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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille de révision}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
\begin{enumerate}
\item %On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.

%Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.

%Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle $OBJ$ rectangle en $O$ donne :
  
$BJ^2  = BO^2 + OJ^2 = 1^2  + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2  = \dfrac{5}{4} \Rightarrow BJ = \sqrt{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

$BK = BJ - KI = \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
L'affixe de $A_2$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{2\pi}{5} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{4\pi}{5}$. Donc $z_{A_2} = \text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}}$

		\item %Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
$BA_2\,^2 = \left|z_{A_2} - z_{B} \right|^2 
= \left|\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}} - (- 1) \right|^2 
= \left|\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}} + 1 \right|^2 
= \left|\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 + \text{i}\sin  \dfrac{4\pi}{5}\right|^2 \\
\phantom{BA_2\,^2} = \left(\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 \right)^2 + \sin ^2 \dfrac{4\pi}{5}
= \cos^2 \dfrac{4\pi}{5}  + 2\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 + \sin^2 \dfrac{4\pi}{5} 
= 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$
 
		\item %Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
%1&cos (4*pi/5)\\
%&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
%&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%\end{tabularx}

%\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
%\end{center}

%En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
D'après le logiciel de calcul formel, $\cos \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{1}{4}\left (-\sqrt{5}- 1\right )$ donc:

$BA_2^2 = 2 + 2\times \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right) = 2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Donc $BA_2 = \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{1}{2}\left (\sqrt{5}-1\right )$ d'après le logiciel de calcul formel.

On en déduit que $BA_2=BK$.

 	\end{enumerate}
 	
\item %Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

\begin{list}{\textbullet}{Procédé de construction (voir figure ci-dessous):}

\item Soit $C$ le point de coordonnées (0~;~1). La médiatrice de $[\text{O}C]$ coupe l'axe des ordonnées au point $J$ de coordonnées $\left(0~;~\frac{1}{2}\right)$.

On place le point  $B$ sur l'axe des abscisses, d'abscisse négative tel que OB = 2OJ, on construit  $[BJ]$ et le cercle $\mathcal C$ centré en $J$ passant par $O$ donc de rayon $\dfrac{1}{2}$ ;

\item on obtient le point $K$ à l'intersection du cercle $\mathcal C$ et du segment $[BJ]$;

\item le cercle de centre $B$ de rayon $BK$ coupe le cercle unitaire aux points $A_2$ et $A_3$ ;

\item le cercle de centre $A_2$ passant par $A_3$ recoupe le cercle unitaire en $A_1$;

\item le cercle de centre $A_3$ passant par $A_2$ recoupe le cercle unitaire en $A_4$;

\item le point $A_0$ est le point d'affixe 1.

\end{list}

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
%\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psarc(0,0){0.5}{85}{95}\psarc(0,0){0.5}{175}{185}
%\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$}  \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$}
\psdots(-1,0)(0,0.5)%BJ
\uput[ul](-1,0){$B$}\uput[r](0,0.5){$J$}
\psline[linecolor=blue](-1,0)(0,0.5)
\uput[ul](-0.447,0.25){$K$} 
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0.5){0.5}\uput[dr](0.4,0.2){\blue $\mathcal C$}
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0){1}
\psarc[linestyle=dashed](-1,0){0.618}{-90}{90}
\uput[ul](1;144){$A_2$}\uput[dl](1;216){$A_3$}
\psarc[linestyle=dashed](1;144){1.1756}{-90}{30}
\uput[ur](1;72){$A_1$}
\psarc[linestyle=dashed](1;216){1.1756}{-30}{90}
\uput[dr](1;-72){$A_4$}
\uput[0](1,0){$A_0$}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.5pt](1,0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.2}{15}{35}
\psarc[linestyle=dashed](0,1){1.2}{-35}{-15}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.2}{150}{170}
\psarc[linestyle=dashed](0,1){1.2}{-170}{-150}
\psline[linewidth=0.2pt](-1.1,0.5)(1.1,0.5)
\uput[ul](0,1){$C$}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
Soit $f$ la fonction définie sur $[ 0~;~14[$ par 
$f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub}
\uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163)
\uput[d](1.7,0){P}\uput[ur](1.7,2.163){M}\uput[l](0,2.163){Q}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.7,2.163)
\end{pspicture}
\end{center}

À tout point M appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

%\medskip
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du
%point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ?
%\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?
%
%Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

%Justifier les réponses.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item On prend deux positions du point M et on compare les aires des rectangles obtenus.

\begin{list}{$\circ$}{}

\item Si M est d'abscisse 2, son ordonnée est $f(2)=2-\ln(1)=2$ donc l'aire du rectangle OPMQ vaut 4 unités d'aire.

\item Si M est d'abscisse 4, son ordonnée est $f(4) = 2 - \ln(2)$ donc l'aire du rectangle OPMQ vaut $4-2\ln(2)$ qui est différente de 4. 

\end{list}

Donc l'aire du rectangle OPMQ n'est pas constante.

\item
Le point M a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ donc l'aire du rectangle OPMQ est 

$\mathcal A(x)=x\times f(x)=2x - x \ln \left (\dfrac{x}{2}\right )$.

\'Etudions les variations de la fonction $\mathcal A$;
on remarque que $\ln\left (\dfrac{x}{2}\right ) = \ln x - \ln 2$ donc $\left (\ln\left (\dfrac{x}{2}\right )\right )'=\dfrac{1}{x}$

$\mathcal A'(x) = 2 - \left ( \ln\left (\dfrac{x}{2}\right ) + x \dfrac{1}{x}\right) = 1-\ln\left (\dfrac{x}{2}\right )$ 

$1-\ln \left (\dfrac{x}{2}\right ) >0 
\iff 1>\ln \left (\dfrac{x}{2}\right )  
\iff \mathrm{e} > \dfrac{x}{2}
\iff x<2\mathrm{e}$

\smallskip

$\mathcal A(2\mathrm{e})=2\times 2\mathrm{e} - 2\mathrm{e} \times \ln \dfrac{2\mathrm{e}}{2} =  2\mathrm{e}$
d'où le tableau de variation de la fonction $\mathcal A$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 2\mathrm{e} & \hspace*{\esp} & 14 \\ 
\hline
\mathcal A'(x) & \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\;\vline &  &   \Rnode{max}{2\mathrm{e}}  &  &   \\  
\mathcal A(x) & \vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\qquad} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\qquad} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

$f(2\mathrm{e})=2 - \ln \dfrac{2\mathrm{e}}{2} = 2-1 = 1$.
donc l'aire du rectangle OPMQ est maximale pour le point M de coordonnées $(2\mathrm{e}\,;\, 1)$.

\end{list}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Modélisation discrète}}

\medskip

Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$.

Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Initialisation : 	&$T$ prend la valeur 25\\ \hline
Traitement :		& Demander la valeur de $n$\\
					&Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times  T + 15$\\
					&Fin Pour\\ \hline
Sortie : 			&Afficher T\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.
On cherche $T_3$:

$T_1 = 0,85 \times T_0+15 = 36,25$;
$T_2 = 0,85 \times T_1+15 = \numprint{45,8125}$;
$T_3 = 0,85 \times T_2+15 = \numprint{53,940625}$

La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est approximativement de 54\,\degres{} C. 

\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.

Soit $\mathcal P_n$ la propriété: $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$: $100 - 75 \times 0,85^0 = 100 - 75\times 1 = 25 = T_0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose la propriété vraie au rang $p\geqslant 0$, c'est-à-dire $T_p = 100 - 75 \times 0,85^p$.

D'après l'algorithme, on peut dire que, pour tout $n\geqslant 0$, $T_{n+1} = 0,85\times T_n+15$.

Donc $T_{p+1} = 0,85\left (100- 75\times 0,85^p\right )+15 
= 85 - 75\times 0,85^{p+1} + 15
= 100 - 75\times 0,85^{p+1}$ 

La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

\item La propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $p\geqslant 0$; elle est donc vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, $T_n=100-75\times 0,85^n$.
\item% Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
La stérilisation débute dès que la température est supérieure à 85\,\degres{}~C, donc on cherche $n$ tel que $T_n > 85$:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
T_n > 85 & 100 - 75 \times 0,85^{n} > 85\\
    & 15 > 75\times 0,85^n\\
    & 0,2 > 0,85^n\\
    & \ln 0,2 > \ln\left( 0,85^n\right) & \text{croissance de la fonction ln}\\
    & \ln 0,2 > n  \times \ln 0,85 & \text{propriété de la fonction ln}\\
    & \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,85} < n & \text{car } \ln 0,85 <0
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,85} \approx 9,9$ donc la stérilisation débute au bout de 10 minutes.

\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Modélisation continue}}

\medskip

Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec :
$f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}$.

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et 

$f'(t)=-75\times \left ( -\dfrac{\ln 5}{10}\right ) \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t}
= 7,5\times \ln 5 \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} >0$ car $\mathrm{e}^x>0$ pour tout réel $x$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0\,;\, +\infty]$.

		\item% Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.
$f(10) = 100 - 75 \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}\times 10}
= 100 - 75 \mathrm{e}^{-\ln 5}
= 100 - \dfrac{75}{\mathrm{e}^{\ln 5}}
= 100 - \dfrac{75}{5} = 85$

Or la fonction $f$ est strictement croissante donc si $x\geqslant 10$, alors $f(x)\geqslant f(10)$ ce qui veut dire qque $f(x) \geqslant 85$. 

	\end{enumerate}

\item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10.
		
On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t =  10,\: t = \theta,\:$
		 
$y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.
		
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité
d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110)
\def\f{100 2.71828 5 ln 10 div x mul  neg exp 75 mul sub}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\def\inf{10} \def\sup{25}
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\psplot{\sup}{\inf}{85}
\closepath
}

\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](0,\n)(32,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{\f}
\uput*[u](28,0){temps (en minutes)}
\uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)}
\uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85)
\uput*[d](27.5,85){$y = 85$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$.
$A(25)$ est représentée en gris sur le graphique ci-dessus.
Chaque rectangle correspond à $5\times 5$ unités d'aire.
En comptant les rectangles inclus dans la partie grisée, on en compte 3 entiers plus un demi, ce qui fait $3,5\times 25 = 87,5$ unités d'aire.
Donc $\mathcal A(25) > 80$.

		\item% Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.
$A(\theta) 
=  \int_{10}^{\theta}\left (  f(t) - 85\right ) \d t
=  \int_{10}^{\theta}\left [  \left(  100 - 75\times \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t}\right) - 85\right] \d t
=  \int_{10}^{\theta}\left( 15 - 75\times \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right) \d t\\
\phantom{A(\theta)}=  \int_{10}^{\theta} 15 \d t -  \int_{10}^{\theta} 75\times \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t}  \d t
= 15 \left [ t \rule{0pt}{12pt}\right ]_{10}^{\theta} - 75  \int_{10}^{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
= 15 (\theta - 10) - 75  \int_{10}^{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
$

		\item La stérilisation est finie au bout de 20 minutes si $\mathcal A(20)>80$.
		
$\mathcal A(20)
= 15(20-10) - 75   \int_{10}^{20} \mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
= 150 - 75 \left [  - \dfrac{10}{\ln 5}\mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right ]_{10}^{20}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \mathrm{e}^{-2 \ln 5} - \mathrm{e}^{-\ln 5} \right ]\\[5pt]
\phantom{\mathcal A(20)}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \left (\mathrm{e}^{- \ln 5}\right )^2 - \mathrm{e}^{-\ln 5} \right ]
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left[ \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 - \dfrac{1}{5} \right]
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{5} \right ]\\[5pt]
\phantom{\mathcal A(20)}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5}\times  \dfrac{-4}{25}
= 150 - \dfrac{120}{\ln 5}
\approx 75,44 <80
$		

\smallskip
		
Donc la stérilisation n'est pas finie au bout de 20 minutes.		
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2016}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre J. Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AK}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 

On sait  que les deux pyramides ABCDE et ABCDF sont identiques, et que toutes les arêtes ont la même longueur 1. Ce sont donc des pyramides régulières à base carrée et E comme F ont pour projeté orthogonal sur ABCD le point I, centre du carré ABCD. 

I est le centre du carré ABCD de côté 1, c'est donc le milieu de [AC] et on a:

 $\text{AC}=\sqrt{2}$ et $\text{AI}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Comme I est le projeté orthogonal de E sur ABCD, le triangle AEI est rectangle en I et on a: 	

$\text{IE}^2=\text{AE}^2-\text{AI}^2	=1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$.
Et finalement \fbox{$\text{IE}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}.

I est le milieu de [BD] et $\overrightarrow{\text{AI}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}$, d'où: \fbox{$\text{I} \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$}.

On a: $\overrightarrow{\text{AE}} = \overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{IE}}$, d'où:
\fbox{$\text{E}\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$}

Par raison de symétrie par rapport à ABCD :  \fbox{$\text{F}\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~- \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$}

		\item Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(0~;~- 2~;~\sqrt{2}\right)$ est normal au plan (ABE).
		
On a : 	$\overrightarrow{\text{AB}}
		 \begin{pmatrix}
		 1 \\
		 0 \\
		 0 
		 \end{pmatrix}$, 
		 ~~$\overrightarrow{\text{AE}}
		 		 \begin{pmatrix}
		 		 \frac{1}{2} \\[5pt]
		 		 \frac{1}{2} \\[5pt]
		 		 \frac{\sqrt{2}}{2} 
		 		 \end{pmatrix}$
		 		 
	$\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AE}}$ ne sont pas colinéaires et on a:	
	$\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{n}=0$ et $\overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{n}=0$.
	
	$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  du plan ABE donc $\overrightarrow{n}(0~;~- 2~;~\sqrt{2})$ est normal au plan (ABE).
	
		\item Déterminons une équation cartésienne du plan (ABE).

(ABE) passe par le point $\text{A}\,(0\,;\,0\,;\,0)$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(0~;~- 2~;~\sqrt{2})$. 

On en déduit une équation cartésienne de (ABE): \fbox{ $-2y+\sqrt{2}z=0$}.	
		
	\end{enumerate}
	
\item On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
		
		Dans le plan (FDC) considérons les vecteurs $\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{DF}}$ qui ne sont pas colinéaires.
		
		Comme ABCD est un carré on : $\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{AB}}$ et on a:
				$\overrightarrow{\text{DC}}
				 \begin{pmatrix}
				 1 \\
				 0 \\
				 0 
				 \end{pmatrix}$
		
D'autre part sachant que $\text{D}(0~;~1~;~0)$, on a: $\overrightarrow{\text{DF}}
		 		 \begin{pmatrix}
		 		 \frac{1}{2} \\[5pt]
		 		 -\frac{1}{2} \\[5pt]
		 		 -\frac{\sqrt{2}}{2} 
		 		 \end{pmatrix}$.
On a :	
$\overrightarrow{\text{DC}} \cdot \overrightarrow{n}=0$ et $\overrightarrow{\text{FD}} \cdot \overrightarrow{n}=0$.
	
$\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  du plan (FDC): $\overrightarrow{n}\left(0~;~- 2~;~\sqrt{2}\right)$ est normal au plan (FDC)	
	
Les plans (FDC) et (ABE) admettent un même vecteur normal donc ils sont parallèles.	 		 		 
		 		 
		\item Déterminons l'intersection des plans (EMN) et (FDC).
		
Comme M appartient à [EM] et que M est le milieu de [FD], M appartient à l'intersection de (EMN) et (FDC).

Comme 	(FDC) et (ABE) sont parallèles, le plan (EMN) les coupe suivant deux droites parallèles.

Or l'intersection de (EMN) et (ABE)	est la droite (EN).

On en déduit que l'intersection de (EMN) avec (FDC) est la droite parallèle à (EN) passant par M.
		
		\item Construisons (voir annexe) la section du solide ADECBF par le plan (EMN).
		
Soit G l'intersection de la parallèle à (EN) passant par M avec le plan (BCF): c'est l'intersection de (EM) avec (CD).
		
Le segment [GM] est la section de la face FCD par le plan (EMN).
		
Par raison de symétrie, les plan (CDE) et (ABF) sont parallèles. 
		
En tenant le même raisonnement que précédemment, on montre que le plan (EMN) les coupe suivant deux droites parallèles.
		
Or l'intersection de (EMN) avec le plan (CDE) est la droite (EG). Alors le plan(EMN) coupe le plan(ABF) suivant la parallèle à (ERG) passant par N. 
		
Cette droite coupe (AF) en H.
		
Le segment [NH] est la section de la face ABF par le plan (EMN).
		
On en déduit que le polygone ENHMG est la section du solide par le plan (EMN).		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=0.6cm}
%%% figure : D. Vergès puis P.A. Fournié puis F. Hache
\begin{pspicture}(-4,-5)(12,7)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0pt](3.35,0)(5,5.35)(4.96728972,1.3)(4.15,-1.35)(3.32849364,-2.662795)% section
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)%              axe
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)%               axe
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)%         axe
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%               ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%                               BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%    ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%   FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%                        AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%                            EC
\psdots(5,0.65)(0,6.7)         \uput[r](5,0.65){I} 
\psdots(3.35,0)                \uput[ul](3.35,0){N}
\psdots(4.15,-1.35)            \uput[r](4.15,-1.35){M}
\psdots(4.96728972,1.3)        \uput[ur](4.96728972,1.3){G}
\psdots(3.32849364,-2.662795)  \uput[dl](3.32849364,-2.662795){H}
\psline(5,5.35)(3.35,0)(3.32849364,-2.662795)%      ENH
\psline[linestyle=dashed](3.32849364,-2.662795)(4.15,-1.35)(4.96728972,1.3)(5,5.35)%                                              HMGE
\psline(5,5.35)(3.35,0)(3.32849364,-2.662795)
\uput[ul](0,0){A}         \uput[60](6.7,0){B} 
\uput[r](10,1.3){C}       \uput[ul](3.3,1.3){D} 
\uput[u](5,5.35){E}       \uput[d](5,-4){F} 
\uput[l](0,6.7){K}
\end{pspicture}


\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2016}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par:
$f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}$.

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudions le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].

$f$ est dérivable sur $[0~;~1]$ avec pour tout $x\in [0~;~1]$: $f'(x)= \dfrac{-(-1)\text{e}^{1-x}}{(1+\text{e}^{1-x})^2} = \dfrac{\text{e}^{1-x}}{(1+\text{e}^{1-x})^2}.$

Pour tout $x\in [0~;~1]$, $\text{e}^{1-x}>0$ et $(1+\text{e}^{1-x})^2>0$.

On en déduit que pour tout $x\in [0~;~1]$, $f'(x)>0$ et donc que $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$.

\item En remarquant que $\text{e} = \text{e}^1$ , et que pour tout réel $x$, $\text{e}^{ - x}\times \text{e}^x=1$,  on peut écrire:

$f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}\times\text{e}^{ - x}}=\dfrac{\text{e}^{ x}}{(1 + \text{e}\times \text{e}^{ - x})e^x}=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$.

\item $f$ est dérivable sur $[0~;~1]$ donc continue et est de la forme $\dfrac{u'}{u}$; elle admet donc comme primitive pour  tout $x\in [0~;~1]$ la fonction $F$ définie par: 
$F(x)= \ln(\text{e}^x+\text{e})$.

On en déduit que:
 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x =\left [\ln(e^x+e)\rule{0pt}{10pt}\right ]_0^1=\ln (2\text{e})  - \ln (1 + \text{e})= \ln (2) +  \ln(\text{e})- \ln (1 + \text{e})=\ln (2) +  1 - \ln (1 + \text{e})$.

\end{enumerate}


\newpage


\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par:
$f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}$.

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général
$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item %On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1
à 5. 

Pour tout $x\in [0;1]$, on a: $f_0(x) = \dfrac{1}{1 + 0\times \text{e}^{1 - x}}=1.$

La courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$ est le segment d'équation $y=1$ avec $x\in [0;1]$ .

Voici le graphique complété :
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,griddots=5,gridwidth=1.5pt](0,0)(1.2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{1}{1}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}\uput[r](1,1){\gray{$\mathcal{C}_0$}}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item Soit $n$ un entier naturel.

Pour tout $x\in [0;1]$, on a: $f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n \text{e}^{1 - x}}>0.$
On en déduit que $u_n$ représente l'aire sous la courbe $\mathcal{C}_n$ délimitée par l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

On a en particulier $u_0 = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{d}x= [x]_0^1=1$


\item Il semble que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante car les aires sont de plus en plus petites. 
Démontrons-le.

Soit $n$ un entier naturel.

Pour tout réel $x\in[0;1]$, on a:
$f_{n+1}(x)-f_n(x) =\dfrac{1}{1 + (n+1)\text{e}^{1 - x}}- \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}=\dfrac{-e^{1-x}}{(1 + n\text{e}^{1 - x})(1 + (n+1)\text{e}^{1 - x})}<0.$

On en déduit que pour tout réel $x\in[0;1]$, on a: $f_{n+1}(x)<f_n(x)$ et comme par intégration sur un intervalle, l'ordre est conservé, on a pour tout entier naturel $n$, 
$\displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\:\text{d}x<\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x $ et $u_{n+1}<u_n$.

Ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

\item Soit $n$ un entier naturel.

Pour tout réel $x\in[0;1]$, on a:$f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}>0$ et donc $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x>0$

Ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est minorée par 0.

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0 donc elle converge et par conséquent elle admet une limite finie.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2016}}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD
est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle.
$\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert=\sqrt{2}$ donc $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}$.

\item %Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier 
%$n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.
$\left\vert z_n \right\vert=\left\vert (1+\mathrm{i})^n \right\vert=\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert^n=\boxed{\textcolor{red}{(\sqrt{2})^n}}$.

$OM_n=\left\vert z_n \right\vert=(\sqrt{2})^n$.

Comme $\sqrt{2}>1$ donc  $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{2}\right)^n++\infty$.

On considère le cercle circonscrit au carré ABCD ; ce cercle a pour rayon 4.
Puisque $OM_n$ tend vers $+\infty$, il existe un $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $OM_n>4$, donc $M_n$ est extérieur au cercle de centre O et de rayon 4, donc extérieur au carré ABCD.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2016}}
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
8	&	&	&\\ \hline
9	&	&	&\\ \hline
10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?



\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item en C2 on entre \og =B2+2*A2$\times$A2+3*A2+5 \fg~~et~~


\item en B3 on entre \og =2*B2+2*A2$\times$A2-A2 \fg

\end{enumerate}

\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.


Il semblerait que $\forall n \in \mathbb{N}~,~v_n=7\times 2^n$

on aurait alors $u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$ car $v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5$

\vspace{0,5cm}
\textbf{Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}~,~u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$}

\vspace{0.5cm}
Initialisation : 
pour $n=0~,~u_0=2$ ~~~et~~~ $7\times 2^0-2\times 0^2-3\times 0-5=7-5=2$

donc la propriété est vérifiée au rang $n=0$

\vspace{0.5cm}
Hérédité : Supposons qu'il existe un entier $k\in \mathbb{N}$ tel que $u_k=7\times 2^k-2k^2-3k-5$

alors $u_{k+1}=2\left(7\times 2^k-2k^2-3k-5 \right) +2k^2-k=7\times 2^{k+1}-2k^2-7k-10$

or $7\times 2^{k+1}-2(k+1)^2-3(k+1)-5=7\times 2^{k+1}-2k^2-4k-2-3k-3-5=7\times 2^{k+1}-2k^2-7k-10$

donc si $u_k=7\times 2^k-2k^2-3k-5$, cela entraîne que $u_{k+1}=7\times 2^{k+1}-2(k+1)^2-3(k+1)-5$

\vspace{0.5cm}
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0 or elle est vérifiée au rang 0

\vspace{0.5cm}

Finalement $\forall n \in \mathbb{N}~,~u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$ et donc $\forall n \in \mathbb{N}~,~v_n=u_n+ 2n^2 + 3n + 5=7\times 2^n$.

\end{enumerate}


\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{Asie uin 2016}}
%\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\bigskip
%
%Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.
%
%Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
%
%\begin{center}
%\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
%\end{center}

\subsubsection*{Partie A: production de fraises}

%Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B; 55\,\% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45\,\% dans la serre B.
%Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88; dans la serre B, elle est égale à 0,84
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}

\medskip


\begin{list}{\textbullet}{On appelle:}

\item $A$ l'évènement \og la fleur de fraisier vient de la serre A\fg;

\item $B$ l'évènement \og la fleur de fraisier vient de la serre B\fg;

\item $F$ l'évènement \og la fleur de fraisier donne une fraise\fg;

\item $\overline F$ l'évènement contraire de $F$.

\end{list}

On résume les données du texte dans un arbre pondéré:

\begin{center}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,55$}}
 	  { 
 		  \TR{$F$}\naput{$0,88$}
 		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{\red $1-0,88=0,12$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\nbput{$0,45$}}
 	  {
 		  \TR{$F$}\naput{$0,84$}
          \TR{$\overline{F}$}\nbput{\red $1-0,84=0,16$} 
     }
}
\end{center}


\textbf{Proposition 1:}

La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

\smallskip

D'après les notations, on cherche la probabilité de l'évènement $F$; d'après la formule des probabilités totales:

$P(F)= P(A \cap F) + P(B \cap F) = P(A) \times P_A(F) + P(B) \times P_B(F)
= 0,55 \times 0,88 + 0,45 \times 0,84 = 0,862$

\textbf{La proposition 1 est vraie.} 

\medskip

\textbf{Proposition 2:}

On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne une fleur.

La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

\smallskip

On cherche la probabilité que la fleur provienne de la serre A sachant qu'elle a donné une fraise:

$P_F(A)= \dfrac{P(A \cap F)}{P(F)}= \dfrac{0,55\times 0,88}{0,862} \approx 0,561 \neq 0,439$

\textbf{La proposition 2 est fausse.} 

\medskip

\subsubsection*{Partie B: conditionnement des fraises}

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$.

%La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
%\def\ymin {-0.008} \def\ymax {0.04}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%
%\def\m{250}% moyenne 
%\def\s{12}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%
%\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
%\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\def\inf{263} \def\sup{\xmax37}
%\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
%
%\psline(\xmin,0)(\xmax,0)
%
%%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%%
%\multido{\i=200+10}{11}
%{
%\uput[d](\i,0){\small \i}
%\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
%}
%
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne $P(X \leqslant 237)=0,14$.% Calculer la probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes \fg.

On complète le graphique donné dans l'énoncé.


On constate que $237=250-13 = \mu - 13$ et $263 = 250+13 = \mu + 13$.

Pour des raisons de symétrie de la fonction de densité autour de la droite d'équation $x=\mu$, on a:

$P(X \leqslant 237) = P(X \geqslant 263)$ (parties grisées sur la figure).

$P(237 < X < 263) = 1 - \left ( P(X \leqslant 237) + P(X \geqslant 263) \right )
=  1 - 2\times P(X \leqslant 237)
= 1 - 2\times 0,14 = 0,72$.

La probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes\fg{} est 0,72.

\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
\def\ymin {-0.015} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{250}% moyenne 
\def\s{12}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\def\inf{263} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\psline(\xmin,0)(\xmax,0)

\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%
\multido{\i=200+10}{11}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
}

\uput{12pt}[d](237,0){\red \small 237}
\uput{12pt}[d](263,0){\red \small 263}

\end{pspicture*}


\item On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
D'après le cours, la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1 (la loi normale centrée réduite).

\item% Démontrer que $P\left ( Y \leqslant - \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.
On sait que $\sigma$ est un nombre strictement positif; donc:

$X \leqslant 237 \iff X-250 \leqslant 237-250 \iff \dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma} \iff Y \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}$
 
Comme $P(X\leqslant 237) = 0,14$, on en déduit que $P\left (Y \leqslant -\dfrac{13}{\sigma} \right ) =0,14$.

\item% En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.
Pour $Y$ suivant la loi normale centrée réduite, on cherche $\beta$ tel que $P(Y \leqslant \beta)=0,14$; la calculatrice donne pour résultat environ $-1,08$. On a donc:
$-1,08 = -\dfrac{13}{\sigma}$ et donc: $\sigma \approx 12$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.

\begin{enumerate}

\item Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle 

$[250-n\,;\,250+n ]$.% Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

D'après le cours, pour toute loi normale, $P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$; donc 

$P(250-2\times 12 \leqslant X \leqslant 250+2\times 12)\approx 0,95$ ou encore $P(250 - 24 \leqslant X \leqslant 250 + 24)\approx 0,95$.

Si $n'>n$, alors $[250-n\,;\,250+n]{} \subset [250-n'\,;\,250+n']{}$ et donc 

$P(X\in [250-n\,;\,250+n]{}) < P(X\in [250-n'\,;\,250+n']{})$. 

Donc $n=24$ est le plus petit entier tel que $P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n)$.  

\item On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $[230\,;\,m]$. %Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

Cherchons $m$ pour que $P(230 \leqslant X \leqslant m)$ soit égal à $0,95$.

D'après le cours, on sait que $P(230 \leqslant X \leqslant m) = P(X \leqslant m) - P(X < 230)$.

En utilisant la calculatrice, on trouve que $P(X < 230) \approx \numprint{0,0478}$.

$P(230 \leqslant X \leqslant m) = 0,95
\iff
P(X \leqslant m) - P(X < 230) = 0,95
\iff
P(X \leqslant m) = P(X < 230) + 0,95
\iff
P(X \leqslant m) \approx \numprint{0,0478} + 0,95
\iff
P(X \leqslant m) \approx \numprint{0,9978}$

À la calculatrice, si $X$ suit la loi normale d'espérance 250 et d'écart-type 12, le nombre $m$ tel que $P(X \leqslant m) \approx \numprint{0,9978}$ vaut environ 284,2.

Donc la plus petite valeur de $m$ pour laquelle la probabilité que la masse de la barquette se trouve dans l'intervalle $[230~;~m]$ soit supérieure ou égale à 0,95 est $m=285$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  