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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Corrigé du bac blanc (mars 2011)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1} : \fbox{\textcolor{red}{Vraie}}

\textbf{\textcolor{blue}{Première méthode :}}\\
Quel que soit $n \in \mathbb{N},~\dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n + 2}$, donc $t_{n+1} = t_{n} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n + 2}$.

En écrivant cette égalité pour $n = 0,~1,~n$, on obtient :

$t_{1} = 0 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}$

$t_{2} = t_{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$

\ldots = \ldots \ldots

$t_{n} = t_{n-1} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$, soit par somme membres à membres  et simplifications :

$t_{n} = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n + 1 - 1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième méthode :}} démonstration par récurrence.\\
Soit $\mathscr{P}_{n}$ la  proposition ;  $t_{n}=\dfrac{n}{n+1}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation :}} $t_{0}=0=\dfrac{0}{0+1}$ donc $\mathscr{P}_{0}$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité :}} On suppose $\mathscr{P}_{n}$ vraie à un rang $n$ quelconque, donc $t_{n}=\dfrac{n}{n+1}$.\\
Alors : $t_{n+1}=t_{n}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\
=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\\
=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+1}{n+2}$ donc $\mathscr{P}_{n+1}$ est vraie.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ : $\forall n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{t_{n}=\dfrac{n}{n+1}}}$.

\item \textbf{Proposition 2} : \fbox{\textcolor{red}{Vraie}}

Les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes : elles convergent et ont la même limite $\ell$.

Comme $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$, d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, la suite $\left(w_{n}\right)$  converge vers la même limite $\ell$.

\item  \textbf{Proposition 3} :\fbox{\textcolor{red}{Fausse}}\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[\ln\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\right]=\lim_{X\rightarrow 0}\left(\ln(X)\right)=-\infty$ donc la suite \textbf{\textcolor{red}{diverge}}. 
\end{enumerate} 

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie 1}}
\begin{enumerate}
\item 
On a $g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$, donc par produit des limites : $\boxed{\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty}}$.
\item 
La fonction $g$ est somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$, donc est dérivable  sur $[0~;~+\infty[$ :

$g'(x) =\mathrm{e}^{x}(1-x)-\mathrm{e}^{x}= - x\text{e}^x$. $\textcolor{blue}{}\textcolor{red}{g'(x)=-x\mathrm{e}^{x}}$.

Comme $\text{e}^x > 0$ et $x > 0$, on a $g'(x) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

$g$ est donc \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $[0~;~+\infty[$, et prend ses valeurs dans $]-\infty~;~2]$.

\item Tableau de variations de $g$ :

 \begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\pI\\
\filet
g'(x)&&&\\
\filet
\m{g(x)}&\h{2}&\d&\mI\\
\end{variations}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
Sur $[0~;~+\infty[$, $g$  continue comme produit et composée de fonctions continues et décroissante, $g(0) > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, il existe donc un réel unique appartenant à $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$.
		\item 
La calculatrice donne :

$\bullet~~$ $g(1) = 1$ et $g(2) \approx -6,4$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$\bullet~~$ $g(1,2) \approx  0,3$ et $g(1,3) \approx -0,1$, donc \\
$1,2 < \alpha < 1,3$ ;

$\bullet~~$ $g(1,27) \approx 0,04$ et $g(1,28) \approx -0,007$, donc $\boxed{\textcolor{red}{1,27 < \alpha < 1,28}}$. 
		\item 
		On a $g(\alpha) = 0 \iff \text{e}^{\alpha} (1-\alpha) + 1 = 0\\
		 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) = - 1 \iff \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}}}$.
	\end{enumerate} 
\item 
On en déduit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $g(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;

\item $g(\alpha) = 0$ ;

\item $g(x) < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie 2}}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
\item 
La fonction $A$ quotient de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ (le dénominateur ne s'annulant pas)  est dérivable et sur cet intervalle :

$A'(x) = \dfrac{4\left(\text{e}^x + 1 \right) - 4x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{4\left(\text{e}^x - x\text{e}^x + 1 \right)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} \\
= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4g(x)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}}}$.

Comme  $\left(\text{e}^x + 1 \right)^2 > 0$ quel que soit $x$, le signe de $A'(x)$ est celui de $g(x)$.

D'après la précédente question on a donc :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;

\item $A'(\alpha) = 0$ ;

\item $A' < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. 

\end{enumerate}

\item 
$A$ est donc croissante sur $[0~;~\alpha[$  et décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$, $A(\alpha)$ étant le maximum de la fonction.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie 3}}

\medskip
 
 
\begin{enumerate}
\item 
On sait que $x \geqslant 0$, donc l'aire du rectangle O$PMQ$ est égale à $\boxed{\textcolor{red}{x \times f(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1} = A(x)}}$.

Or on a vu  que la fonction présente un maximum pour $x  = \alpha$.


\item
Le coefficient directeur de la droite ($PQ$) est égal à $-\dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = -\dfrac{\frac{4}{\text{e}^{\alpha} + 1}}{\alpha} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)}$.

Or on a vu que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, donc le coefficient directeur est égal à :

$-\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\frac{1}{\alpha - 1}+ 1\right)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha(1 + \alpha - 1)} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}}}$.

La tangente en $M(\alpha~;~f(\alpha))$ a pour coefficient directeur $f'(\alpha)$.

Or $f'(x) = - \dfrac{4\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$, donc 

$f'(\alpha) = - \dfrac{4\text{e}^{\alpha}}{\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)^2} = -\dfrac{\frac{4}{\alpha - 1}}{\left(\frac{1}{\alpha - 1} + 1 \right)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{(1 + \alpha - 1)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}.$

Les coefficients directeurs sont égaux : \textbf{\textcolor{red}{les droites sont parallèles}}.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[1~;~+\infty[$ par \\
$\varphi(x)=1+x^2-2x^2\ln x$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ es dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme produit et somme de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in[1~;~+\infty[$, $\varphi(x)=1+x^2-2\times x^2\ln x$ donc $\varphi'(x)=2x-2\times \left(2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x}\right)\\
=2x-2\left(2x\ln x+x\right)=-4x\ln x$.\\
Sur $[1~;~+\infty[$, $x>0$ et $\ln x\geqslant 0$ donc $\varphi'(x)\leqslant 0$.\\
On en déduit que $\varphi$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $[1~;~+\infty[$.

\item $\varphi(\mathrm{e})=1+\mathrm{e}^2-2\mathrm{e}^2\ln\mathrm{e}=1+\mathrm{e}^2-2\mathrm{e}^2=1-\mathrm{e}^2<0$.\\
Sur $[1~;~+\infty[$, $\varphi$ est continue, $\varphi(1)=2>0$ et $\varphi(\mathrm{e})<0$ ; d'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $\varphi(x)=0$ admet (au moins) une solution sur cet intervalle. Comme $\varphi$ est strictement décroissante, cette solution est unique. Notons-la $\alpha$.\\
À la calculatrice, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{1,8<\alpha<1,9}}$.

\item On en déduit le signe de $\varphi$ sur $[1~;~+\infty[$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\alpha&&\pI\\
\filet
\varphi(x)&&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x^2}.\]
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables et, pour tout $x\in [1~;~+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{\frac1x\times (1+x^2)-2x\times \ln x}{\left(1+x^2\right)^2}\\
=\dfrac{\frac1x\left(1+x^2\right)-2x\ln x}{\left(1+x^2\right)^2}=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln x}{x\left(1+x^2\right)^2}\\
=\dfrac{\varphi(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$. \hspace{1cm}
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{\varphi(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}}}$.

\item Sur $[1~;~+\infty[$, $x>0$ et $1+x^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $\varphi(x)$, donc $f'(x)\leqslant 0$ sur $[1~;~\alpha]$ et $f'(x)\leqslant 0$ sur $[\alpha~;~+\infty[$.\\
Par conséquent : $f$ est croissante sur $[1~;~\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha~;~+\infty[$.

\item $\forall x\in[1~;~+\infty[$, $x^2<1+x^2$ donc $\dfrac{1}{x+x^2}<\dfrac{1}{x^2}$ d'où, en multipliant par $\ln x\geqslant 0$  : $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant \dfrac{\ln x}{1+x^2}\leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}}}$.

\item D'après le cours (croissances comparées), $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$.\\
Alors, d'après le théorème des gendarmes, on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (non spécialité)}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$z_{\text{A}}=-2\mathrm{i}$ ; $z_{\text{B}}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ; $z_{\text{C}}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $z_{\text{A}}=-2\mathrm{i}=2\times (-\mathrm{i})=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi2}}}$.\\
$\left|z_{\text{B}}\right|=|-\sqrt{3}+\mathrm{i}|=2$ : alors $z_{B}=2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}6}}}$.\\
B et C sont symétriques par rapport à l'axe $(O\overrightarrow{v})$ donc : $z_{\text{C}}=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}}}$.

\item On en déduit : $\left|z_{\text{A}}\right|=\left|z_{\text{B}}\right|=\left|z_{\text{C}}\right|=2$, c'est-à-dire $OA=OB=OC$.\\
Le cercle $\Gamma$ passant par A, B et C (circonscrit au triangle ABC) est donc le cercle de centre O et de rayon 2.

\item Pour placer les points, on trace le cercle $\Gamma$.\\
A est facile à placer.\\
C a pour ordonnée 1, de même que B. Ils sont donc situés à l'intersection de la droite d'équation $y=1$ et du cercle $\Gamma$.
B est symétrique de C par rapport à l'axe des imaginaires purs.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Figure à la fin de l'exercice}}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}=\dfrac{-\sqrt{3}+\mathrm{i}-(-2\mathrm{i})}{\sqrt{3}+\mathrm{i}-(-2\mathrm{i})}=\dfrac{-\sqrt{3}+3\mathrm{i}}{\sqrt{3}+3\mathrm{i}}=\dfrac{(-\sqrt{3}+3\mathrm{i})(\sqrt{3}-3\mathrm{i})}{\sqrt{3}^2+3^2}=\dfrac{-(\sqrt{3}-3\mathrm{i})^2}{12}=\dfrac{6+6\sqrt{3}\mathrm{i}}{12}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$.

\item $\left|\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}\right|=\dfrac{AB}{AC}=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right|=1$ donc $AB=AC$  ; le triangle ABC est donc isocèle en A.\\
$\arg\left(\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}\right)=\left(\overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AB}\right)=\arg\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\dfrac{\pi}{3}$.\\
Comme ABC est isocèle en A avec un angle en A de $\dfrac{\pi}{3}$, \textbf{le triangle ABC est équilatéral}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $r$ a pour écriture complexe : $z'-z_{A}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}(z-z_{A})$ donc $z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}(z+2\mathrm{i})-2\mathrm{i}=\left(\dfrac{1}2{+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)(z+2\mathrm{i})-2\mathrm{i}$.\\
On en déduit : $z_{O'}=2\mathrm{i}\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-2\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{-\sqrt{3}-\mathrm{i}}}$.

\item $z_{O'}=-z_{C}$ donc C et O' sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$ (puisqu'ils sont symétriques par rapport à O).

\item Une rotation est une isométrie donc conserve les longueurs. L'image de $\Gamma$ est un cercle de rayon 2, et de centre l'image de $O$, donc $O'$. (voir figure).

\item A est le centre de la rotation $r$ donc A est invariant par $r$. A appartient au cercle $\Gamma$, donc son image $r(\text{A})=\text{A}$ appartient à l'image de $\Gamma$ par $r$, $\Gamma '$.\\
A appartient donc à $\Gamma$ et à $\Gamma '$.\\
De même, C appartient à $\Gamma$ ; son image par $r$, B, appartient donc à $r(\Gamma)=\Gamma '$ ; or B appartient aussi à $\Gamma$, donc B appartient à $\Gamma '$.\\
A et B appartiennent à $\Gamma$ et $\Gamma '$, donc les deux cercles se coupent en A et en B.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point d'affixe $z$. $|z|=|z+\sqrt{3}+\mathrm{i}|\Leftrightarrow |z-0|=|z-(-\sqrt{3}-\mathrm{i})|\Leftrightarrow \text{O}M=\text{O'}M$.\\
L'ensemble (E) est donc la médiatrice du segment [OO'].

\item OA = 2 et C'A = 2 (rayons des deux cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$), donc A est équidistant de O et de C' : A appartient à (E).\\
De même, OB = 2 et C'B = 2 (rayons des deux cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$), donc B appartient ausi à (E).\\
\fbox{\textcolor{red}{(E) est donc la droite (AB)}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3.5)(2.5,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3.5)(2.5,2.5)
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
%\pscircle(0,0){1.3}
\pscircle(0,0){2.6}
%\psline[linestyle=dashed](-0.867,0.5)(0.867,0.5)
%\psplot{0}{2.5}{(-0--0.5*x)/0.87}
%\psplot{-3}{0}{(-0--0.5*x)/-0.87}
%\uput[r](0,0.5){0,5}
\pscircle(-1.73,-1){2.6}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\psdots[linecolor=blue](0,-2)
\rput[bl](0.04,-1.95){\blue{A}}
%\psdots[linecolor=darkgray](-0.87,0.5)
%\psdots[linecolor=darkgray](0.87,0.5)
\psdots[linecolor=darkgray](1.73,1)
\rput[bl](1.76,1.05){\darkgray{C}}
\rput[bl](-1.76,1.05){\darkgray{B}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[u](-3.45,0.38){$\Gamma$'}
\psdots[linecolor=darkgray](-1.73,1)
\psdots[linecolor=darkgray](-1.73,-1)
\rput[bl](-1.7,-0.95){\darkgray{O'}}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,-2)(1.732,1)(-1.732,1)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](1.73,1)(-1.73,-1)
\uput[ur](0,2){$\Gamma$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (spécialité)}}
Soit $A$  l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation 
\[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. 
		$(-2 ; 1)$ est une solution de $(E)$ car \\
		$-2 \times 23 + 1 \times 47 = 1$.
	\item %Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. 
	$(x~;~ y)$ solution de $(E) \Rightarrow 23x + 47y = 1$
	
	$\left\{\begin{array}{l c l} 	23x + 47y& =&1\\
-2 \times 23 + 1 \times 47&=& 1\\ \end{array} \right.\\
\stackrel{\text{par soustraction}}{\Rightarrow} 23(x+2) + 47(y-1) = 0 \Rightarrow 23(x+2) \\
= 47( 1-y)$
		
	Donc $23$ divise $47(1-y)$, mais $47$ et $23$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, $23$ divise $1-y$ donc $y = 1 - 23k$ avec $k\in\mathbb{Z}$
	
	En rempla\c cant $1-y$ par $23k$, on a aussi :  \\
	$23(x+2) = 47 \times 23k \Longleftrightarrow x = 47k - 2$
	
	L'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des couples $(47k-2 ; 1 - 23k)$ où $k \in \mathbb{Z}$. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(47k-2 ; 1 - 23k),~k\in\mathbb{Z}\}}}$
	
	
	\item %En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$.
	
	 $23x \equiv  1\quad  (47) \Leftrightarrow $ il existe $y \in \mathbb{Z}$, $23x = 1 - 47y \Leftrightarrow $ il existe $k \in \mathbb{Z}$, $x=47k-2$ et $y=1-23k$
	 
	 De plus $x \in A \Leftrightarrow 1 \leqslant 47k-2 \leq 46 \Leftrightarrow 3 \leqslant 47k \leqslant 48$.
	 
	 Or un seul multiple de 47 se trouve dans cet encadrement, c'est 47. Donc $k=1$ et $x=45$.
	 
	 Le seul entier  $x$ appartenant à $A$ tel que \\
	 $23x \equiv  1\quad  (47)$ est $\boxed{\textcolor{red}{45}}$.
	\end{enumerate} 
\item  Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si $ab \equiv 0 \quad  (47)$ alors $a \equiv 0 \quad  (47)$) ou $b \equiv 0 \quad (47)$.
	$ab \equiv 0 \quad  (47)	 \Leftrightarrow 47$ divise $ab$.
	
	Or 47 est un nombre premier, il apparait donc au moins dans l'une des deux décompositions de a ou de b. D'où le résultat. (on peut aussi utiliser le théorème de Gauss).
	
	\item %En déduire que si $a^2 \equiv  1 \quad  (47)$ alors $a \equiv  1 \quad  (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad  (47)$.
	$a^2 \equiv  1 \quad  (47) \Leftrightarrow a^2 - 1\equiv  0 \quad  (47) \\
	\Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) \equiv  0 \quad  (47)  \stackrel{\text{2a}}{\Rightarrow} a-1 \equiv 0 \quad  (47)$ \\
	ou $a + 1 \equiv 0 \quad  (47) \cdots$
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.
Tout entier $p$ de $A$ est premier avec 47, donc le théorème de Bezout assure l'existence de $(q,~s)$ entiers relatifs tels que $qp + 47s = 1$.

On a alors $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.

%Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté $inv(p)$, appartenant à $A$ tel que 

%$p \times inv(p) \equiv  1 \quad  (47)$. 

%Par exemple : 

%$inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad  (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv  1 \quad  (47),$

%$ inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv  1 \quad  (47)$. 
	\item %Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ?
$p =$ \emph{inv}$(p) \Leftrightarrow p^2 \equiv 1 \quad (47) \stackrel{\text{2b}}{\Rightarrow} p \equiv -1 \quad  (47)$ ou $p \equiv 1 \quad  (47) \stackrel{p \in A}{\Rightarrow} p = 46 \text{ ou } p = 1$	

Réciproquement 1 et 46 conviennent bien.
	\item %Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. 
	Pour tout entier p de A compris entre 2 et 45, il existe (d'après 3a) un entier de A \textbf{distinct} (d'après 3b) \emph{inv}$(p)$ tel que $p \times$ \emph{inv}$(p) \equiv  1 \quad  (47)$, donc  $45 ! \equiv 1 \quad (47)$. On en déduit $46 ! \equiv 46 \quad (47)$ soit enfin $46 ! \equiv -1 \quad (47)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cet exercice est un cas particulier du théorème de Wilson :\\
\fbox{\textcolor{red}{Un entier $p$ est premier si, et seulement si, $(p-1)!\equiv -1 \mod p$
}}





\label{fin}
\end{document}  