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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\fbox{\textcolor{red}{Correction du bac blanc}}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item  $\alpha$ est tel que $\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha(1 + \text{i})&=&1 + 3\text{i}\\
\text{i}\alpha^2&=&- 4 + 3\text{i}\\
\end{array}\right.$\\
La première égalité donne $\alpha = \dfrac{1 + 3\text{i}}{1 + \text{i}} = 2 + \text{i}$.\\
On a bien $\text{i}(2+\text{i})^2
 = \text{i}(4-1+4\text{i})= -4 + 3\text{i}$.
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - (1 + 3\text{i})z + (- 4 + 3\text{i})$.\\
Développons $(z- \alpha)(z- \text{i}\alpha) = z^2
- \text{i}\alpha z - \alpha z+\text{i}\alpha^2 = z^2
- \alpha z(1+\text{i})+\text{i}\alpha^2 =\\ z^2
- (1+3\text{i})z - 4+3\text{i}$.\\
Les solutions de l'équation $f(z) = 0$ sont donc $\alpha= 2+ \text{i}$ et $\text{i}\alpha = - 1 + 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\

\begin{enumerate}
\item $b = -1+2\text{i} = \text{i}^2
+2\text{i} = \text{i}(\text{i}+2) = \text{i}a$.
$a $ est l'affixe de A et $b$ celle de B. L'égalité $b =\mathrm{i}a$ donne en module OA = OB et en
argument $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ : le triangle OAB est donc rectangle isocèle en O.\\

\item Le point D est l'image de C dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On a donc $d = \text{i}c = \text{i}\left(-1+
\dfrac{1}{2}\text{i}\right) = - \dfrac{1}{2} - \text{i}$.
\\

\begin{center}
\emph{Le graphique n'est pas à l'échelle}\\
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv= 2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-2)(3,3)
\pspolygon[linecolor=blue](2,1)(-1,2)(-1,0.5)(-0.5,-1)%ABCD
\uput[ur](2,1){A} \uput[ul](-1,2){B} 
\uput[dr](-1,0.5){C} \uput[dr](-0.5,-1){D} 
\uput[l](-1,1.25){M} \uput[ur](0,0){O} 
\uput[dr](0.75,0){K} \uput[ur](0.5,1.5){L}
 \uput[dl](-0.75,-0.25){J}
\pspolygon(-1,1.25)(-0.75,-0.25)(0.75,0)(0.5,1.5)
\psline(2,1)(0,0)(-1,2) \psline(-1,1.25)(0,0)(-1,0.5)
\psline(0,0)(-0.5,-1)
\end{pspicture}

\end{center}

\item L'affixe de M est $- 1+\dfrac{5}{4}\text{i}$. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{DA}}$  est $\dfrac{5}{2} +2\text{i}$.\\
On a donc $\dfrac{z_{\overrightarrow{\text{OM}}}}{z_{\overrightarrow{\text{DA}}}} = \dfrac{- 1+\dfrac{5}{4}\text{i}}{\dfrac{5}{2} +2\text{i}} = \dfrac{- 4+5\text{i}}{10+8\text{i}}
 = \dfrac{\text{i}(4\text{i} + 5)}{2(4\text{i} + 5)} = \dfrac{1}{2}\text{i}
$. 
\item L'égalité précedente entraîne que $\left(\overrightarrow{\text{DA}},~\overrightarrow{\text{OM}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. 
\item En prenant les modules des membres de l'égalité trouvée au 3. on obtient
\\$\dfrac{\text{OM}}{\text{DA}} = \dfrac{1}{2} \iff \text{OM} = \dfrac{1}{2}\text{DA}$.
\item On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AC}}$  sont $\left(- 3 ~;~ - \dfrac{1}{2}\right)$, celles du vecteur  $\overrightarrow{\text{BD}}\left(\dfrac{1}{2}~;~- 3\right)$. On a $\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{BD}} = 0$.\\
Or dans (ABC), (LM) est parallèle à (AC) (droite des milieux) et dans (ABD) (LK) est parallèle à (BD).\\
\textbf{Conclusion :}  (LM) est perpendiculaire à (LK). Le parallélogramme (JKLM) ayant un angle droit est un rectangle.
D'autre part AC $= \sqrt{\frac{1}{4} + 9} = \dfrac{\sqrt{37}}{4}$
 et BD $= \sqrt{\frac{1}{4} + 9} = \dfrac{\sqrt{37}}{4}$.
Donc LM $= \dfrac{\text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{37}}{4}$
 et LK $=\dfrac{\sqrt{37}}{4}$.\\
(JKLM) est un rectangle dont deux côtés consécutifs ont la même longueur : c'est un carré.
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (pour les non spécialistes)}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 

\psset{unit=2cm}
\noindent \begin{pspicture}(-0.6667,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.6667,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{<->}(0,0)(1,0)(0,1)
\multido{\d=-0.6667+0.1111}{36}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\d,-0.2222)(\d,2.5555)}
\multido{\d=-0.2222+0.1111}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](-0.6667,\d)(3.222,\d)}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,0){A} 
\psplot{-0.5}{3.2}{x 3 div 23 27 div add}
\psplot[linecolor=green]{0}{3}{x}\rput{45}(2,2.05){$y = x$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.5185)(1.5185,1.5185)(1.5185,0)
\psline[linestyle=dashed](1.5185,1.358)(1.358,1.358)(1.358,0)
\psline[linestyle=dashed](1.358,1.3045)(1.3045,1.3045)(1.3045,0)
\uput[d](2,0){$u_{0}$} \uput[d](1.5185,0){$u_{1}$} \uput[d](1.358,0){$u_{2}$} \uput[d](1.3045,-0.1){$u_{3}$} 
\end{pspicture}

\medskip
		\item Par récurrence :\\
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_{0} = 2 = \dfrac{36}{18} \geqslant  \dfrac{23}{18}$.
\item \textbf{Hérédité} : supposons que $u_{n} \geqslant \dfrac{23}{18}$ ;\\
alors $\dfrac{1}{3}u_{n} \geqslant \dfrac{1}{3} \times \dfrac{23}{18}$ soit $\dfrac{1}{3}u_{n} \geqslant  \dfrac{23}{54}$.\\
Puis $\dfrac{1}{3}u_{n} + \dfrac{23}{27} \geqslant  \dfrac{23}{54} + \dfrac{23}{27} \iff u_{n+1} \geqslant \dfrac{3 \times 23}{3 \times 18} \iff u_{n+1} \geqslant \dfrac{23}{18}.$\\
On a donc bien démontré que pour tout naturel $n,~u_{n} \geqslant \dfrac{23}{18}$.
\end{itemize}
		\item Monotonie : 

On la démontre par récurrence :

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_{0} = 2$ et $u_{1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{23}{27} = \dfrac{41}{27} < \dfrac{54}{27} = u_{0}$. Donc $u_{0}> u_{1}$.
\item \textbf{Hérédité} :

Supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $u_{p-1} > u_{p}$. Par croissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$, on a $f\left(u_{p-1} \right) > f\left(u_{p} \right) \iff u_{p} > u_{p+1}$.
\end{itemize}
\textbf{Conclusion} :\\
on a démontré que pour tout $n \in \mathbb{N},~u_{n} > u_{n+1}$.

\item La suite $\left(u_{n} \right)$ est donc minorée et décroissante : elle est donc convergente vers un réel $\ell$ ;\\
$f$ est continue donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x+\dfrac{23}{27}=x\Leftrightarrow \dfrac{23}{27}=\dfrac{2}{3}x\Leftrightarrow x=\dfrac{23}{27}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{18}$.\\
\fbox{La limite de la suite est $\dfrac{23}{18}$}.
\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{10^k}$.
		
$S_{n}=\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+  \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}}$\\
$S_{n}$ est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, de raison $q=\dfrac{1}{10}$.\\
$S_{n}=\dfrac{1}{10^2}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10}\right)^n}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{1}{90}\left(1-\left(\dfrac{1}{10}\right)^n\right)\\
=\dfrac{1}{90}\left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)$.\\
(car la somme contient $n$ termes).

		\item On a :\\
		$v_{1} = 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{10^2}$\\
		$v_{2} = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} \right)$ et pour tout $n \in \mathbb{N},\\
		v_{n} =  1,2 + 7\left( \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots + \dfrac{1}{10^{2n+1}} \right) \\
= 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{10^n} = 0,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 1,2 + \dfrac{7}{90}\\
= \dfrac{12}{10} + \dfrac{7}{90} = \dfrac{115}{90} = \dfrac{23}{18}$. Cette limite est bien rationnelle.
	\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a vu que la suite $\left(u_{n} \right)$ est décroissante. 

\item De plus $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{7}{10^{n+2}} > 0$ : la suite $\left(v_{n} \right)$ est donc croissante.

\item Enfin ces deux suites ont la même limite $\dfrac{23}{18}$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_{n} - v_{n}\right) = 0$.
\end{enumerate}
\textbf{Conclusion :} ces deux suites sont adjacentes.
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (pour les spécialistes)}}
\begin{enumerate}
  \item
	   \begin{enumerate}
	  \item 
	  \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y$	&1	&4	&5	&2	&3	&6\\ \hline
\end{tabularx}

\item On vient de voir que $5\times3\equiv 1 \pmod 7$ donc $3x\equiv 5 \pmod7\Rightarrow 5\times3x\equiv 5\times5 \pmod7\Rightarrow x\equiv 25\pmod 7\equiv 4\pmod 7$ donc $3x\equiv 5\pmod 7\Rightarrow x\equiv 4\pmod 7$.\\
Réciproquement : $x\equiv 4\pmod 7\Rightarrow 3x\equiv 12\pmod 7\equiv 5\pmod 7$.\\
Par conséquent :  $3x\equiv 5 \pmod7\iff x\equiv 4\pmod7$.

	  \item L'équation $ax\equiv 0 \pmod 7$ équivaut à $7\mid ax$ mais, comme $7$ est premier avec $a$ puisque $1\leqslant a\leqslant 6$, d'après le théorème de Gauss,  on a : $7\mid x$.
	\end{enumerate}
  \item 
	 \begin{enumerate}
	  \item  Comme $a\times a^{p-2}=a^{p - 1}$ et que $a$ n'est pas divisible par $p$, d'après le petit théorème de Fermat on a $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$, donc $a^{p - 2}$ est solution de l'équation $ax\equiv 1 \pmod p$.
	  \item  On a $r\equiv a^{p - 2}\pmod p$ donc $r$ est bien solution de l'équation $ax\equiv 1 \pmod p$.
	  
	  Maintenant montrons l'unicité par l'absurde.
	  
	   On suppose que deux entiers $r_1$ et $r_2$ de A$_p$ sont solutions de l'équation.
	   
	    On a $ar_1\equiv ar_2\pmod p \Rightarrow a^{p-2}\times ar_1\equiv a^{p-2}\times ar_2\pmod p\Rightarrow r_1\equiv r_2\pmod p$.\\
	    Ainsi $r_1-r_2$ est un multiple de $p$.\\
	    Or : $0\leqslant r_{1}<p$ et $0\leqslant r_{2}<p$ d'om $-p<-r_{2}\leqslant 0$. Par somme : $-p<r_{1}-r_{2}<p$ donc $r_1-r_2$ est dans l'ensemble $\{- (p - 1)~;~- (p - 2)~;~\dots~;~p - 1\}$, et le seul multiple de $p$ dans cet ensemble est $0$  donc $r_1=r_2$, ce qui montre l'unicité.
	    
	  \item On suppose que $xy\equiv 0 \pmod p$ donc soit $p\mid x$ soit $p$ et $x$ sont premiers entre eux et d'après le théorème  de Gauss  on a :  $p\mid y$.\\
	  Réciproquement, si $p$ divise $x$ ou $y$, $p$ divise $xy$ donc $xy\equiv 0 \pmod p$.\\
	  L'équivalence est donc démontrée.
	  
	  \item On sait que le reste de la division de $2^{31-2}$ par 31 est l'unique   solution de  l'équation $2x\equiv 1\pmod{31}$, or $2^5\equiv 1\pmod{31}$ donc $2^{25} \equiv 1\pmod{31}$ ainsi 
	  $2^{29}\equiv 2^4\pmod{31}$, $2^4=16$ est l'unique solution de de  l'équation $2x\equiv 1\pmod{31}$ dans A$_{31}$.
	  
	  On sait que le reste de la division de $3^{31-2}$ par 31 est l'unique   solution de  l'équation $3x\equiv 1\pmod{31}$ donc il faut calculer le reste de $3^{29}\pmod 31$.\\
	  On a :\\
	  $3^2\equiv 9\pmod 31$.\\
	  $3^3\equiv 27\pmod 31$.\\
	 $3^4=\left(3^2\right)^2\pmod 31\equiv 81\pmod 31\equiv 19\pmod 31$.\\
	 $3^5=3^4\times 3\equiv 19\times 3\pmod 31\equiv 57\pmod 31\equiv 26\pmod 31\equiv -5\pmod 31$\\
	 $3^{10}=\left(3^5\right)^2\equiv (-5)^2\pmod 31\equiv 25\pmod 31\equiv -6\pmod 31$.\\
	 $3^{29}=3^{20+5+4}\equiv \left(3^{10}\right)^2\times 3^5\times 3^4\pmod 31\equiv (-6)^2\times (-5)\times 19-5\equiv 36\times (-5)\times 19\pmod 31\equiv 5\times (-5)\times 19\pmod 31\equiv -25\times 19\pmod 31\equiv 6\times 19\pmod 31\equiv 144\pmod 31\equiv 21\pmod 31 $.\\
	 La solution est donc 21.\\
	 
	  Pour la dernière équation, on  factorise :
	  
	   $6x^2 - 5x + 1 = (2x - 1)(3x - 1)$ ainsi 
	
	\begin{equation*}
%\label{ }
\begin{split}
 6x^2-5x+1\equiv 0 \pmod{31}\iff (2x - 1)(3x - 1)\equiv 0 \pmod{31}\\
 \iff(2x-1)\equiv 0 \pmod{31}  \ \text{ou}\ (3x - 1)\equiv 0 \pmod{31} 
\end{split}
\end{equation*}	 
	 On sait donc que les solutions de ces deux dernières équations sont  dans $\mathbb{Z}$  : $16 + 31k$ et $21 + 31k$ où $k\in\mathbb{Z}$ d'après les deux équations précédentes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
\begin{enumerate}
\item   (E$_{0}$) : $ y' + y = 1 \Longleftrightarrow y'=-y+1 \Longleftrightarrow y=C\mathrm{e}^{-x}+1$ où $ C $ est une constante réelle.
\item  $ f $ solution de (E) $ \Longleftrightarrow f\,'+(1+\tan x)f=\cos x $

Or $ f(x)=g(x)\cos x $. $f$ est dérivable sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ en tant que produit de fonctions dérivables 

et $ f\,'(x)=g\,'(x)\cos x-g(x)\sin x  $

Ainsi  $f$ solution de E \\
$ \Longleftrightarrow g\,'\cos x-g\sin x+ (1+\tan x)g \cos x = \cos x$

$ \Longleftrightarrow g\,'\cos x-g\sin x+ \left(1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)g \cos x = \cos x$

$ \Longleftrightarrow   g\,'\cos x- g\sin x + g \cos x + g\sin x = \cos x \\
\Longleftrightarrow (g\,'+ g)\cos x=\cos x$

$\Longleftrightarrow g\,'+ g=1 $ car $ \cos x \neq 0  $ pour $ x \in  \left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$

$ \Longleftrightarrow  g$ est solution de (E$_{0}$).

\item$ f $  est solution de (E) donc $g$ est solution de (E$ _0 $). Or les solutions de (E$ _0 $) sont les fonctions du type $ x\longmapsto  C\mathrm{e}^{-x}+1$ et ainsi, puisque $f = g\cos x $, $ f=\left( C\mathrm{e}^{-x}+1 \right)\cos x  $.

De plus, $ f(0)=0 \Longrightarrow \left( C\text{e}^0 + 1\right) \cos 0=0 \Longrightarrow C=-1 $

 $  f$ est donc la fonction définie sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par \[f(x)=\left( -\text{e}^{-x}+1\right)\cos x \]
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}\item Pour tout $x, ~f(x) = \cfrac{x}{\text{e}^x} = \cfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x}}$.
Or $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim \cfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ donc $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim \cfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x}} = 0$. \\
Donc $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim f(x) = 0.$

\item La fonction $f$ produit de deux fonctions d\'erivables est d\'erivable.\\
Pour tout $x,~f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.\\
Comme pour tout $x,~\text{e}^{-x} > 0$,  le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$. Soit sur $[0\ ,\ + \infty[$ :
$f'(x)\geqslant  0\  \mbox{sur}\  [0\ ,\ 1] ;\ f'(x)\leqslant  0 \ \mbox{sur}\  [1\ ,\ +\infty].$\\
Donc $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\ ,\ 1]$, décroissante sur l'intervalle $[1\ ,\ +\infty[.$\\
D'o\`u le tableau de variations de $f$:

\begin{center} 
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\filet
f'(x)&1&+&\z&-&\\
\filet
\m{f(x)}&0&\c&\h{\dfrac{1}{\mathrm{e}}}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}


\item Représentation graphique de $f$ (échelle non respectée):

\begin{center}\psset{unit=3.2cm}\begin{pspicture}(2.4,0.5)
\psaxes{->}(0,0)(2.4,0.5)
\psplot{0}{2.4}{x 2.71828 x exp div}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.36788)(0,0.36788)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.36788){$\text{e}^{-1}$}
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\item\begin{enumerate}

\item La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0\ ,\ 1]$ ; $f(0) = 0$ et $f(1) = \cfrac{1}{\text{e}}$ ; donc pour $m\in \left]0\ ,\ \cfrac{1}{\text{e}} \right[$ l'équation $f(x) = m$ admet une seule solution sur l'intervalle $\left]0\ ,\ 1 \right[$.\\
La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\ ,\ + \infty[$ ; $f(1) = \cfrac{1}{\text{e}}$ et $\underset{x\rightarrow + \infty} \lim f = 0$ ; donc pour $m\in \left]0\ ,\ \cfrac{1}{\text{e}} \right[$ l'équation $f(x) = m$ admet une seule solution sur $]1\ ,\ + \infty[$ (théorème des valeurs intermédiaires).\\
En résumé, pour tout $m$ de $\left]0\ ,\ \cfrac{1}{\text{e}} \right[$, l'équation \\
$f(x) = m$ admet deux solutions. \\
\textbf{Résultat attendu graphiquement} : les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\Gamma $ et de la droite d'équation $y = m$. Or si  $m \in \left]0\ ,\ \cfrac{1}{\text{e}} \right[$, cette droite coupe bien la courbe en deux points distincts.

\item Pour $m = \cfrac{1}{4}$, la solution $\alpha $ est celle qui appartient à l'intervalle $]0\ ,\ 1[$. On trouve facilement que $\alpha \approx 0,357$ soit $\alpha  \in ]0,35\ ,\ 0,36[$.

\item[\textbf{c.}] De façon immédiate, pour $m=0$ l'équation $f(x) = 0$ admet pour unique  solution $x = 0$, et pour $m = \cfrac{1}{\text{e}}$ cette équation admet pour unique solution $x = 1$.

\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\textbf{Partie B}\\                                             

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item Par hypothèse $u_0 >0$.\\
$p$ étant un entier naturel quelconque, si $u_p >0$ alors $u_{p+1}$, produit de $u_p$ par le réel strictement positif $\text{e}^{-p}$, est strictement positif.\\
En conclusion pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

\item[b.] Comme pour tout entier $n$, $u_n > 0$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.\\
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text{e}^{-u_n}$, $-u_n < 0$ donc $\text{e}^{-u_n} < 1$, soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.

\item[\textbf{c.}] Il résulte des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$, décroissante et minorée (par $0$), est convergente. Soit $\ell$ sa limite.\\
$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f$ fonction continue.\\
$\ell$ est donc solution de l'équation $\ell = \ell\text{e}^{- \ell}$, soit $\ell\left(1 - \text{e}^{-\ell}\right) = 0$. Les deux facteurs s'annulant pour la seule valeur $0$, on en déduit que $\ell = 0$.\\
En résumé $\underset{n\rightarrow + \infty} \lim u_n = 0$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item $w_n - w_{n+1} = \ln u_n - \ln u_{n+1} = \ln \dfrac{u_n}{u_{n+1}} = - \ln \text{e}^{-u_n} = \ln  \text{e}^{u_n} = u_n$.

\item Il résulte de \textbf{a.} que :\\
$S_n = w_0 - w_1 + w_1 - w_2 + \cdots + w_{n-1} - w_n + w_n - w_{n+1}$. Soit après simplification de proche en proche :\\
$S_n = w_0 - w_{n+1}$.
\item[\textbf{c.}] Sachant, d'après \textbf{B.1.c.}, que $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim u_n = 0$, on a donc $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim w_n = - \infty$, et par suite $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim S_n = + \infty$.
\end{enumerate}

\item Par définition $u_1 = u_0\text{e}^{-u_0}$ donc $u_1 \in \left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}}\right[$.\\ Or d'après \textbf{A. 2. a.}, on sait qu'il existe une deuxième valeur, $\beta $, telle que $\beta  \text{e}^{-\beta } = u_1$. On a donc $v_0 = \beta $ puis $v_1 = u_1$ et, plus généralement, pour tout $n \geqslant  1$, $u_n = v_n$.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  