\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 3 }}
\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie septembre 2013}}
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par
  		 
$u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}$

\medskip

 
\textbf{PARTIE A} %\section{partie A}

 
%On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{|l l|}
\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à  $K$\\ 
&Affecter 2 à  $U$ \\
&Affecter 10 à  $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\begin{tabular}{l|l}
\hspace{0,3cm} & Affecter $K + 1$ à  $K$ \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $U$ à  $W$ \\ 
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à  $U$ \rule[-10pt]{0pt}{28pt} \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à  $V$ \\[5pt]  
\end{tabular}\\
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ 
\hline
\end{tabular}
\begin{center}
\'Etat des variables: 

\vspace*{0.5cm} 
 
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0& --- & 2 & 10\\ \hline 
1& 2 & $14/3$ & 8\\ \hline
2& $14/3$ & $52/9$ & $43/6$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}



\textbf{PARTIE  B} %\section{partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$,

$v_{n+1}-u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} \\
= \dfrac{3\left(u_n+3v_n\right)}{12} - \dfrac{4\left(2u_n+v_n\right)}{12}=\dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12} \\
= \dfrac{5v_n-5u_n}{12} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)}}$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
%Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
D'après la question précédente, on peut dire que la suite $\left(w_n\right)$ est \textbf{géométrique} de raison $q=\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=10-2=8$.

On a alors : pour tout entier naturel $n$, $w_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n}}$.

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3}-\dfrac{3u_n}{3}\\
= \dfrac{2u_n+v_n-3u_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{w_n}{3}}}$

On a vu que, pour tout $n$, $w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$; on peut en déduire que pour tout $n$, $w_n>0$ et donc que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n>0$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{croissante}.

\smallskip

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{4v_n}{4}\\
= \dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4} =\dfrac{u_n-v_n}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-w_n}{4}}}$

Et comme $w_n>0$, on peut dire que $v_{n+1}-v_n<0$ pour tout $n$.

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{décroissante}.

		\item %Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
On a vu que, pour tout $n$, $w_n>0$; donc, pour tout $n$, $v_n-u_n>0$ c'est-à -dire $v_n>u_n$.

La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante donc, pour tout $n$, $v_n \leqslant  v_0 \iff v_n \leqslant  10$.

Pour tout entier naturel $n$,
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
v_n \leqslant  10
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\boxed{\textcolor{red}{u_n \leqslant  10}}$.

\smallskip

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc pour tout $n$, $u_n \geqslant  u_0 \iff u_n \geqslant  2$.

Pour tout entier naturel $n$,
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
u_n \geqslant  2
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\boxed{\textcolor{red}{v_n \geqslant  2}}$.
		
		\item %En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante majorée par 10 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers un réel $\ell$.

La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante minorée par 2 donc, d'après ce même théorème, la suite $\left(v_n\right)$ est convergente vers un réel $\ell '$.
				
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.

La suite $\left(w_n\right)$, définie par $w_n=v_n-u_n$, est convergente comme différence de deux suites convergentes, et sa limite est égale à  $\boxed{\textcolor{red}{\ell ' - \ell}}$.

Or la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et \\
$-1 < \dfrac{5}{12} < 1$; donc on peut dire que la suite $\left(w_n\right)$ est convergente vers 0.

La limite d'une suite est \textbf{\textcolor{red}{unique}} donc $\ell ' - \ell = 0$ et donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell '=\ell}}$; les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ont donc la même limite qu'on appelle $\ell$.
 
\item %Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $t_{n+1}=3u_{n+1}+4v_{n+1} \\
= 3\times\dfrac{2u_n+v_n}{3}+4\times\dfrac{u_n+3v_n}{4}=2u_n+v_n+u_n+3v_n\\
= 3u_n+4v_n=t_n$ donc la suite $\left(t_n\right)$ est constante.

On a : $t_0=3u_0+4v_0= 3\times 2+4\times 10=6+40=\boxed{\textcolor{red}{46}}$

Comme la suite $\left(t_n\right)$ est constante, pour tout $n$, $t_n=t_0=46$; la suite $\left(t_n\right)$ est donc convergente \textcolor{red}{vers 46}.

Les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont toutes les deux convergentes vers $\ell$ donc la suite $\left(t_n\right)$ définie par $t_n=3u_n+4v_n$ est convergente vers $3\ell + 4\ell = \boxed{\textcolor{red}{7\ell}}$.

La limite d'une suite est unique donc $7\ell = 46 \iff \ell= \dfrac{46}{7}$.

La limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{46}{7}}}$. 


\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Sud  novembre 2011}}

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation 

%\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]
Soit l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$.\\
$\Delta=-16<0$ ; l'équation a deux solutions complexes conjuguées.\\
$z_1=\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{16}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1-2\mathrm{i}}}$ et $z_2=\overline{z_1}=\boxed{\textcolor{red}{1+2\mathrm{i}}}$.
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 

%On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :
 
%\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
Voir la figure ci-dessous.
		\item %Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \dfrac{1 - 2\text{i}- 1 - \sqrt{3} - \text{i}}{1 + 2\text{i} - 1 - \sqrt{3} - \text{i}} \dfrac{- 3\text{i} - \sqrt{3}}{\text{i} - \sqrt{3}} =\dfrac{-3\mathrm{i}-\sqrt{3}}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}$

$ \dfrac{\left(- 3\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)}{\left(\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)} = \dfrac{3 - 3\text{i}\sqrt{3} - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{\text{i}^2 - 3} = \dfrac{-4\text{i}\sqrt{3}}{- 4} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \text{i}\sqrt{3}}}$. \\
On pouvait aussi \og{}deviner\fg{} qu'on pouvait factoriser, car on devine, après que nous avons tracé la figure, que le triangle est  rectangle, donc que le nombre cherché est imaginaire pur, donc doit pouvoir se simplifier.\\
En effet : $\dfrac{-3\mathrm{i}-\sqrt{3}}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}=\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{3}\left[\mathrm{i}-\sqrt{3}\right]}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}=\mathrm{i}\sqrt{3}$.

		\item %En déduire la nature du triangle ABC.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \text{i}\sqrt{3}$ (imaginaire pur) : cette égalité montre qu'un argument du quotient est égalà $\dfrac{\pi}{2}$, soit $\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{\text{CB}},~\overrightarrow{\text{CA}} \right) = \dfrac{\pi}{2}}}$.

\textbf{Conclusion :} le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en C. (non isocèle car CB $= \sqrt{3}$CA)
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
Le triangle ABC est rectangle d'hypoténuse [AB] ; il est donc \textbf{inscrit} dans un cercle $\Gamma$ de centre le milieu de [AB] soit le point d'affixe $1$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$AB = 2.

Dans la symétrie autour de l'axe $\left(\text{O},~\overrightarrow{u}\right)$ les points A et B sont symétriques de même que les points C et D puisque leurs affixes sont conjuguées.

Le symétrique du triangle ABC est donc le triangle BAD. La symétrie étant une \textbf{isométrie}, c'est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et donc les angles, le triangle BAD est lui aussi rectangle en D donc inscrit dans le même cercle $\Gamma$  centré au milieu de [AB] et de rayon 2. \\
Sinon, on calcule le nombre $\dfrac{z_B-z_Z}{z_A-z_D}$. un argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ et correspond à l'angle orienté $\left(\overrightarrow{DA}~;~\overrightarrow{DB}\right)$.

\item %Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.
C est le point dont l'affixe a une partie réelle positive, intersection du cercle précédent $\Gamma$  et de la droite d'équation $y = 1$.idem pour D avec la droite d'équation $y = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psdots(1,2)(1,-2)(2.732,1)(2.732,-1)
\uput[ur](1,2){A} \uput[dr](1,-2){B} \uput[ur](2.732,1){C} \uput[dr](2.732,-1){D}
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,1)
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,-1)
\pscircle[linecolor=red,linestyle=dashed](1,0){2}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,-1)(3,-1)
\uput[dr](2,-1.7){$\Gamma$}  
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2011}}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{\text{i} - 2 + 3\text{i}}{ 6 - \text{i} - 2 + 3\text{i}} = \dfrac{- 2 + 4\text{i}}{4 + 2\text{i}} = \dfrac{-1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}} \\
= \dfrac{(- 1 + 2\text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{- 2 + 2 + \text{i} + 4\text{i}}{4 +1} = \dfrac{5\text{i}}{5} =\boxed{\textcolor{red}{ \text{i}}}$. 

\item %En déduire la nature du triangle ABC.
Le résultat précédent $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}= \text{i}$ donne  \\
$\dfrac{AB}{AC}=\left|\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}\right|=|\mathrm{i}|=1$, ce qui signifie que $\boxed{\textcolor{red}{\text{AB}=\text{AC}}}$ et \\
$\left( \overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AB}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}\right)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$ donc B est l'image de C dans le quart de tour direct de centre A (rotation) : le triangle ABC est donc \textbf{\textcolor{red}{rectangle et isocèle}} en A.

\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 
%
%\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \]

\begin{enumerate}
\item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$.
On a $z_{\text{D}'} =  \dfrac{\text{i}(1 - \text{i} - 2 + 3\text{i})} {1 - \text{i} - \text{i}}  = \dfrac{\text{i}(2\text{i} - 1)}{1 - 2\text{i}} = \dfrac{- \text{i}(1 - 2\text{i})}{1 - 2\text{i}} =\boxed{\textcolor{red}{ - \text{i}}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i.
Il faut résoudre dans $\mathbb{C} \setminus \{\text{i}\}$, l'équation :

$z' = 2\text{i} \iff  \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} = 2\text{i} \iff \dfrac{z - 2 + 3\text{i}}{z - \text{i}} = 2 \iff $

$z - 2 + 3\text{i} = 2(z - \text{i}) \iff - 2 + 3\text{i} + 2\text{i} = z \iff z = - 2 + 5\text{i}$. Donc $\boxed{\textcolor{red}{z_{\text{E}} = - 2 + 5\text{i}}}$.
		\item %Démontrer que E est un point de la droite (AB).
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AE}}$ est $- 2 + 5\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 4 + 8\text{i}$.

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est $\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 2 + 4\text{i}$.

On a la relation de colinéarité : $\overrightarrow{\text{AE}} = 2\overrightarrow{\text{AB}}$, donc les points A, B et E sont \textbf{alignés} (on peut même plus précisement dire que E est le symétrique de A autour de B.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$.
Pour $z \neq \text{i}$, on a :  $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \iff z' = \dfrac{\text{i}\left(z - z_{\text{A}}\right)}{z - z_{\text{B}}} \quad (1)$, d'où, en prenant les modules des deux membres,\\
\fbox{\textcolor{red}{O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$}} avec $z \neq \text{i}$ ou encore $M$ distinct de B.
\item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :
De même en prenant les arguments des deux membres de l'équation (1), on obtient  :

\[\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.}}\] 

\item %Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors A$M$ = B$M$ ; le résultat de la question 3. donne alors :

O$M' = 1 \iff M'$ \:appartient au cercle  de centre O et de rayon 1 (cercle trigonométrique). 

\item %Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).
Si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ et en utilisant le résultat de la question 4. on a alors :

$\dfrac{\pi}{2} = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près} \iff \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) = 0 \:\text{à}\:2\pi\:\text{près}$, ce qui signifie que les points A, B et $M$ sont alignés.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Fonction limite d'une suite de fonctions}}
 Pour tout entier $n\geqslant l$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^n}.\]
On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$.· 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, pour $n\geqslant 1$, les variations de $f_n$. 
$f_n$ est dérivable comme fonction rationnelle (quotient de polynômes) ; $f_n=\dfrac{1}{u_n}$ avec $u_n(x)=1+x^n$ donc $f_n'=-\dfrac{u_n'}{u_n^2}$ avec $u_n'(x)=nx^{n-1}$.\\
On en déduit que, pour tout $n\geqslant 1$ et tout $x\in[0~;~+\infty[$, $f_n"(x):-\dfrac{nx^{n-1}}{\left(1+x^n\right)^2}\leqslant 0$.\\
La fonction $f_n$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item %Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_n$ passent toutes par deux points fixes (indépendants de $n$) que l'on déterminera. 
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f_n(0)=1$ et $f_n(1)=\dfrac{1}{2}$. Les courbes $\mathscr{C}_n $passent toutes par les points de coordonnées $(0~;~1)$ et $(1~;~2)$.\\
Montrons que ce sont les seuls. Si, pour tout $n$, $M\left(x~;~f_n(x)\right)\in\mathscr{C}_n$, en particulier, ce point appartient à $\mathscr{C}_n$ et $\mathscr{C}_{n+1}$ donc $f_{n+1}(x)=f_n(x)$.\\
$f_{n+1}(x)=f_n(x)\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+x^{n+1}}=\dfrac{1}{1+x^n}\Leftrightarrow \dfrac{1+x^n-1-x^{n+1}}{\left(1+x^n\right)\left(1+x^{n+1}\right)}=0\Leftrightarrow \dfrac{x^n(1-x)}{\left(1+x^n\right)\left(1+x^{n+1}\right)}=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facterurs est nul. On trouve $\boxed{\textcolor{red}{x=0\text{ ou }x=1}}$.\\
Il n'y a bien que ces deux points.

\item Soient deux entiers $n$ et $m$ non nuls avec $n < m$.\\
%Comparer $f_n(x)$ et $f_m(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
Soit $x\geqslant 0$ ; $f_m(x)-f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^m}-\dfrac{1}{1+x^n}=\dfrac{x^n-x^m}{\left(1+x^n\right)\left(1+x^m\right)}$ qui est du signe du numérateur.\\
Or $x_n-x¨m=x^n\left(1-x^{m-n}\right)$.\\
Pour $x=0$ ou $x=1$, cette expression s'annule ; on retrouve les deux points fixes de la question précédente.\\
Pour $0<x<1$, $x^{m-n}<1$ donc $f_m(x)-f_n(x)>0$ : $\mathscr{C}_m$ est au-dessus de $\mathscr{C}_n$.\\
Pour $x>1$, $x^{m-n}>1$ donc $f_m(x)-f_n(x)<0$ : $\mathscr{C}_m$ est au dessus de $\mathscr{C}_n$.\\

%En déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_n$ et $\mathscr{C}_m$.
\end{enumerate}

\item courbes ci-dessous 


\begin{enumerate}
\item %Conjecturer, selon la valeur du réel $x \geqslant 0$, la limite de $f_n(x)$ lorsque que $n$ tend vers $+\infty$. 
Conjectures : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(0)=1$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(1)=\dfrac{1}{2}$

\item Pour $0<x<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)=1$

\item Pour $x>1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)=0$
\end{enumerate}

\item %Démontrer la conjecture émise à la question précédente. 
\textbf{Démonstrations :}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $n$, $f_n(0)=1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(0)=1$.

\item Pour tout $n$, $f_n(1)=\dfrac{1}{2}$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(1)=\dfrac{1}{2}$.

\item Pour tout $x\in]0~;~1[$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}x^n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)=1$

\item Pour tout $x>1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+x^n\right)=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)=0$.
\end{enumerate}

\item Pour tout réel $x \geqslant  0$, on note $f(x) = \lim_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)$.\\
On définit ainsi une fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\\
%Expliciter la fonction f . 
La fonction $f$ est définie par $f(x)=1$ pour $x\in[0~;~1]$, $f(1)=\dfrac{1}{2}$ et $f(x)=0$ pour $x>1$.

\item %La fonction $f$ est-elle continue sur $[0~;~+\infty[$ ? 
Il est clair que la fonction $f$ n'est pas continue en 1, puisque $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=1\neq f(1)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=0\neq f(1)$

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la limite d'une suite de fonctions continues n'est pas forcément continue ; pour cela, il faut la notion de convergence uniforme, plus forte que la convergence simple, qui ne s'étudie pas en Terminale.


\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=7.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0.0}{4.0}{1/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.0}{4.0}{1/(1+x^3)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x^10)}
\psplot[plotpoints=300,linecolor=red]{0.0}{4.0}{1/(1+x^100)}

\uput[r](2,0.35){$\mathscr{C}_1$}
\uput[r](2,0.22){$\mathscr{C}_2$}
\uput[r](2,0.13){$\mathscr{C}_3$}
\uput[r](0.8,0.83){$\mathscr{C}_{10}$}
\uput[r](0.85,1){$\mathscr{C}_{100}$}

\end{pspicture*}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  