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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc (mars 2014)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}
 
%On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %…tudier les variations de la fonction $g$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $\boxed{\textcolor{red}{g'(x) = \text{e}^x  - 1}}$.

$\text{e}^x  - 1 > 0 \iff \text{e}^x  > 1  \\
\iff x > 0$ (par croissance de la fonction ln) .

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : $g'(x) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$, donc la fonction $g$ est croissante sur cet intervalle.
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.

La fonction étant croissante sur $[0~;~+ \infty[$, on a, quel que soit $x,\: g(x) \geqslant g(0)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{g(x) \geqslant 0}}$. 
\item %En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$.
On vient de démontrer que pour tout réel de l'intervalle $[0~;~+ \infty[,$

$g(x) \geqslant 0 \iff \text{e}^x - x - 1 > 0 \iff \text{e}^x - x   > 1$. 
\end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B }}
%On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
%Cette annexe sera complétée et remise avec la copie ‡ la fin de l'épreuve.

%On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$.
On a $f(0) = \dfrac{1 - 1}{1} = 0$ et $f(1) = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e} - 1} = 1$.

Comme la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1], $0 \leqslant x \leqslant \Rightarrow$

$f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \iff \boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant f(x) \leqslant 1}}$.
\item %Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$.
$f(x) - x = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x} - x = \dfrac{\text{e}^x - 1 - x\text{e}^x + x^2}{\text{e}^x - x} \\
= \dfrac{\text{e}^x(1 - x) + x^2 - 1}{\text{e}^x - x} =\dfrac{\text{e}^x(1 - x) + (x + 1)(x - 1)}{\text{e}^x - x} \\
= \dfrac{\text{e}^x(1 - x) - (x + 1)(1 - x)}{\text{e}^x - x} = \dfrac{(1 - x)\left(\text{e}^x - x - 1\right)}{\text{e}^x - x} \\
= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}}}$. 

		\item %…tudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
La position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1] est donnée par le signe de la différence précédente : $f(x) - x$.
Or on a vu sur [0~;~1], $g(x) \geqslant 0$ et $\text{e}^x - x \geqslant 1 > 0$. Comme de plus $1 - x > 0$, tous les termes du quotient sont positifs, donc $f(x) - x \geqslant 0$, ce qui signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ est \textbf{au dessus} de la droite (D). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
%u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
%\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
Voir à la fin de l'exercice.
. 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
Démontrons par récurrence sur $n$ que : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ .
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{\textbf{\textcolor{red}{Initialisation}}} : On a vu que sur $[0~;~1]$, $f(x)-x\geqslant 0$ donc $f(x)\geqslant x$.

On en déduit que $f\left(u_0\right)\geqslant u_0$ et $f\left(u_0\right)\leqslant 1$ car pour $x\in[0~;~1]$, $f(x)\in[0~;~1]$.

On a donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1$.

\item \emph{\textbf{\textcolor{red}{Hérédité}}} :
Supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que :

$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{p} \leqslant u_{p+1} \leqslant 1$ par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~1] :

$f\left(\dfrac{1}{2} \right) \leqslant f\left(u_{p} \right) \leqslant f\left(u_{p+1} \right) \leqslant f(1) \\
\iff u_{1} \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2}\leqslant 1$

 et comme $u_{1} > u_{0} = \dfrac{1}{2}$, on a 
$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2}\leqslant 1$.

\end{enumerate}
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n,$
$\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1}}$.

\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et elle est majorée par 1.

Elle converge donc vers un réel $\ell \leqslant 1$.

Or $f$ est continue, donc comme $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ on obtient par continuité $\ell = f(\ell)$ qui a pour solution dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ le nombre 1.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion :}} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=7cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
\psline[linewidth=1.2pt](1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0)(0.5,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0.5647)(0.5647,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5647,0)(0.5647,0.63553)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5647,0.63553)(0.63553,0.63553)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0)(0.63553,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0.709)(0.7009,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0)(0.709,0.78)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0.78)(0.78,0.78)
\uput[d](0.5,0){$u_{0}$} \uput[d](0.5647,0){$u_{1}$} \uput[d](0.63553,0){$u_{2}$} \uput[d](0.709,0){$u_{3}$}  
\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2001 (4 points)}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Le plan est rapporté  à un repè
re orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

\begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ : 

%\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]
Résolvons l'équation $z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0$.\\
$\Delta=\left(8\sqrt{3}\right)^2-4\times 64=64\times 3-64\times 4=64\times (3-4)=-64<0$.\\
L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées.\\
$z_1=\dfrac{-8\sqrt{3}-8\mathrm{i}}{2}=-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=-4\sqrt{3}+4\mathrm{i}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}~;~-4\sqrt{3}+4\mathrm{i}\right]}}$

\item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} +
4$i. 
% Calculer les distances OA, OB et AB puis en déduire la nature du triangle OAB.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{OA}=|a|=\left|-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}\right|=|-4|\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right|=4\times 2=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

\item OB = $|b|=\left|\overline{a}\right|=|a|=OA$ (car, pour tout $z$, $\left|\overline{z}\right|=|z|$).

\item AB = 8 (évident, puisque les deux points ont même abscisse !)

\item On en déduit que le triangle OAB est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}

\end{enumerate}\item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3}+\mathrm{i}$.\\
D est le point d'affixe $d$ où D est tel que $\text{OD}=\text{OC}$ et $\left(\overrightarrow{OC}~;~\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{\pi}{3}$. .% son image par la rotation de centre O et d'angle 
%$\cfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D.

\begin{enumerate}
\item %En déduire que $\dfrac{d}{c}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$.
$\left|\dfrac{d}{c}\right|=\dfrac{\text{OD}}{\text{OC}}=1$ car OD = OC et $\arg\left(\dfrac{d}{c}\right)=\left(\overrightarrow{OC}~;~\overrightarrow{OC}\right)=\frac\pi3$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{d}{c}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}}}$.

\item %En déduire l'écriture algébrique de $d$.
On en déduit que $d=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)(\sqrt{3}+\mathrm{i})=2\mathrm{i}$ : $\boxed{\textcolor{red}{d=2\mathrm{i}}}$.
\end{enumerate}

\item On appelle G le point tel que $-\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}.$

\begin{enumerate} \item %Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6$i. 
$-\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -g+d+b=0\\
\Leftrightarrow g=b+d=-4\sqrt{3}+6\mathrm{i}$. $\boxed{\textcolor{red}{g=-4\sqrt{3}+6\mathrm{i}}}$.

\item %Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité  graphique :
%1 cm).
Figure en dessous de l'exercice.

\item %Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
On obtient facilement que : $z_{\overrightarrow{BG}}=z_{\overrightarrow{OD}}=2\mathrm{i}$ donc $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{OD}$.\\
OBGD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item %Justifier l'égalité
% $\cfrac{c - g}{a - g} = \cfrac{1}{2} + \text{i}\cfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\dfrac{c-g}{a-g}=\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}-\left(-4\sqrt{3}+6\mathrm{i}\right)}{-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}-\left(-4\sqrt{3}+6\mathrm{i}\right)}=\dfrac{5\sqrt{3}-5\mathrm{i}}{-10\mathrm{i}}\\
=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{\mathrm{i}}\right)\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{i}\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{3}\mathrm{i}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}}}$. car $\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ donc $-\dfrac{1}{\mathrm{i}}=\mathrm{i}$.

\item 
%En déduire une mesure en radians de l'angle 
%$\left(\overrightarrow{\text{GA}}, ~\overrightarrow{\text{GC}}\right)$, ainsi que la valeur du rapport $\cfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$.
%
%Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?
$\left(\overrightarrow{\text{GA}}, ~\overrightarrow{\text{GC}}\right)=\arg\left(\dfrac{c-g}{a-g}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{3}}}$.\\
$\cfrac{\text{GC}}{\text{GA}}=\left|\dfrac{c-g}{a-g}\right|=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{GC} = \text{GA}}}$.\\
Le triangle AGC est isocèle en G avec un angle au sommet égal à $\dfrac{\pi}{3}$, donc il est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\textbf{\textcolor{blue}{Figure : }}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-9,-5)(3,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-9,-5)(3,7)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8,-7)(3,7)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-6.93,-4)(-6.93,6)(1.73,1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(-6.93,-4)(-6.93,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(-6.93,4)(-6.93,6)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(-6.93,-4)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,-4)(-6.93,4)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(-6.93,4)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,4)(-6.93,6)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,6)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,-4)(-6.93,6)
\psline[linecolor=zzttqq](-6.93,6)(1.73,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1.73,1)(-6.93,-4)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.93,-4)
\rput[bl](-6.84,-3.88){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.93,4)
\rput[bl](-6.84,4.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.73,1)
\rput[bl](1.82,1.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2)
\rput[bl](0.08,2.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.93,6)
\rput[bl](-6.84,6.12){\blue{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\end{multicols}

%\newpage
\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%On considère la fonction numérique $f$, de la variable réelle $x$, définie 
%sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.$
%
%On appelle ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe d' équation $y = f(x)$ dans le plan 
%rapporté à un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\ 
%\indent On prendra 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, et 6 cm pour $\pi$ unités sur l'axe des abscisses. 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x,~ -~ \text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{- x}$.\\ 
%En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ et l'existence d'une asymptote 
%pour la courbe ($\mathcal{C}_{f}$). 
$\forall x\in\mathbb{R}$, $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-\mathrm{e}^{-x}\leqslant \mathrm{e}^{-x}\sin x\leqslant \mathrm{e}^{-x}}}$ car $\mathrm{e}^{-x}>0$.\\
Or $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x)=-\infty$, donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.\\
De même, $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.\\ 
On en déduit que l'axe des réels est asymptote à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.

\item %Montrer que la fonction dérivée de $f$ vérifie :
%$f'(x) = -\sqrt{2} \text{e}^{- x} \cos \left(x + 
%\dfrac{\pi}{4}\right)\text{, pour }x\text{ élément de }\mathbb{R}.$
$f$ est déérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables.\\
$f=uv$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v(x)=\sin x$.\\
$u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ car $u=\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$ et $\left(\mathrm{e}^{w}\right)'=w'\mathrm{e}^{w}$.\\
$v'(x)=\cos x$.\\
$f'=u'v+v'u$ donc :\\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\sin x+\mathrm{e}^{-x}\cos x=(cos x-\sin x)\mathrm{e}^{-x}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right)\mathrm{e}^{-x}=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\cos x-\sin\dfrac{\pi}{4}\sin x\right)\mathrm{e}^{-x}\\=
\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\mathrm{e}^{-x}}}$.

\item On étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.\\ 
Recopier et compléter le tableau suivant : 
%\[\begin{array}{| c | l c r|}\hline 
%\text{Valeur de }x & - ~\dfrac{\pi}{2} & \cdots& \pi\\ \hline 
%\text{Valeur de }x + \dfrac{\pi}{4} & \cdots& ~~~~~~~~~~~\dfrac{\pi}{2}~~~~~~~~~~~ & \cdots\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \text{Signe de }~\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) & & & \\ \hline 
%\end{array}\] 
\begin{center}
\begin{variations}
\text{Valeur de }x&-\dfrac{\pi}{2}&&\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}}&&\pi\\
\hline
\text{Valeur de }x+\dfrac{\pi}{4}&\textcolor{red}{-\dfrac{\pi}{4}}&&\dfrac{\pi}{2}&&\textcolor{red}{\dfrac{5\pi}{4}}\\
\hline
\text{Signe de }\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)&&\textcolor{red}{+}&\z&\textcolor{red}{-}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
%$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.
Comme $\sqrt{2}$ et $\mathrm{e}^{-x}$ sont strictement positifs, $f'(x)$ est du signe de $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
\text{Valeur de }x&-\dfrac{\pi}{2}&&\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}}&&\pi\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\approx -1.55&\c&\h{\approx 0,32}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item %Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-~ 
%\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ ainsi que les courbes $(\mathcal{C}_{1})$ 
%et $(\mathcal{C}_{2})$ d'équations $y = - \text{e}^{- x}$ et $y = 
%\text{e}^{- x}$. 
Courbe à la fin de l'exercice
\item Déterminer algébriquement sur $\mathbb{R}$, puis sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~; 
~\pi\right]$, les coordonnées des points communs à : 
\begin{enumerate}\item $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses. \\
On résout sur l'équation $f(x)=0$.\\
$f(x)=0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x}\sin x=0\Leftrightarrow \sin x=0$ car $\mathrm{e}^{-x}>0$.\\
On obtient $x=k\pi,~k\in\mathbb{Z}$.\\
Dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$, on obtient $x=0$ et $x=\pi$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~\pi\}}}$.

\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{1})$. \\
On résout l'équation $f(x)=-\mathrm{e}^{-x}$.\\
$f(x)=-\mathrm{e}^{-x}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x}\sin x=-\mathrm{e}^{-x}\Leftrightarrow \sin x=-1$ (car $\mathrm{e}^{-x}>0$).\\
On obtient $\boxed{\textcolor{red}{x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}}}$.\\

Dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}}}$

\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{2})$. \\
On résout l'équation $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$.\\
$f(x)=\mathrm{e}^{-x}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x}\sin x=-\mathrm{e}^{-x}\Leftrightarrow \sin x=1$\\
 (car $\mathrm{e}^{-x}>0$).\\
ON obtient : $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}}}$.\\
Dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}}}$
\end{enumerate} 

%\item Déterminer un réel $\alpha$ tel que, pour $x \geqslant \alpha$, on 
%ait $|f(x)| \leqslant 10^{- 2}$. 
\end{enumerate} 



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Courbe :}}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-6)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-6)(4,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-6)(4,5)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-1.5707963267948966}{3.141592653589793}{-EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-1.5707963267948966}{3.141592653589793}{EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-1.5707963267948966}{3.141592653589793}{EXP(-x)*sin(x)}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psline(1.57,-0.1)(1.57,0.1)
\uput[d](3.14,0){$\pi$}
\psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)
\uput[d](-1.57,0){$-\dfrac{\pi}{2}$}
\psline(-1.57,-0.1)(-1.57,0.1)
\uput[r](-1,-2.718){$\mathscr{C}_1$}
\uput[r](-1,2.718){$\mathscr{C}_2$}
\uput[l](-0.5,-0.8){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}
%
%\newpage


\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}%\textcolor{blue}{Réunion juin 2008 (5 points})

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	          \item $u_1=\left(1+\dfrac{2}{1}\right)u_0+\dfrac{6}{1}=3\times 5 + 6 = \boxed{\textcolor{red}{21}}.$
	          
	          \item On obtient : $d_{1} = u_{1} - u_{0} = \boxed{\textcolor{red}{16}}, {}d_{2} = u_{2} - u_{1} = \boxed{\textcolor{red}{24}}$, puis $d_{3} = \boxed{\textcolor{red}{32}},{} d_{4} = \boxed{\textcolor{red}{40}}, {} d_{5} = \boxed{\textcolor{red}{48}}$.\\
	          
\noindent On peut donc conjecturer que la suite $\left( d_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de raison 8 et de premier terme $16$.
        \end{enumerate}
        
\item Soit $\left( v_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$  la suite  arithmétique de raison 8 et de premier terme $v_0 = 16$.

On sait que, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = 16 + 8n =8(n+2)$.

La somme $S_{n}$ des  $n$ premiers termes est :\\
$S_{n} = \text{(Nombre de termes)}\times \dfrac{\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}}{2}=n\times \dfrac{v_0+v_{n-1}}{2}=n\times \dfrac{16+16+8(n-1)}{2}=n\times \dfrac{24+8n}{2}=n(12+4n)\\
=\boxed{\textcolor{red}{4n^2+12n}}$..

\item Démonstrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=4n^2 + 12n + 5$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : $u_{0} = 5$ : vrai

\medskip

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

 Alors $u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)u_{n} + \dfrac{6}{n+1}  =  \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left(4n^2 + 12n + 5\right) + \dfrac{6}{n+1}$.
 
Or $4n^2 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 - 8n - 4 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 + 4n + 1 = 4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3$. \\
En reportant dans $u_{n+1}$ au dessus, on obtient :

$u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left[4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3  \right] +  \dfrac{6}{n+1} =$

$4(n+1)^2 + 4(n+1) - 3 + 8(n+1) + 8 -  \dfrac{6}{n+1}+  \dfrac{6}{n+1} = 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5.$

La relation est donc vraie au rang $n+1$ ; la propriété est héréditaire.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Autre méthode :}} \\
$u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left[4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3  \right] +  \dfrac{6}{n+1} =\dfrac{(n+3)\left(4n^2+12n+5\right)+6}{n+1}=\dfrac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}\\
=\dfrac{(n+1)\left(4n^2+20n+21\right)}{n+1}=4n^2+20n+21=4\left(n^2+2n+1\right)+12n+17=4(n+1)^2+12n+17\\
=\boxed{\textcolor{red}{4(n+1)^2+12(n+1)+5}}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : on vient de démontrer par récurrence que, quel que soit $n \in \mathbb{N},$ 

$u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

\item Soit $n\in\mathbb{N}$,\quad d'après les questions précédentes, on déduit que : \\
$d_n = u_{n+1}- u_n= 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5 - \left(4n^2 + 12n + 5 \right) = 4n^2 + 8n + 4 +  12n + 12 - 4n^2 - 12n - 5
 =\boxed{\textcolor{red}{ 8n + 16 = v_{n}}}$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la suite  $\left( d_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est \textbf{arithmétique} de raison 8 et de premier terme $d_0=16$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  