tout $z\in\C$, $(z-2)\left(az^2 + bz + c\right)=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c$.

\noindent Par identification, on trouve :
\[\left\{\begin{array}{l}a=1\\b-2a=-4\\c-2b=6\\-2c=-4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-4+2a=-2\\c=6+2b=2\\c=2\end{array}\right..\]
On en déduit \[\boxed{\textcolor{red}{P(z)=(z-2)\left(z^2-2z+2\right)}}.\]
\end{enumerate}

\item %On note $\alpha$ la solution de l’équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugué de $\alpha$.
On résout l'équation $P(z)=0$. Un produit de facteurs dans $\C$ est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $z-2=0\Leftrightarrow z=2$

\item $z^2-2z+2=0$ ; $\Delta=-4<0$ : il y a deux solutions complexes conjuguées, $\dfrac{2-2\mathrm{i}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{i}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{1+\mathrm{i}}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(3.,2.)
\pspolygon[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(1.,1.)(2.,0.)(1.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(1.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,1.)(2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(1.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,-1.)(0.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[ul](0,0){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,1.)
\uput[u](1,1){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,-1.)
\uput[d](1,-1){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\uput[ur](2,0){\blue{$C$}}
\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-2.)(3.,2.)
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $\alpha=1+\mathrm{i}$ et $\beta=1-\mathrm{i}$.

\noindent Soient $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $\alpha$ , $1-\mathrm{i}$ et 2.

\noindent $A$ a donc pour affixe $\alpha=1+\mathrm{i}$.


\noindent %Déterminer  la nature exacte du quadrilatère $OACB$. 
Il est clair que les diagonales ont toutes les deux pour milieu $\Omega(1)$ ; les diagonales se coupent en leur milieu, donc $AOCB$ est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\noindent Soit $Z=\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{(1+\mathrm{i})^2}{2}=\dfrac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$.

$\left\vert Z \right\vert=\dfrac{OA}{OB}=\vert \mathrm{i} \vert=1$ donc $OA=OB$ : $OACB$ est donc un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.

\noindent $\left(\overrightarrow{\text{OA}}~;~\overrightarrow{\text{OB}}\right)=\arg(Z)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$ donc le losange $OACB$ a un angle droit : c'est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.

\item Soit $f$ l’application de $\mathscr{P}$ privé du point $C$ dans $\mathscr{P}$ qui au point $M$ d’affixe $z,~\left(z\neq 2\right)$, on associe le point $M'$ d’affixe $z'$ définie par : \[z' =\dfrac{ z - (1 + i)}{z - 2}.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f (A)$ et $f (B)$. Déterminer le point $E$ tel que $f(E) = C$.
$f(A)$ a pour affixe $z'_A=\dfrac{ \alpha - (1 + i)}{\alpha - 2}=\dfrac{(1+\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}-2}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(A)=O}}$.

\noindent $f(B)$ a pour affixe $z'_B=\dfrac{ \beta - (1 + i)}{\beta - 2}=\dfrac{(1-\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})}{1-\mathrm{i}-2}=\dfrac{-2\mathrm{i}}{-1-\mathrm{i}}=\dfrac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{2}=1+\mathrm{i}=\alpha$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(B)=A}}$.

\bigskip

On cherche le point E tel que f(E) = C ; son affixe $z$ est telle que $\dfrac:{z-(1+\mathrm{i}}{z-2}=2\iff z-1-\mathrm{i}=2z-4\iff -1-\mathrm{i}+4=z\iff 3-\mathrm{i}=z$.

E a donc pour affixe : $\boxed{\textcolor{red}{z_E=3-\mathrm{i}}}$

\item %Quelles distances représentent les réels $\vert z - (1 + \mathrm{i})  \vert $ et  $\vert z - 2 \vert$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\vert z - (1 + \mathrm{i})  \vert =\vert z-\alpha \vert=\boxed{\textcolor{red}{AM}}$

\item $\vert z - 2 \vert=\vert z-z_C \vert=\boxed{\textcolor{red}{CM}}$
\end{enumerate}

\noindent %En déduire que si $M$ appartient à la médiatrice de $[AC]$, $M'$ appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon. 
On suppose que $M$ appartient à la médiatrice de $[AC]$ donc $AM=CM$.

\noindent $OM'=\vert z'\vert =\left\vert \dfrac{ z - (1 + i)}{z - 2} \right\vert=\dfrac{\vert z-(1+\mathrm{i}) \vert}{\vert z-2 \vert}=\dfrac{AM}{CM}=1$ donc $M'$ appartient au \textbf{\textcolor{red}{cercle de centre O et de rayon 1}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\newpage
\subsection{}
\label{geometrie}
\begin{center}
\textbf{FIGURE}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\vect{u}\cdot\vect{w}=1\times 1-3\times 0+1\times (-1)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\vect{u}\perp\vect{w}}}$.

\noindent La droite $\Delta$ est dirigée par le vecteur $\vect{u'}(-1~;~1;~-1)$ et $\vect{u'}\cdot\vect{w}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\vect{u'}\perp\vect{w}}}$.

\noindent Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{u'}$ dirigent respectivement $D$ et $D'$ et sont orthogonaux à $\vect{w}$ qui est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{n}\cdot\vect{u}=3-6+3=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\vect{n}\perp\vect{u}}}$; 
		
\noindent de même, $\vect{n}\cdot\vect{w}=3-3=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\vect{n}\perp\vect{w}}}$.

\noindent Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$ n'étant pas pas colinéaires, ils forment une base du plan $P$, et le vecteur $\vect{n}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{normal}} à ce plan.

		\item $\mathscr{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}$. Une équation cartésienne de $P$ est donc: 
$\boxed{\textcolor{red}{3x+2y+3z+d=0}}$, où $d$ est un réel à déterminer. Comme $A(3~;~-4~;~1)\in \mathscr{P}$, on a:
$3\times 3+2\times(-4)+3\times 1+d=0$, d'où $d=-4$. Une équation cartésienne de $P$ est donc: $\boxed{\textcolor{red}{3x+4y+3z-4=0}}$.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item $H'$ est un point de $D'$, il existe donc un réel $t$ tel que $H'(-1-t~;~2+t~;~1-t)$. Par ailleurs $H'\in \mathscr{P}$, donc $3(-1-t)+4(2+t)+3(1-t)-4=0$, d'où, en développant, $-4t=0$ puis $t=0$, ce qui donne $\boxed{\textcolor{red}{H'(-1~;~2~;~1)}}$.
		
		\item La droite $\Delta$ passe par $H'(-1~;~2~;1)$ et est dirigée par $\vect{w}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc:
\[
\boxed{\textcolor{red}{\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1+s\\
y&=&2\qquad (s\in\R)\\
z&=&1-s
\end{array}
\right.
}}\]
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item $H\in D$, donc il existe $\lambda\in\R$ tel que $\vect{AH}=\lambda\vect{u}$, d'où l'on déduit $H(3+\lambda~;~-4-3\lambda~;~1+\lambda)$. De plus  $H$ est un point commun aux droites $D$ et $\Delta$, il existe donc une valeur de $s$ et une valeur de $\lambda$ telles que:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
-1+s&=&3+\lambda\\
2&=&-4-3\lambda\\
1-s&=&1+\lambda
\end{array}
\right.
\]
La deuxième équation donne $\lambda=-2$ et les deux autres donnent alors $s=2$; on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{H(1~;~2~;~-1)}}$.

		\item $HH'=\sqrt{(-1-1)^2+(2-2)^2+(1+1)^2}=\sqrt{8}=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{2}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la \textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}}, $\vect{MM'}=\vect{MH}+\vect{HH'}+\vect{H'M'}$. Posons $\vect{v}=\vect{MH}+\vect{H'M'}$, alors $\vect{v}\cdot\vect{HH'}=0$ car $(MH)\perp(HH')$ et $(H'M')\perp(HH')$.
		
		\item $\vect{MM'}=\vect{HH'}+\vect{v}$, donc $\left(\vect{MM'}\right)^2=\left(\vect{HH'}\right)^2+2\vect{HH'}\cdot\vect{v}+\vect{v}^2$ ; 
		
\noindent comme $\vect{HH'}\cdot\vect{v}=0$, il reste $MM'=HH'^2+\left\vert\left\vert\vect{v}\right\vert\right\vert^2$, d'où: $\boxed{\textcolor{red}{MM'^2\geqslant HH'^2}}$.

\noindent La plus petite distance possible entre deux points de $D$ et de $D'$ est donc obtenue pour les points $H$ et $H'$. La distance entre les droites $D$ et $D'$ est donc égale à $\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{2}}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Polynésie juin 1997
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = x - 1 + \left(x^2 + 2\right)\mathrm{e}^{-x}.\]
 On note $\left(\mathscr{C}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ .
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie I :  Étude d’une fonction auxiliaire.}}

\bigskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g ( x ) = 1 - \left(x^2 - 2 x + 2\right) \mathrm{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ : 
Pour $x\neq 0$, $x^2-2x+2=x^2\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)=1$ donc, par produit, $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2 - 2 x + 2\right)\mathrm{e}^{-x}=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty}}$

\item Limite en $+\infty$ 
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=1-\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}+2\times \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}}$.

\noindent D'après les formules de croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$ pour $n$ entier naturel non nul, donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^{x}}=0$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow =\infty}g(x)=1}}$.
\end{enumerate}

\item %Calculer la dérivée de $g$ et déterminer son signe. 
$g$ est dérivable comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.

\noindent $g'(x)=-\left[(2x-2)\mathrm{e}^{-x}+(-1)\left(x^2-2x+2\right)\mathrm{e}^{-x}\right]
=-\left(2x-2-x^2+2x-2\right)\mathrm{e}^{-x}=-\left(-x^2+4x-4\right)\mathrm{e}^{-x}\\
=\left(x^2-4x-4\right)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{(x-2)^2\mathrm{e}^{-x}}}$.

\noindent $g'(x)>0$ pour $x\neq 2$ et $g'(2)=0$.



\item %En déduire le tableau de variation de $g$.
Puisque $g'(x)\geqslant 0$, $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&2&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\cb&\m{1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{2}}}&\ch&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[0,35\leqslant \alpha\leqslant  0,36.\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme comme, produit et compose de fonctions continues.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ (donc $g(x)$ prend des valeurs négatives).

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=1$ donc $g(x)$ prend des valeurs positives.
\end{enumerate}
D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $g(x)=0$ admet une solution.

\noindent Comme $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$, cette solution est \textbf{\textcolor{red}{unique}} : on la note $\alpha$.

\noindent $g(0,35)\approx -0.0024<0$ et $g(0,36)\approx 0.017>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0,35<\alpha<0,36}}$

\item %En déduire le signe de $g$.
\textbf{\textcolor{red}{Signe de $\boldmath{g}$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{ \textcolor{red}{Partie II : Étude de $f$ }}

\noindent On a $f(x) = x - 1 + \left(x^2 + 2\right)\mathrm{e}^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Limite en $\boldmath{-\infty}$}} : 
On a $f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left[x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+x^2+2\right]$.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$ d'après les \textbf{\textcolor{red}{croissances comparées}}.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$;

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+2\right)=+\infty$.

\noindent Par produit, on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}}$.

 \textbf{\textcolor{red}{Limite en $\boldmath{+\infty}$}} : 

\noindent $f(x)=x-1+\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}}$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^2}=+\infty$ (\textbf{\textcolor{red}{croissances comparées}}) et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.


\end{enumerate}

\item %Déterminer $f '(x)$ pour tout $x$ réel. 
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

\noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=1+2x\mathrm{e}^{-x}+\left(x^2+2\right)\times (-1)\mathrm{e}^{-x}=1+\left(2x-x^2-2\right)\mathrm{e}^{-x}=1-\left(x^2-2x+2\right)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{g(x)}}$.

\item %En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. 
$f'(x)$ a donc le signe de $g(x)$.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)=g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que : \[f (\alpha ) = \alpha\left(1+2\mathrm{e}^{-\alpha}\right).\]
Par définition de $\alpha$, on a : $1-\left(\alpha^2-2\alpha+1\right)\mathrm{e}^{-\alpha}=0\Leftrightarrow 1=\dfrac{\alpha^2-2\alpha+2}{\mathrm{e}^{\alpha}}\Leftrightarrow \alpha^2-2\alpha+2=\mathrm{e}^{\alpha}\\
\Leftrightarrow \alpha^2+2=\mathrm{e}^{\alpha}-2\alpha$.

$f(\alpha)=\alpha-1+\dfrac{\alpha^2+2}{\mathrm{e}^{\alpha}}=\alpha-1\left(\mathrm{e}^{\alpha}+2\alpha\right)\mathrm{e}^{-\alpha}=\alpha-1+1+2\alpha\mathrm{e}^{-\alpha}=\alpha-2\alpha\mathrm{e}^{-\alpha}=\boxed{\textcolor{red}{\alpha\left(1+2\mathrm{e}^{-\alpha}\right)}}$

\item %À l’aide de l’encadrement de $\alpha$ déterminer un encadrement de $f ( \alpha )$ d’amplitude $4 \times 10^{ -2}$ . 
On pose $h(x)=x\left(1+2\mathrm{e}^{-x}\right)$.

\noindent $h'(x)=1+2\mathrm{e}^{-x}+x\times 2\times (-1)\mathrm{e}^{-x}=1+2(1-x)\mathrm{e}^{-x}$.

\noindent Il est clair que $h'(x)>0$ sur $[0~;~1]$ donc $h$ est croissante sur cet intervalle.

\noindent Comme $0,35<\alpha<0,35$, on a $h(0,35)<h(\alpha)<h(0,36)$.

\noindent $h(0,35)\approx 0,84328$ et $h(0,36)\approx 0,86233$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{0,84<f(\alpha)<0,87}}$.
\end{enumerate}

\item %Donner une équation de la tangente T à $\left(\mathscr{C}\right)$ au point d’abscisse 0.
La tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=f'(0)x+f(0)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-x+1}}$

\item %Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x-1)]$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)-(x-1)=\left(x^2+2\right)\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}}$.

\noindent On en déduit $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ (limites déjà vues).

\item %En déduire que la droite $\Delta$ d’équation $y = x - 1$ est asymptote à $\left(\mathscr{C}\right)$ en $+\infty$.
Puisque $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x-1)]=0$, la doite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.


\noindent %Étudier la position de $\left(\mathscr{C}\right)$ par rapport à $\Delta$.
$f(x)-(x-1)=\left(x^2+2\right)\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $\mathscr{C}$ est \textbf{\textcolor{red}{au-dessus}} de son asymptote $\Delta$.


%\item Tracer $\Delta$ , $T$ puis $\left(\mathscr{C}\right)$.
Voilà la courbe, \textbf{\textcolor{red}{non demandée}} :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\psset{unit=1.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-2.)(5.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-2.)(5.,5.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-3.0}{5.0}{x-1.0+(x^(2.0)+2.0)*EXP(-x)}
\psplot{-3.}{5.}{(--1.-1.*x)/1.}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-3.0}{5.0}{x-1.0}
\rput[bl](-0.96,8.34){\qqwuqq{$f$}}
\rput[bl](-5.5,6.08){$a$}
\rput[bl](-2.92,-4.18){\blue{$g$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-3.5,4.5)
\rput[bl](-2.16,3.16){$T$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.38,1.38)
\rput[bl](2.6,1.34){$\Delta$}
\uput[l](-0.76, 3.7){$\mathscr{C}$}
\psline[linestyle=dashed](0.35128,0)(0.35128,0.846)
\uput[d](0.35128,0){$\alpha$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}
\bigskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0 =\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} =\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right).$
\begin{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f (x) =\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right).\]
\begin{enumerate}

\item  %Étudier le sens de variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal . (On prendra comme unité 2 cm).
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables.

\noindent $\forall x>0$, $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2-2}{x^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{2x^2}}}$.

\noindent $f'(x)=0$ pour $x=-\sqrt{2}\notin]0~;~+\infty[$ ou $x=\sqrt{2}\in]0~;~+\infty[$.

\noindent $f'(x)$ est du signe du numérateur, trinôme du second degré, qui est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent Il est clair que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Tableau de variations }}: 
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\sqrt{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&\sqrt{2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Graphique :}}
\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.,-1.)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=2,linewidth=1pt](-1.,-1.)(5,5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0.1}{5.0}{(x+2.0/x)/2.0}
\psplot[linecolor=red]{0}{5}{x}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](0.5,0)(0.5,2.25)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](0.5,2.25)(2.25,2.25)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](2.25,2.25)(2.25,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](2.25,1.5694)(1.5694,1.5694)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1.5694,1.5694)(1.5694,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1.5694,1.4219)(1.4219,1.4219)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1.4219,1.4219)(1.4219,0)

\uput[d](0.5,0){$u_0$}
\uput[d](2.25,0){$u_1$}
\uput[d](1.5694,0){$u_2$}
\uput[d](1.4219,0){$u_3$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.5,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](2.25,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5694,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.4219,0)
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-4.74,-2.82){\qqwuqq{$f$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Utiliser le graphique précédent pour construire les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ de l’axe $\left(O~;~\overrightarrow{\text{i}}\right)$ d’abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Voir graphique.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}

\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant \sqrt{2}$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, $u_n\geqslant \sqrt{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_1=\dfrac{9}{4}\geqslant \sqrt{2}$ donc $u_1\geqslant \sqrt{2}$.

\item Hérédité : on suppose que $u_n\geqslant \sqrt{2}$ pour un entier $n\geqslant 1$.

\noindent Sur $\left[\sqrt{2}~;~+\infty\right[$, $f$ est croissante, donc conserve l'ordre :

\noindent $u_n\geqslant \sqrt{2}\Rightarrow u_{n+1}=f\left(u_n\right)\geqslant f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$ donc $u_{n+1}\geqslant \sqrt{2}$.

\end{enumerate}

\item %Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2}$, $f (x)<x$.
Pour $x\geqslant \sqrt{2}$, $f(x)-x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-x=\dfrac{x^2+2}{2x}-x=\dfrac{x^2+2-2x^2}{2x}=\dfrac{2-x^2}{2x}\leqslant 0$ donc $f(x)\leqslant 0$.


\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante à partir du rang 1.
Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n\geqslant \sqrt{2}$ ; or, pour $x\geqslant \sqrt{2}$, $f(x)<x$ donc $f\left(u_n\right)<u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1}<u_n$.

\noindent La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.


\item %Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $\sqrt{2}$ à partir de $n=1$, donc convergente.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}

\item %Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.Montrer que $\ell$ est solution de l’équation $x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$.
$f$ est continue, donc la limite $\ell$ est solution de l'équation $x=f(x)$ donc $x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$.


\item %En déduire sa valeur.
 Cette équation a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.

\noindent Comme $\ell>0$, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\sqrt{2}}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}
%\textbf{Pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité}
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\medskip
%
%Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
% 
%Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.
%
%\bigskip
% 
%\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%
%\medskip
% 
%Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
% 
%\og Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire \fg.
% 
%Un spectateur annonce $308$ et en quelques secondes, le magicien déclare : \og Votre anniversaire tombe le 1\up{er} août ! \fg.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%
%\item Vérifier que pour une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre $308$. 
%
%\item  
%	\begin{enumerate}
%		
%\item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). 
%
%Exprimer $z$ en fonction de $j$ et de $m$ et démontrer que $z$ et $m$ sont congrus modulo 12. 
%		
%\item Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A).
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\columnbreak
%\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%
%\medskip
% 
%Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.
% 
%\emph{Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.}
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%
%\item \textbf{Première méthode} :
% 
%On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%\textbf{Variables :}&$j$ et $m$ sont des entiers naturels\\
%\textbf{Traitement :}& Pour $m$ allant de 1 à 12 faire :\\ 
%& \hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
%Pour $j$ allant de 1 à 31 faire :\\
%	\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
%	$z$ prend la valeur $12j + 31m$\\ 
%	Afficher $z$\\
%	\end{tabular}\\ 
%Fin Pour\\
%\end{tabular}\\ 
%&Fin Pour\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. 
%
%\item \textbf{Deuxième méthode} :
%	\begin{enumerate}
%		
%\item Démontrer que $7m$ et $z$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12. 
%		
%\item Pour $m$ variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de $7m$ par 12. 
%		
%\item En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
%	\end{enumerate} 
%
%\item \textbf{Troisième méthode} : 
%	\begin{enumerate}
%		
%\item Démontrer que le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$. 
%		
%\item En déduire que si un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$, alors $12(x + 2) = 31 (17 - y)$. 
%		
%\item Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs 
%		$(x~;~y)$, solutions de l'équation $12x + 31y = 503$. 
%		
%\item Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$.
%		 
%En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate} 
%
%
%\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  