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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du baccalauréat blanc (février 2019)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Amérique du Nord juin 2017 

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
Pour tout $x\in[-2~;~2]$, $f(-x)=-\dfrac{b}{8}\left(\mathrm{e}^{\frac{-x}{b}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(x)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-x)=f(x)}}$.

La courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (on dit alors que la fonction $f$ est paire).

\item %On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :
%
%\[f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right).\]
$f$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables sur $[-2~;~2]$.

On sait que la dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ sur un intervalle $I$ est $w'\mathrm{e}^{w}$ si $w$ est une fonction dérivable sur $I$.

On en déduit que $f'(x)=-\dfrac{b}{8}\left[\dfrac{1}{b}\mathrm{e}^{\frac{x}{b}}-\dfrac{1}{b}\mathrm{e}^{-\frac{x}{b}}\right]+0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=- \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right)}}$

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les coordonnées du point S en fonction de $b$.
$f'(x) \geqslant 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{\frac{x}{b}}-\mathrm{e}^{-\frac{x}{b}} \leqslant 0$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\frac{x}{b}} \leqslant \mathrm{e}^{-\frac{x}{b}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{b} \leqslant -\dfrac{x}{b}\Leftrightarrow \dfrac{2x}{b} \leqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x \leqslant 0}}$.

$f(0)=\dfrac{-2b}{8}+\dfrac{9}{4} = \dfrac{9-b}{4}$.

Le tableau de variation de $f$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&0&&2\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&f(-2)&\c&\h{\dfrac{9-b}{4}}&\d&f(2)\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le sommet $S$ a donc pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{S\left(0~;~\dfrac{9-b}{4}\right)}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $b = 1$.
On doit avoir $\dfrac{9-b}{4}=2$ donc $9-b=8$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{b=1}}$.

\item %Montrer que l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
La fonction a alors pour expression : 
$$\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}}}$$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue comme somme et composée de fonctions continues.

\item $f(0)=2>1,5$

\item $f(2)\approx 1,34<1,5$
\end{enumerate}
D'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème des valeurs intermédiaires}} , l'équation $f(x)=1,5$ admet une solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ ; cell-ci est unique car $f$ est monotone sur cet intervalle. Notons-la $a$.

	\item On considère l'algorithme ci-dessous où les variables $A$, $B$ et $M$ sont des nombres réels :
	$$\begin{tabular}{|l|}
	\hline
	Tant que $B - A > 0,1$ faire:\\
	\hspace{0.5cm}$M \gets \dfrac{A+B}{2}$\\
	\hspace{0.5cm}Si $-\dfrac{1}{8}\left(\text{e}^M + \text{e}^{-M}\right) + \dfrac{9}{4} > 1,5$, alors:\\
	\hspace{1cm}$A \gets M$\\
	\hspace{0.5cm}Sinon :\\
	\hspace{1cm}$B\gets M$\\
	\hspace{0.5cm}Fin Si\\
	Fin Tant que\\ \hline
	\end{tabular}$$
	
	
		\begin{enumerate}
			\item Avant l'exécution de cet algorithme, les variables $A$ et $B$ contiennent respectivement les valeurs $0$ et $2$.
			Voilà le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme :
			%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
			\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
			\rowcolor{yellow!60}$m$ 	&$A$ &$B$ &$B - A$\\ \hline
			&0&2&2\\
			\hline
			1&1&2&1\\
\hline
1,5&1,5&2&0,5\\
\hline
1,75&1,75&2&0,25\\
\hline
1,875&1,75&1,875&0,125\\
\hline
1,8125&1,75&1,8125&0,0625\\
\hline
\end{tabular}\]
%			Attention, ajouter au tableau autant de lignes que nécessaire jusqu'à ce que l'algorithme s'arrête.
			
			\item %En déduire une valeur approchée de $a$ à $0,1$ près.
			D'après l'algorithme, $1,75<a<1,8125$. On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{a\approx 1,8}}$ à 0,1 près.
			
		\end{enumerate}
		
	
	
	%\item Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d'automatiser son portail si la masse d'un vantail excède $60$~kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$~kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point F d'abscisse $1$.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](0,2){S} 
\uput[ur](2,2){E} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[l](0,2){S} \uput[ul](0,2.2){G} 
\uput[r](2,1.55){H} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\psline(0,2.2)(2,1.55)
\end{pspicture}\\
Forme 1 : découpe dans &Forme 2 : découpe dans \\
un rectangle & un trapèze\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Avec la forme 1}} :

L'aire de bois utilisée est $\mathscr{A}_1=OC\times OS=1,8\times 2=3,6\text{ m}^2$. 


\textbf{\textcolor{blue}{Avec la forme 2}} :

L'aire de bois utilisée est :
$$\mathscr{A}_2=\dfrac{(OG+CH)\times OC}{2} = \dfrac{(OG+CH)\times 1,8}{2}$$ 

Calculons $OG$ et $CH$.

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 est :
$$\boxed{\textcolor{red}{y=f'(1)(x-1)+f(1)}}.$$

\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item $OG$ est égale à l'ordonnée de $G$. On remplace donc $x$ par 0 dans l'équation de la tangente :\\ $y_G=-f'(1)+f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right)=\dfrac{9-\mathrm{e}^{-1}}{4}\\
	\approx 2,158$.

	\item $CH$ est égale à l'ordonnée de $H$. On remplace donc $x$ par 1,8 dans l'équation de la tangente :\\
 $y_H=f'(1)\times 0,8+f(1)=-\dfrac{0,8}{8}\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}\\
 =\dfrac{-1,8\mathrm{e}-0,2\mathrm{e}^{-1}+18}{8}\approx 1,629$.
 
 	\end{enumerate}
 
 Donc $\mathscr{A}_2 \approx \dfrac{1,8\times (2,158+1,629)}{2}\approx 3,408$.
 
 La différence des deux aires est : $\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2\approx \boxed{\textcolor{red}{0,192\text{ m}^2}} $.
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - uniquement pour les élèves ne suivant pas la spécialité mathématiques}} % exo Jean-Paul
\label{nonspe}
\noindent L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.\\
\noindent Les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonnées $A(3~;~-2~;~2)$, $B(6~;~1~;~5)$ et $C(6~;~-2~;~-1)$\\

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\

\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
	$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$.\\
	$\dfrac{0}{3}\neq \dfrac{-3}{3}$ donc les coordonnées ne sont pas proportionnelles ; les deux vecteurs ne sont pas colinéaires : \textbf{\textcolor{red}{les trois points A, B et C définissent donc un plan $(ABC)$}}.
	
	\item %Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
	$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3\times 3+3\times 0+3\times (-3)=9-9=0$. Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, ils sont orthogonaux et le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.
	
	\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x+y+z-3=0$.\\
	%Prouver que $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par le point $A$.
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$  est un vecteur normal à $\mathscr{P}$.\\
On remarque que $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{n}}}$, donc $\mathscr{P}$ est bien orthogonal à $(AB)$.\\
$x_A+y_A+z_A-3=3-2+2-3=0$ donc $A\in\mathscr{P}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{$\mathcal{P}$ est bien orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par le point $A$.}}

\item Soit $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite $(AC)$ et passant par le point $A$.\\
%	Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}'$.
$\overrightarrow{AC}$ est donc un vecteur normal à $\mathscr{P}'$. Une équation de $\mathscr{P}'$ passant par A est donc :\\
$3\left(x-x_A\right)-3\left(z-z_A\right)=0\Leftrightarrow 3(x-3)-3(z-2)=0$\\
$\Leftrightarrow 3x-3z-3=0\Leftrightarrow x-z-1=0$ (en simplifiant par 3).\\
Une équation de $\mathscr{P}'$ est $\boxed{\textcolor{red}{x-z-1=0}}$.
	
	%\item Déterminer un vecteur directeur de la droite $\Delta$, intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$.

	\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$. 
	$\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants, car leurs vecteurs normaux $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Leur intersection est donc une droite $\Delta$.\\
	Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $\mathscr{P} \cap \mathscr{P}'\\
	\Leftrightarrow \begin{cases}x+y+z-3=0\\x-z-1=0\end{cases}$.\\
	On choisit par exemple $z=t$ comme paramètre.\\
	$\begin{cases}x+y+z-3=0\\x-z-1=0\\z=t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+z\\y=3-x-z\\z=t\end{cases},~t\in\mathbb{R}\\
	\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+t\\y=3-(1+t)-t\\z=t\end{cases},~t\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+t\\y=2-2t\\z=t\end{cases}~t\in\mathbb{R}$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=1+t\\y=2-2t\\z=t\end{cases}~t\in\mathbb{R}}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

\noindent Soit $D$ le point de coordonnées $(0~;~4~;~-1)$.\\

\begin{enumerate}
	\item %Prouver que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
	$A(3~;~-2~;~2)$ ; $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$.\\
	$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=-9+18-9=0$ donc $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$.\\
	$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=-9+0+9=0$ donc $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{AD}$.\\
	$\overrightarrow{AD}$ est \textbf{\textcolor{red}{orthogonal}} à deux vecteurs \textbf{\textcolor{red}{non colinéaires}} du plan $\mathscr{P}$, donc $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
	
	\item %Montrer que le volume du tétraèdre $ABDC$ est $27$.
	Le volume du tétraèdre $ABCD$ est :
	$$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\text{ aire de ABC}\times\text{ hauteur}$$
	
	$ABC$ est rectangle en A, donc $\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}$.\\
	Le volume du tétraèdre $ABC$ est $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{AB\times AC}{2}\times AD$.\\
	$AB=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{3\times 3^2}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{3}}}$ ;\\
	$AC=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{2\times 3^2}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{2}}}$ ; \\
	$AD=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{6}}}$.\\
	Donc $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{6}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6}=\dfrac{54}{2}=\boxed{\textcolor{red}{27}}$. %$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{V}=27}}$.
	
	\item 
		\begin{enumerate}[$a.$] 
			\item %En calculant $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}$, prouver que l'angle $\widehat{BDC}$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radians.
			$\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.\\
			On en déduit : $DB=\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{81}=\boxed{\textcolor{red}{9}}$\\
			$DC=\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{6\sqrt{2}}}$.\\
			On sait que $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}=DB\times DC\times \cos\left(\widehat{BDC}\right)$, donc $\cos\left(\widehat{BDC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}}{DB\times DC}=\dfrac{54}{54\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\widehat{BDC}=\dfrac{\pi}{4}}}$.
			
			\item On note $K$ le pied de la hauteur issue de $B$ du triangle $BCD$.\\
%			Déduire de la question précédente la distance $BK$.
Dans le triangle $BKD$ rectangle en K, on a : 
$$BK=DB\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{\sqrt{2}}}}$$

			\item %Calculer l'aire du triangle $BDC$.\\
			L'aire de $BDC$ est alors : 
			$$\mathscr{A}(BDC)=\dfrac{CD\times BK}{2}=\dfrac{6\sqrt{2}\times \frac9{\sqrt{2}}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{27}}$$
			
						\end{enumerate}
	\item %En déduire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$. \\
	Notons $h$ la distance du point  au plan (BDC). Le volume du tétraèdre ABCD est $\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}(BDC)\times h$.\\
	Or ce volume est 27 donc $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}(BDC)\times h=27$ donc \\
	$h=\dfrac{3\times 27}{27}=3$.\\
	 La distance de A au plan (BDC) vaut $\boxed{\textcolor{red}{3}}$ (unités de longueur)

%			
%			\fbox{\begin{minipage}{1\linewidth}
%					\textit{Rappel : la distance d'un point $M$ à un plan $\mathcal{P}$ est égale à la distance $HM$ où $H$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.}
%				\end{minipage}}
	
\end{enumerate}

\hfill\\


%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - uniquement pour les élèves  suivant  la spécialité mathématiques}} % Antilles-Guyane septembre 2017
%\label{spe1}
%\medskip
%
%\noindent
%\label{spe}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $p$ un entier relatif donné.
%
%Soit l'équation $\left(E_p\right)$: $3x + 4y = p$, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
%
%	\begin{enumerate}
%		\item $3\times (-p)+4\times p = -3p+4p=p$ donc le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de $\left(E_p\right)$.
%		
%		\item Soit $S_p$ l'ensemble des couples de la forme $(- p + 4k~;~p - 3k)$ où $k \in \mathbb{Z}$.
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item On suppose que le couple $(x~;~y)$ appartient à l'ensemble $S_p$; alors il existe un entier relatif $k$ tel que $x=-p+4k$ et $y=p-3k$. \\
%On a donc:
%$3x+4y = 3(-p+4k) + 4 (p-3k) \\
%= -3p+12k +4p-12k=p$ \\
%donc le couple $(x~;~y)$ est solution de l'équation $\left (E_p\right )$.
%
%\item On suppose que le couple $(x~;~y)$ est solution de $\left (E_p\right )$; cela signifie que $3x+4y=p$.
%
%On sait que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de $\left(E_p\right)$ donc $3(-p)+4p=p$.
%
%En retranchant membre à membre ces deux égalités, on obtient $3(x+p) +4(y-p)=0$ ou encore $\boxed{\textcolor{red}{3(x+p) = -4(y-p)}}$.
%
%D'après cette égalité, 4 divise $3(x+p)$; on sait que les nombres 3 et 4 sont premiers entre eux donc, d'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème de Gauss}}, 4 divise $x+p$. \\
%On en déduit que $x+p = 4k$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et donc que $\boxed{\textcolor{red}{x=-p+4k}}$.
%
%De $3(x+p) = -4(y-p)$ et de $x+p = 4k$, on déduit que $3\times 4k = -4(y-p)$ c'est-à-dire que $-3k =y-p$ ou encore $\boxed{\textcolor{red}{y=p-3}}k$.
%
%On peut donc enfin dire que \\
%$\boxed{\textcolor{red}{(x~;~y)=(-p+4k~;~p-3k)}}$ avec $k\in\mathbb{Z}$, donc que le couple $(x~;~y)$ appartient à $S_p$.
%
%\end{list}
%		
%On a donc démontré que l'ensemble des solutions de l'équation $\left (E_p\right )$ est l'ensemble des couples \\
%$(-p+4k~;~p-3k)$ où $k\in\mathbb{Z}$.	
%		
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}			
%Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
%		
%On considère le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
%		
%\begin{enumerate}
%\item  Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathcal P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
%	\begin{enumerate}
%		\item On sait que le point $M_0$ appartient au plan $\mathcal{P}$, donc ses coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ vérifient l'équation du plan:
%$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$	 donc $z_0=	6x_0 + 8y_0$.
%
%$6x_0$ est pair et  $8y_0$ est pair donc $6x_0 + 8y_0$ est pair donc $z_0$ est pair.
%		
%		%Démontrer que $z_0$ est pair.
%		\item  On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif.
%
%$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$ donc $6x_0 + 8y_0 - 2p = 0$ ce qui équivaut à 	$6x_0 + 8y_0 = 2p$ ou encore $3x_0 + 4y_0 = p$; donc le couple $(x_0~;~y_0)$ est solution de l'équation $\left (E_p\right )$.
%		
%%Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
%
%		\item % En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $\mathcal P$ à coordonnées entières.
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item On vient de voir que si $M_0$ de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ appartient au plan $\mathcal{P}$, alors $z_0$ est pair et égal à $2p$, et $\left (x_0~;~y_0\right )$ est solution de $\left (E_p\right )$. Donc $x_0=-p+4k$ et $y_0=p-3k$ d'après la question 1.
%
%%Comme $M_0\in\mathcal{P}$, $6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$	 donc $z_0=	6x_0 + 8y_0= 6(-p+4k) +8(p-3k) = 2p$.
%
%\item \textbf{\textcolor{blue}{Réciproquement}}, si un point $M_0$ a pour coordonnées $\left ( x_0~;~y_0~;~z_0\right )=\left ( -p+4k~;~p-3k~;~2p \right )$ on a:
%$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 6(-p+4k) +8(p-3k)+2p = -6p +24k +8p -24k +2p=0$ donc $M_0\in\mathcal{P}$.
%
%\end{list}		
%		
%L'ensemble des points du plan $\mathcal{P}$ à coordonnées entières est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme $\left ( -p+4k~;~p-3k~;~2p \right )$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.	
%		
%		
%	\end{enumerate}
%\item  À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées
%$\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec
%	
%\[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
%\begin{pmatrix}
%31&75&180\\
%56&41&- 144\\
%28&- 30&29 
%\end{pmatrix}
%\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
%
%	\begin{enumerate}
%		\item% Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
%$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
%\begin{pmatrix}
%31&75&180\\
%56&41&- 144\\
%28&- 30&29 
%\end{pmatrix}
%\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
%\\
%\iff
%\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
%\begin{pmatrix}
%31x + 75y + 180z\\
%56x +41y- 144z\\
%28x- 30y +29z 
%\end{pmatrix}$
%
%$\text{Donc }6x' + 8y' - z' \\
%= 6(31x + 75y + 180z) + 8(56x +41y- 144z) \\
%-(28x- 30y +29z )\\
%\text{Donc }6x' + 8y' - z'\\
%= 186x + 450y +\np{1080}z + 448x + 322y - \np{1152}z -28x + 30y - 29z\\
%\text{Donc }6x' + 8y' - z'= 606x + 808y - 101z \\
%= 101(6x+8y-z)$
%
%		\item Si le point $M$ est un point du plan $\mathcal P$, alors \\
%		$6x+8y-z=0$ donc $101(6x + 8y - z)$, et donc \\
%		$6x'+8y'-z'=0$ ce qui prouve que  le point $M'$ est aussi un point du plan $\mathcal P$.
%		
%		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathcal P$ passant par O.
%
%Le plan $\mathcal{P}$ d'équation $6x+8y-z=0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6~;~8~;~-1)$; ce vecteur est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
%De plus, la droite $\Delta$ passe par le point O donc elle a pour représentation paramétrique:
%$\left\lbrace
%\begin{array}{l !{=} r l}
%x & 6t &\\
%y & 8t & t\in\mathbb{R}\\
%z & -t & \\
%\end{array}
%\right.$
%
%On suppose que le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ donc il a ses coordonnées de la forme 
%$(6t~;~8t~;-t)$ où $t\in\mathbb{R}$.
%
%Le point $M'$ a pour coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ telles que
%$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
%\begin{pmatrix}
%31x + 75y + 180z\\
%56x +41y- 144z\\
%28x- 30y +29z 
%\end{pmatrix}$
%et donc:
%
%$\begin{cases}x'= 31\times 6t + 75\times 8t + 180\times (-t) =606t  =6\times 101t\\
%y'= 56\times 6t +41\times 8t- 144\times (-t)=808t =8\times 101t\\
%z'= 28\times 6t- 30\times 8t +29 \times (-t)=  -101t  =-1\times 101t
%\end{cases}$
%
%Les coordonnées de $M'$ sont donc de la forme $(6t'~;~8t'~;~-t')$ où $t'\in\mathbb{R}$ donc le point $M'$ appartient à la droite $\Delta$.
%
%
%%Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
%
%	\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}\label{spe2}
%\medskip
%
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Centres étrangers juin 2001

\medskip

\noindent Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition.

\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
	\psset{unit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(7,8.5)
	\psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) 
	\psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche
	\psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2)
	(0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2)
	(3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2)
	\psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2)
	(4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intÃ©rieur gauche
	\psline(4.2,4.2)(4.2,7.2)
	\psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2)
	(2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas
	\psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2)
	(2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut
	\psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit
	\psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180}
	\psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180}
	\psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9}
	{-180}{0}
	\rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} 
	\rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} 
	\end{pspicture}
\end{center}


\noindent Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le
parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses
suivantes :\\

\begin{itemize}
	\item[$\bullet~$] Le visiteur passe \emph{au hasard} d'une salle à une salle voisine.
	\item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer.
	
	Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre
	premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un
	trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre
	lettres, commençant par la lettre E. Par exemple :
	
	\item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on 
	codera son trajet par le mot EBDF.
	\item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses 
	choisies.\\
\end{itemize}

\begin{enumerate} 
\item %On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes. 
	\begin{enumerate} 
		\item ~%Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{E}}
{\pstree{\TR{A}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree{\TR{$D$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
		{
		\TR{F}\naput{$\frac{1}{2}$}
		\TR{B}\nbput{$\frac{1}{2}$}
		}
	\pstree{\TR{G}\naput{$\frac{1}{3}$}}
		{\TR{F}\naput{1}
		}
	\pstree{\TR{T}\nbput{$\frac{1}{3}$}}
		{\TR{C}\naput{$1$}
		}
	}				
\pstree{\TR{B}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree{\TR{D}\naput{$1$}}
		{\TR{F}\naput{$\frac{1}{2}$}
		\TR{A}\nbput{$\frac{1}{2}$}
		}
	}
\pstree{\TR{C}\nbput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree{\TR{T}\naput{$1$}}
		{\Tr{A}\naput{1}
		}
	}
}
\end{center}
		\item %Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est $\dfrac{1}{6}$.
On a $p(\text{EBDF}) = p(\text{B}) \times p_{\text{B}}(\text{D}) \times p_{\text{D}}(\text{F}) = \dfrac{1}{3} \times 1 \times \dfrac{1}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{6}}}$.
		\item %Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg.
On a $p(\text{EADF}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{18}}}$.
		
On a $p(\text{EAGF}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times 1 =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{9}}}$.

Donc la probabilité que  la quatrième salle du trajet soit F est égale à :

$p_1 = p(\text{EADF}) + p(\text{EBDF}) + p(\text{EAGF}) = \dfrac{1}{18} +  \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1 +3 + 2 }{18} = \dfrac{6}{18} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.
		\item %Pour des raisons techniques, le directeur installe les {\oe}uvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T \fg.
		$p_2 = p(\text{EATC}) + p(\text{ECTA}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{3} \times 1 \times 1 =\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}\\
		=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{4}{9}}}$. 
	\end{enumerate} 
\item %Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes.
%On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement (X = 1).
On répète 10 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de succès \og le trajet du visiteur passe par la salle T\fg, de probabilité $\dfrac{4}{9}$. Comme la variable aléatoire X compte le nombre de succès au cours de ces 10 répétitions, X suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{4}{9}$.

On a donc $p(\text{X} = 1) = \begin{pmatrix} 10 \\ 1\end{pmatrix} \times \dfrac{4}{9} \times \left(1 - \dfrac{4}{9} \right)^{10-1} \\
= 10 \times \dfrac{4}{9} \times \left(\dfrac{5}{9}\right)^9 \approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0,002241}}}$.
		
\item %Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)
%On a $p(\text{X} = 0)  + p(\text{X}= 1) = \left(\dfrac{5}{9}\right)^{10} + 10 \times\dfrac{4}{9} \times\left(\dfrac{5}{9}\right)^9 \approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0,025207}}}$.

$p(\text{X} \geqslant 2) = 1 - p(\text{X} < 2) = 1 - p(\text{X} \leqslant 1) \approx\np{0,9748} \boxed{\textcolor{red}{\approx 0,975}}$ au millième près.
		\item %Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T.\\
%Prouver qu'il a tort.
Dans ces nouvelles conditions, on obtient l'arbre suivant :

\begin{center}
	\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{E}}
	{\pstree{\TR{A}\naput{$1$}}
		{\pstree{\TR{$D$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
			{
				\TR{F}\naput{$\frac{1}{2}$}
				\TR{B}\nbput{$\frac{1}{2}$}
			}
			\pstree{\TR{G}\naput{$\frac{1}{3}$}}
			{\TR{F}\naput{1}
			}
			\pstree{\TR{T}\nbput{$\frac{1}{3}$}}
			{\TR{C}\naput{$1$}
			}
		}				
	}
\end{center}

La probabilité de passer par la salle T est \\
$p(EATC)=1 \times \dfrac{1}{3} \times 1 = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\
La variable aléatoire X suit donc désormais une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{3}$.

On a alors $p(\text{X} \geqslant 2) = 1 - p(X \leqslant 1) \approx \np{0,8959} \boxed{\textcolor{red}{\approx 0,896}}$.\\
La probabilité est plus faible : le directeur a donc tort.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Hyperbole Nathan programme 2002 page 190 exo 66

\noindent Sur une droite graduée de repère $(O~;~I)$, $M_0$ et $M_1$ sont les points d'abscisses 0 et 1.\\
On définit une suite de points $M_n$ de la façon suivante : \\
pour tout entier naturel $n$, $M_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[M_nM_{n+1}\right]$.

\begin{enumerate}
	\item On obtient les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ et $M_5$ :
	
%	$$\begin{tikzpicture}[scale=10]
%	%\draw[thin, style=gray!60,xstep=1,ystep=1] (-5,-5)grid(5,5);
%	\draw[line width=1.5pt,->] (-0.1,0)--(1.1,0);
%	%\draw[line width=1.5pt,->] (0,-5)--(0,5);
%	\foreach \x in {0,1}
%	{
%		\draw [line width=1pt](\x,-0.02)--(\x,0.02);
%		\draw (\x,0) node[below left] {$\x$};	
%	}
%	%	
%	%	\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
%	%	{
%	%		\draw [line width=1pt](-0.1,\y)--(0.1,\y);
%	%		\draw (0,\y) node[left]{$\y$};
%	%	}
%	\end{tikzpicture}$$
\psset{xunit=6.5,yunit=0.5}
$$\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,0.2)
\psline(-0.1,0)(1,0)
\psline(0,-0.2)(0,0.2)
\psline(1,-0.2)(1,0.2)
\psline(0.5,-0.2)(0.5,0.2)
\uput[d](0,0){$M_0$}
\uput[d](1,0){$M_1$}
\uput[d](0.5,0){$M_2$}
\psline(0.75,-0.2)(0.75,0.2)
\uput[d](0.75,0){$M_3$}
\psline(0.625,-0.2)(0.625,0.2)
\uput[d](0.625,0){$M_4$}
\psline(0.6875,-0.2)(0.6875,0.2)
\uput[d](0.6875,0){$M_5$}
\end{pspicture}$$
	
	\item Pour tout entier naturel $n$, $x_n$ désigne l'abscisse du point $M_n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : 
%		$$x_{n+2}=\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n$$
Par définition, $M_{n+2}$ est le milieu de $\left[M_nM_{n+1}\right]$ donc :
$$x_{n+2}=\dfrac{x_n+x_{n+1}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n}}$$

\item %Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : 
%		$$x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_n\right).$$
$\forall n\in\mathbb{N}$, 
\begin{align*}
x_{n+2}-x_{n+1} & =\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n-x_{n +1}\\
				& =-\dfrac{1}{2}x_{n+1} + \dfrac{1}{2}x_n \\
				& =\boxed{\textcolor{red}{ -\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_n\right)}}
\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	
	\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ par :
	$$v_n=x_{n+1}-x_n$$
	\begin{enumerate}
		\item %Déduire de la question précédente la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
D'après la question précédente, 
$$v_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}= -\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_n\right) = -\dfrac{1}{2}v_n$$
donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$.
		
		\item %Calculer $v_0$. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		$v_0=x_1-x_0=1-0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0 \times q^n$ donc :
		$$\boxed{\textcolor{red}{v_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}}$$
		
	\end{enumerate}
	
	\item $\left(w_n\right)$ est la suite définie pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ par : 
	$$w_n=x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n$$
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $w_{n+1}=x_{n+2}+\dfrac{1}{2}x_{n+1}$\\
		$=\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n+\dfrac{1}{2}x_{n+1}=x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n=w_n$
		donc la suite $(w_n)$ est constante.
		
		\item %En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
		La suite $(w_n)$ est constante et $w_0=x_1+\dfrac{1}{2}x_0=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{w_n=1}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item %Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_n-v_n=\dfrac{3}{2}x_n$.\\
%	En déduire que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $x_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_n-v_n=\left(x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n\right)-\left(x_{n+1}-x_n\right)=x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n-x_{n+1}+x_n=\dfrac{1}{2}x_n+x_n=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}x_n}}$.

	\item %En déduire que la suite $\left(x_n\right)$ est convergente.\\
	On en déduit que $x_n=\dfrac{2}{3}\left(w_n-v_n\right)=\dfrac{2}{3}\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$.\\
	Or $-1<-\dfrac{1}{2}<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0$. Donc, par somme et produit, $\boxed{\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=\dfrac{2}{3}}}$.\\
	%Que peut-on en déduire pour la suite de points $\left(M_n\right)$ ?
	On en déduit que la suite $\left(M_n\right)$ converge vers le point $P$ d'abscisses $\dfrac{2}{3}$.
	
	%\item \textcolor{red}{rajouter un algorithme} Par exemple un algorithme de seuil, pour calculer le premier rang à partir duquel $\left|x_n-\dfrac{2}{3}\right|<0,01$
\end{enumerate}



\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  

