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\textwidth 19cm \textheight 26.8cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc de mars 2012}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\pscircle(0,0){4}
\psline(0,0)(-1.25,1.57)
\psline(-1.25,1.57)(-1.98,-0.3)
\psline(0,0)(-1.98,-0.3)
\psline(1,1.73)(-1.25,1.57)
\psline(-1.98,-0.3)(1,-1.73)
\psline(-0.13,1.65)(-0.49,-1.01)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-0.13,1.65)(-0.49,-1.01)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,0)(-0.49,-1.01)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,0)(-0.13,1.65)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.04,0.06){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](2.04,0.06){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1,1.73)
\rput[bl](1.04,1.79){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1,-1.73)
\rput[bl](1.04,-1.67){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](-1.25,1.57)
\rput[bl](-1.21,1.62){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-1.98,-0.3)
\uput[l](-1.93,-0.3){\darkgray{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.13,1.65)
\rput[bl](-0.09,1.7){\darkgray{$F$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.49,-1.01)
\rput[bl](-0.45,-0.96){\darkgray{$G$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\alpha^{2}-4\alpha   =\left(  1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)  ^{2}-4\left(  1+\mathrm{i}\sqrt
{3}\right)  =1-3+2\mathrm{i}\sqrt{3}-4-4\mathrm{i}\sqrt{3}=-6-2\mathrm{i}\sqrt{3}$\\
$2\overline{\alpha}-8   =2\left(  1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)  -8=-6-2\mathrm{i}\sqrt{3}=\alpha^{2}-4\alpha$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\alpha^{2}-4\alpha=2\overline{\alpha}-8}}$

\item Le cercle $\mathscr{C}$ est l'ensemble des points $M$  tels que $OM=OA=2$ c'est-à-dire $\left\vert z-z_{0}\right\vert =OA=2OB=\left\vert z_{B}-z_{0}\right\vert \\
=\left\vert\alpha\right\vert =\sqrt{1^{2}+\left(  \sqrt{3}\right)  ^{2}}=2$, donc $\boxed{\textcolor{red}{B\in\mathscr{C}}}$.\\
De même : $OC=\left\vert z_{C}-z_{0}\right\vert =\left\vert\overline{\alpha}\right\vert =\left\vert \alpha\right\vert =2$, donc $\boxed{\textcolor{red}{C\in\mathscr{C}}}$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On trace le cercle de centre D et de rayon $2,$ il coupe le cercle C en deux points, E est le point tel que ODE est un triangle équilatéral direct.

\item La rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour écriture complexe $z'-z_{O}=e^{i\dfrac{\pi}{3}}\left(  z-z_{O}\right)  $ c'est-à-dire
\[\boxed{\textcolor{red}{z'=\mathrm{e}^{i\dfrac{\pi}{3}}z}}\]
et donc l'image de $D\left(  2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)  $ est E avec $z_{E}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}\times2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=2e^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}e^{\mathrm{i}\theta}$.\\
Or $\alpha
=1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2\left(  \dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right)  =2\left(  \dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)  =2e^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}$.
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{z_{E}=\alpha e^{i\theta}}}$


\item $z_{F}=\dfrac{z_{B}+z_{D}}{2}=\dfrac{\alpha+2e^{\mathrm{i}\theta}}{2}=\dfrac{\alpha}{2}+e^{\mathrm{i}\theta}$.

\item On aurait de même : $z_{G}=\dfrac{z_{C}+z_{E}}{2}=\dfrac{\alpha e^{\mathrm{i}\theta}+\overline{\alpha}}{2}$.\\
Alors : $\dfrac{z_{G}-2}{z_{F}-2}=\dfrac{\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\overline{\alpha}}{2}-2}{\dfrac{\alpha}{2}+e^{i\theta}-2}=\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\overline{\alpha}-4}{\alpha+2e^{i\theta}-4}=\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\left(\dfrac{\alpha^{2}-4\alpha}{2}\right)  }{\alpha+2e^{i\theta}-4}=\dfrac
{\dfrac{2\alpha e^{i\theta}+\alpha^{2}-4\alpha}{2}}{\alpha+2e^{i\theta}-4}\\
=\dfrac{1}{2}\dfrac{\alpha\left(  e^{i\theta}+\alpha-4\right)  }{\left(\alpha+2e^{i\theta}-4\right)  }=\dfrac{\alpha}{2}$, car d'après 1 a) :  $\overline{\alpha}-4=\dfrac{\alpha^{2}-4\alpha}{2}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{z_{G}-2}{z_{F}-2}=\dfrac{\alpha}{2}}}$

\item $\left|\dfrac{z_{G}-2}{z_{F}-2}\right|   =\left|\dfrac{z_{G}-z_{A}}{z_{F}-z_{A}}\right|=\dfrac{AG}{AF}=\left|\dfrac{\alpha}{2}\right|=\dfrac{\left|\alpha\right|}{2}=\dfrac{2}{2}=1$; donc $\boxed{\textcolor{red}{AG=AF}}$\\
$\left(\overrightarrow{AF}~;~\overrightarrow{AG}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{G}-2}{z_{F}-2}\right)=\arg\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\arg(\alpha)=\dfrac{\pi}{3}$ (car $\alpha=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}$).
Le triangle AFG a deux côtés de même longueur et un angle de $\dfrac{\pi}{3}$, donc il est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}.
\end{enumerate}

\item On a  : $AF^2=4-3\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta$.\\
Les variations de la fonction $f$ définie par \\
$f(x)=4-3\cos x+\sqrt{3}\sin x$ sur $[-\pi~;~\pi]$ sont : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-\pi&&-\dfrac{\pi}{6}&&\dfrac{5\pi}{6}&&\pi\\
\filet
\m{f}&\h{7}&\d&4-2\sqrt{3}&\c&\h{4+2\sqrt{3}}&\d&7\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
$AF^2$ est minimum, donc $AF$ aussi  pour $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ et la valeur minimum de $AF$ vaut  $\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}$. (car $4-2\sqrt{3}<7$)\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}}  : $4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2$, donc $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}-1}}$.

\subsection{}
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
%On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $\boxed{\textcolor{red}{g'(x) = \text{e}^x  - 1}}$.

$\text{e}^x  - 1 > 0 \iff \text{e}^x  > 1  \iff x > 0$. (par croissance de la fonction ln)

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $g'(x) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$, donc la fonction $g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle.
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.

La fonction étant croissante sur $[0~;~+ \infty[$, on a, quel que soit $x,\: g(x) \geqslant g(0)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{g(x) \geqslant 0}}$. 
\item %En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$.
On vient de démontrer que pour tout réel de l'intervalle $[0~;~+ \infty[,$

$g(x) \geqslant 0 \iff \text{e}^x - x - 1 > 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^x - x   > 1}}$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
%On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
%Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

%On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$.
On a $f(0) = \dfrac{1 - 1}{1} = 0$ et $f(1) = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e} - 1} = 1$.

Comme la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1], $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \iff \boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant f(x) \leqslant 1}}$.
\item %Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$.
$f(x) - x = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x} - x = \dfrac{\text{e}^x - 1 - x\text{e}^x + x^2}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x) + x^2 - 1}{\text{e}^x - x} =\dfrac{\text{e}^x(1 - x) + (x + 1)(x - 1)}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x) - (x + 1)(1 - x)}{\text{e}^x - x} \\
= \dfrac{(1 - x)\left(\text{e}^x - x - 1\right)}{\text{e}^x - x} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}}}$. 
		\item %Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
La position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1] est donnée par le signe de la différence précédente : $f(x) - x$.
Or on a vu sur [0~;~1], $g(x) \geqslant 0$ et $\text{e}^x - x \geqslant 1 > 0$. Comme de plus $1 - x > 0$, tous les termes du quotient sont positifs, donc $f(x) - x \geqslant 0$, ce qui signifie que \textbf{la courbe $\mathbf{(\mathcal{C})}$ est au dessus de la droite (D)}. 
	\end{enumerate} 
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item %Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1].
%En posant : $u(x) = \text{e}^x - x$, $u$ est dérivable sur [0~;~1] et $u'(x) = \text{e}^x - 1$, donc $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
%
%On reconnaît la dérivée de la fonction $\ln |u(x)|$, mais comme on a vu que $u(x) = \text{e}^x - x \geqslant 1 > 0, |u(x)| = u(x)$.
%
%Conclusion :une primitive sur [0~;~1] de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = \ln \left(\text{e}^x - x\right)$.  
%		\item %Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (CD) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
%On a vu que sur [0~;~1], $f(x) \geqslant 0$, donc l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (CD) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale àl'intégrale :
%
%$\displaystyle\int_{0}^1 [f(x) - x]\:\text{d}x \left[F(x) - \dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^1 = F(1) - \dfrac{1}{2} - F(0) =$
%
%$\ln \left(\text{e}^1 - 1\right) - \dfrac{1}{2} -  \left[\ln \left(\text{e}^0 - 0\right)\right] =\ln (\text{e} - 1) - \dfrac{1}{2}$.~(u. a.)
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie C}
\end{center}

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
%u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
%\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
Voir à la fin de l'exercice. 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\emph{Initialisation} : $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et comme $f$ est croissante 
sur [0~;~1] , $\:u_{1} = f(u_{0)} > u_{0}$.

On a donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1$.

\emph{Hérédité} :
Supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{p} \leqslant u_{p+1} \leqslant 1$.\\
Par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~1] : $f\left(\dfrac{1}{2} \right) \leqslant f\left(u_{p} \right) \leqslant f\left(u_{p+1} \right) \leqslant f(1) \iff u_{1} \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2}\leqslant 1$

 et comme $u_{1} > u_{0} = \dfrac{1}{2}$, on a $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2} \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2}\leqslant 1}}$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1}}$.
\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et elle est majorée par 1.

Elle converge donc vers un réel $\ell \leqslant 1$.

Or $f$ est continue, donc comme $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right),\:\ell = f(\ell)$ qui a pour solution dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ le nombre 1.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=7cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
\psline[linewidth=1.2pt](1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0)(0.5,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0.5647)(0.5647,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5647,0)(0.5647,0.63553)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5647,0.63553)(0.63553,0.63553)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0)(0.63553,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0.709)(0.7009,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0)(0.709,0.78)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0.78)(0.78,0.78)
\uput[d](0.5,0){$u_{0}$} \uput[d](0.5647,0){$u_{1}$} \uput[d](0.63553,0){$u_{2}$} \uput[d](0.709,0){$u_{3}$}  
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip

Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$.
La fonction $u$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel $x$ strictement positif, \\
$\textcolor{blue}{}\textcolor{red}{u'(x)=2x+\dfrac 1x}$. Pour tout réel $x$ strictement positif, $u'(x)>0$ comme somme de termes positifs (dont l'un est non nul), la fonction $u$ est donc \textbf{\textcolor{red}{strictement croissante}}.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2-2\right)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty}}$.

$\lim_{x\rightarrow 0}\left(x^2-2=-2\right)$ et $\lim_{x\rightarrow 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}u(x)=-\infty}}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$.

La fonction $u$ est continue sur $]0~;~+\infty[$, elle prend des valeurs positives (car  $\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty$) et des valeurs négatives (car $\lim_{x\rightarrow 0}u(x)=-\infty$). Selon le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction $u$ s'annule au moins une fois. Comme de plus, la fonction est strictement croissante, elle, ne s'annule qu'une seule fois. Donc l'équation $u(x) = 0$ \textbf{\textcolor{red}{admet une solution unique}} sur $]0~;~+\infty[$.
		
On note $\alpha$ cette solution.
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
À l'aide de la calculatrice on remarque que $u(1,56)<0< u(1,57)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{1,56 < \alpha < 1,57}}$
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Puisque $u$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$, pour tout $x \in ]0~;~\alpha[$, $u(x) < u(\alpha)$ donc $u(x) < 0$ et pour tout $x > \alpha $, $u(x) > u(\alpha)$ donc $u(x) >0$
\item %Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.

$u(\alpha)=0 \iff \alpha ^2 - 2 + \ln(\alpha)=0 \iff \boxed{\textcolor{red}{\ln(\alpha)=2-\alpha^2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par

\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[,~f'(x)$ en fonction de $u(x)$.
Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x)=2x+2\times(2-\ln x)\times \dfrac {-1}x = \dfrac 2x(x^2-2+\ln x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac 2x u(x)}}$
\item %En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$\dfrac 2x$ étant toujours positif sur $]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ est du signe de $u(x)$, donc est strictement négative sur $]0~;~\alpha[$, et strictement positive sur $]\alpha~;~+\infty[$ et s'annule en $\alpha$. la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ et atteint un minimum en $\alpha$.

$\lim_{x\rightarrow =\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(2-\ln x)^2=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

$\lim_{x\rightarrow 0}x^2=02$ et $\lim_{x\rightarrow 0} (2-\ln x)^2=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}u(x)=+\infty}}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ;
\item[$\bullet~$] A le point de coordonnées $(0~;~2)$ ;
\item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \sqrt{f(x)}$.
Le point A a pour coordonnées $(0~;~2)$ et le point M$(x~;~\ln x)$, donc \\
$AM=\sqrt{(x-0)^2+(\ln x-2)^2}=\sqrt{f(x)}$
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) =\boxed{\textcolor{red}{ \sqrt{f(x)}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$.
La fonction $\sqrt{}$ étant strictement croissante sur son ensemble de définition, et la fonction $f$ prenant des valeurs toujours positives, les fonctions $f$ et $g=\sqrt f$ ont \textbf{même sens de variation}.
		\item %Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées.
La fonction $g$ atteint donc son minimum en $\alpha$. La distance AM est donc minimale pour $x=\alpha$ soit au point P$(\alpha~;~\ln \alpha)$. Or $\ln \alpha = 2-\alpha^2$ donc $P$ a pour coordonnées $(\alpha~;~2-\alpha^2)$.
		\item %Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
AP $=\sqrt{(\alpha-0)^2+(2-\alpha^2-2)^2}= \sqrt{\alpha^2+\alpha^4}=\boxed{\textcolor{red}{\alpha\sqrt{1+\alpha^2}}}$ (car $\alpha > 0$).
	\end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ?
La tangente à $\Gamma$ en P a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{\alpha}$ et la droite AP a pour coefficient directeur $\dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\dfrac{2-\alpha^2-2}{\alpha -0} = -\alpha$. Le produit des deux coefficients directeurs donne $-1$, la tangente  $\Gamma$ en P et la droite (AP) sont \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}}.

\end{enumerate}

\end{multicols}

%\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{IV Exercice pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)}}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\
Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
\begin{alterqcm}[lq=8cm,sep,correction,long]

\AQquestion[br=5]{L'équation $\mathrm{e}^{x^2-\frac12}=\sqrt{\mathrm{e}}$ a pour solutions}{{\ 1},{\ $\dfrac{1}{2}$},{\ -1},{\ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ et }\dfrac{1}{\sqrt{2}}$},{\ -1 et 1}}

\AQquestion[br=2]{L'inéquation $\ln(x)-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)<0$ a pour solutions :}{{\ $\mathscr{S} = ]\mathrm{e}~;~+\infty[$},{\ $\mathscr{S}= ]0~;~1[$},{\ $\mathscr{S}=]-1~;~1[$},{\ $\mathscr{S} = ]-\mathrm{e}~;~- 1[\cup]1~;~\mathrm{e}[$}}

\AQquestion[br=3]{La fonction $f$ définie par $f(x) =\ln\left(x^2 + 5x +\dfrac{25}{4}\right)$ est définie sur :}{{\ $\mathbb{R}$},{\ $\mathbb{R}^+$},{\ $\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{5}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{5}{2}~;~+\infty\right[$},{\ $\mathbb{R}\setminus \{0\}$},{\ $]5~;~+\infty[$}}

\AQquestion[br=2]{Le signe de l'expression   $f(x) =\ln\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)$ est}{{\ toujours positif},{\ toujours négatif},{\ dépend du signe de $x$},{\ dépend  du signe de $x + 1$}}

\AQquestion[br=2]{La fonction g définie par $g(x) =\ln\left(\dfrac{3-2x}{3+2x}\right)$ est : }{{\ paire},{\ impaire},{ \ ni l'un ni l'autre}}

\AQquestion[br=3]{La suite définie par récurrence par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)~(n\geqslant 0)$ et $u_0 > 0$, avec $f(x) = x^2$, est :}{{\ \begin{minipage}{7cm}
toujours croissante quelle que soit la valeur strictement positive de $u_0$
\end{minipage}},{\ \begin{minipage}{7cm}
toujours décroissante quelle que soit la valeur strictement positive de $u_0$
\end{minipage}},{\ croissante si et seulement si $u_0 > 1$},{\ décroissante si et seulement si $u_0 > 1$}}
\end{alterqcm}
\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Explications :}}

\begin{enumerate}
\item $\mathrm{e}^{x^2-\frac12}=\sqrt{\mathrm{e}}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^2-\frac12}=\mathrm{e}^\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1$

\item On considère l'inéquation $\ln(x)-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)<0$ ; l'ensemble de définition est $]0~;~+\infty[$ car on doit avoir $x>0$ et $\dfrac{1}{x}>0$\\
Pour $x>0$, $\ln(x)-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)<0\Leftrightarrow \ln x<\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}<0\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x}<0\Leftrightarrow x^2-1<0\Leftrightarrow x\in]0~;~1[$ (car $x>0$)

\item $x^2+5x+\dfrac{25}{4}=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2\geqslant 0$ ; $\dfrac{5}{2}$ est donc à exclure.

\item $\forall x\in\mathbb{R}^*$, $0<\dfrac{x^2}{x^2+1}<1$ (car $x^2<x^2+1$), donc $\ln\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)<0$.

\item $\forall x\in\mathscr{D}_g$, $g(-x)=\ln\left(\dfrac{3+2x}{3-2x}\right)=\ln\left(\frac{1}{\frac{2+2x}{3-2x}}\right)=-\ln\left(\dfrac{3-2x}{3+2x}\right)=-g(x)$.

\item Par récurrence : si $u_0>1$, $u_1=u_0^2>u_0$ car $u_0^2-u_0=u_0\left(u_0-1\right)>0$ (initialisation) et $u_n<u_{n+1}\Rightarrow f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right)$ donc $u_{n+1}<u_{n+2}$ car $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice pour les spécialistes}}
%Soit $n$ un entier naturel non nul.
 
\begin{enumerate}
\item  %On considère l'équation notée $(E)$ : 
%\[3x + 7 y = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$.
$3\times (-2)+7\times 1=1$ donc le couple $(u~;~v)=(-2~;~1)$ est une solution particulière de l'équation $3x+7y=1$.\\
%En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~ y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$.
$3u+7v=1\Rightarrow 3\times \left(u\times 10^{2n}\right)+7\times \left(v\times 10^{2n}\right)=1\times 10^{2n}$ donc le couple $\boxed{\textcolor{red}{\left(x_0~;~y_0\right)=\left(10^{2n}u~;~10^{2n}v\right)}}$ est une solution particulière de (E).

\item %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions de $(E)$.
$(E)\Leftrightarrow 3x+7y=1\Leftrightarrow 3x+7y=3x-0+7y_0\Leftrightarrow 3\left(x-x_0\right)=7\left(y_0-y\right)$.\\
3 divise $3\left(x-x_0\right)$, donc 3 divise $7\left(y_0-y\right)$ donc $y_0-y=3k,\:k\in\mathbb{Z}$, d'où $y=y_0-3k$.\\
En remplaçant, on trouve $3\left(x-x_0\right)=7\times 3k$ d'où $x-x_0=7k$ donc $x=x_0+7k$.\\
L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(x_0+7k~;~y_0-3k\right),\:k\in\mathbb{Z}\right\}}}$.
\end{enumerate}

\item %On considère l'équation notée $(G)$  
%\[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$.
$100 = 7 \times 14 + 2 \iff 1\textcolor{blue}{}\textcolor{red}{00 \equiv 2 \mod{7}}$.
		 
%Démontrer que si $(x~; ~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$.
$(x~;~y)$ solution de  $(G)$ signifie  $3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n} \iff 3x^2 + 7 y^2 = \left(10^{2}\right)^n \iff 3x^2 + 7 y^2 = 100^n$.

Or $100 \equiv 2 \mod{7} \Rightarrow 100^n \equiv 2^n \mod{7}.$

Donc $3x^2 + 7 y^2 \equiv 2^n \mod{7}$.

Mais $7y^2 \equiv 0 \mod{7}$, donc finalement $\boxed{\textcolor{red}{3x^2 \equiv 2^n \mod{7}}}.$
		\item %Reproduire et compléter le tableau suivant :
\text{ } 		
		\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline%
Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&0&3&5&6&6&5&3 \\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
En calculant les premières puissances de 2 modulo 7, on observe un cycle d'ordre 3.\\
De trois choses l'une :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $n = 3p, p \in N$ ; alors $2^{3p} = \left(2^3 \right)^p = 8^p$. Or $8 \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow 8^p \equiv 1 \mod{7}$ ;
\item[$\bullet~$] $n = 3p+1$ ; alors $2^{3p+1} = 2^{3p}\times 2 = 8^p \times 2$. Or $8 \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow 8^p \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow 2^{3p}\times 2 \equiv 2 \mod{7}$ ; 
\item[$\bullet~$] $n = 3p+2$ ; alors $2^{3p+2} = 2^{3p}\times 2^2 = 4 \times 2^{3p} = 4 \times 8^p$. Comme $8^p \equiv 1 \mod{7}, 4\times 8^p \equiv 4 \mod{7}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
		 
%En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution.
On vient de voir que les restes dans la division par 7 de $2^n$ ne sont pas les mêmes que ceux de la division de $3x^2$ par 7. Donc $3x^2$ et $2^n$ ne peuvent être congrus modulo 7. D'après le 2. a. il n'y a donc \fbox{\textcolor{red}{pas de solution pour l'équation $(G)$}}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  