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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sin 3x-3\sin x$.
\begin{enumerate}
\item %Comparer $f(x+2\pi)$, $f(-x)$ et $f(\pi-x)$ à $f(x)$.\\
%En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x+2\pi)=\sin(3x+6\pi)-3\sin(x+2\pi)=\sin(3x)-3\sin (x)=f(x)$ car la fonction $\sin$ est $2\pi-$ périodique, donc la fonction $f$ est \textcolor{red}{\textbf{périodique}} de période $2\pi$.\\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=\sin(3\times (-x))-3\sin(-x)=\sin(-3x)-\sin(-x)=-\sin(3x)+\sin(x)=-f(x)$ car la fonction $\sin$ est impaire. On en déduit que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{impaire}}.\\
On sait que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin(\pi-x)=\sin(x)$.\\
Alors : \\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f\left(\pi-x\right)\\
=\sin(3\pi-3x)-3\sin(\pi-x)=\sin(2\pi+\pi-3x)-3\sin(\pi-x)\\
=\sin(\pi-3x)-3\sin(\pi-x)=\sin(3x)-3\sin(x)=f(x)$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(\pi-x)=f(x)}}$\\
On en déduit que la courbe $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$.\\.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Comme $f$ est périodique de période $2\pi$, on peut restreindre l'étude de $f$ à n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$.

\item Comme $f$ est impaire, on se restreint à la partie positive d'un  intervalle de longueur $2\pi$, centré sur l'origine, donc sur $[0~;~\pi]$.

\item Comme pour tout $x$, $f(\pi-x)=f(x)$, la courbe $\mathscr{C}_f$ st symétrique par rapport à la droite d'équation $=\dfrac{\pi}{2}$, donc on peut se restreindre à étudier $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\end{enumerate}

\item %Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-6\sin x\sin 2x$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme somme et composée de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=3\sin'(3x)-3\sin'(x)=3\cos(3x)-3\cos(x)\\
=3\left(\cos(3x)-\cos(x)\right)\\
=3(\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)-\cos(x))\\
=3\left[\left(1-2\sin^2(x)\right)\cos(x)-\sin(x)\sin(2x)-\cos(x)\right]\\
=3\left[\cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(2x)-\cos(x)\right]\\
=3\left[-2\sin^2(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(2x)\right]\\
=-3\sin(x)\left[2\sin(x)\cos(x)+\sin(2x)\right]\\=-3\sin(x)[\sin(2x)+\sin(2x)]=\boxed{\textcolor{red}{-6\sin(x)\sin(2x)}}$.

\item %Étudier les variations de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
On se restreint à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.\\
Sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\sin(x)\geqslant 0$.\\
Pour $x\in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $2x\in[0~;~\pi]$, donc $\sin(2x)\geqslant 0$.\\
On en déduit que $f'(x)\leqslant 0$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow \sin(x)=0$ ou $\sin(2x)=0$, donc $f'(x)=0$ pour $x=0$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}$.\\
On en déduit le tableau de variation sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
f'(x)&0&-&0\\
\hline
\m{f(0)}&\h{0}&\d&-4\\
\end{variations}
\end{center}

\item %Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-2\pi~;~2\pi]$
On commence par tracer la courbe sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ ; pour avoir la courbe sur $[0~;~\pi]$, on effectue une symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$.\\
Comme la fonction est impaire,  la courbe est symétrique par rapport à O, ce qui permet de tracer la courbe sur $[-\pi~;~\pi]$.\\
Comme $f$ est $2\pi-\text{périodique}$, on translate la partie de la courbe obtenue sur $[-\pi~;~0]$ pour tracer la partie sur $[\pi~;~2\pi]$ en effectuant une translation de vecteur $2\pi\overrightarrow{i}$.

\end{enumerate}

\end{multicols}


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,trigLabels=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-5)(7,5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,trigLabelBase=2,dx=\psPiH, xunit=\psPiTwo,trigLabels,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-5)(7,5)
\psaxes[trigLabelBase=2,dx=\psPiH, xunit=\psPiTwo,trigLabels]{->}(0,0)(-6.5,-4.2)(6.5,4.2)[$x$,0][$y$,90]
%\SpecialCoor % For label positionning
%\psaxes[labels=y,Dx=\pstPI4]{->}(0,0)(-6.3,-4.5)(6.3,4.5)
\psset{algebraic}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-6.283185307179586}{6.283185307179586}{sin(3*x)-3*sin(x)}
\rput[bl](-6.1,-0.3){$f$}
\psline[linecolor=red]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
\psline[linecolor=red]{<->}(1.07,-4)(2.07,-4)
\psline[linecolor=red]{<->}(2.64,0)(3.64,0)
\psline[linecolor=red]{<->}(4.21,4)(5.21,4)
\psline[linecolor=red]{<->}(-1.07,4)(-2.07,4)
\psline[linecolor=red]{<->}(2.64,0)(3.64,0)
\psline[linecolor=red]{<->}(-4.21,-4)(-5.21,-4)
\psline[linecolor=red]{<->}(-2.64,0)(-3.64,0)
\psline[linecolor=red]{<->}(-6.78,0)(-5.78,0)
\psline[linecolor=red]{<->}(6.78,0)(5.78,0)
%\def\f{sin(3*x)-3*sin(x)}
%\psplotTangent[arrows=<->]{-0.5}{0.5}{\f}

\end{pspicture*}
\end{center}

Pour ceux qui ont oublié le cours de trigonométrie de première, voir \href{http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/TS-cours-rappelstrigo.pdf}{ici}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%\textbf{Notation} : soit $f$ une fonction que l'on peut dériver autant de fois que l'on veut (fonction indéfiniment dérivable) ; on note $f^{(n)}$ sa dérivée d'ordre $n$. Par conséquent $f'=f^{(1)}$, $f''=f^{(2)}$ et plus généralement $f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$.\\
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)$.\\
%Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$
Soit $P_n$ la proposition $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$.\\
Démontrons cette propriété par récurrence pour $n\geqslant 1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation }: Pour $n=1$, $f'(x)=\sin'(x)=\cos(x)$ et $\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(x)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(x)$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.

\item On suppose la propriété vraie pur un rang $n$ quelconque, donc $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$.\\
Alors $f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=1\times \sin'\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$.\\
Pr $\sin\left(x+(n+1)\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$ car $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(x)$.\\
On a donc $f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\sin\left(x+(n+1)\dfrac{\pi}{2}\right)$. La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0~;~+\infty[$.\\
On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
Soit $M$ un point quelconque de sa courbe représentative $\mathscr{C}$ et soit $A(1~;~0)$.
\begin{enumerate}
\item %‡Ä l'aide du logiciel Geogebra, conjecturer la position de M rendant la longueur AM minimale.
On conjecture que la longueur AM est minimale pour $x=\dfrac{1}2{}$.

\item %On note $x$ l'abscisse de M ; montrer que $\text{AM}=\sqrt{x^2-x+1}$.
A(1~;~0), $M(x~;~\sqrt{x})$.\\
$\text{A}M=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}=\sqrt{(x-1)^2+\left(\sqrt{x}-0\right)^2}=\sqrt{x^2-2x+1+x}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{x^2-x+1}}}$.

\item On note $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{x^2-x+1}$. $g$ est la fonction correspondant à la longueur $\text{A}M$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g'(x)$ puis étudier son signe.
$g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2-x+1$ d'où $g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ donc $g'(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}}}$.\\
Il est clair que $f'(x)$ est du signe de $2x-1$, donc positif pour $x\geqslant \dfrac{1}{2}$ et négatif pour $x\in\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.

\item% En déduire le tableau de variation de $g$.
Le tableau de variation de $g$ est donc : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\h{1}&\d&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\c&\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire l'abscisse de $x$ qui rend la distance AM minimale et donner cette longueur minimale.
La distance est minimale pour $x=\dfrac{1}{2}$ et vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x^3-3x-4$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (car c'est un polyn‡¥me) et, pour tout $x$, $g'(x)=3x^2-3=\boxed{\textcolor{red}{3(x+1)(x-1)}}$.\\
$g'(x)=0$ pour $x=-1$ ou $x=1$ ; $g'(x)$ est un polyn‡¥me du second degré ; il est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines. On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\h{g(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&-6&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, que l'on appellera $\alpha$.
D'après le tableau de variation, $g(x)<0$ sur $[-\infty~;~1]$.\\
$g$ est continue (polyn‡¥me), $g(1)<0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)++\infty$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une solution sur $[1~;~+\infty[$. Comme $g$ est croissante sur cet intervalle, cette solution est unique. Notons-la $\alpha$.\\

%Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
¿ la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 2,20}}$, à $10^{-2}$ près.

\item %En déduire le signe de $g(x)$.
On en déduit le signe de $g(x)$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction défiinie sur $]1;+\infty[$ par : $f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $f$ est dérivable et que $f'$ a le m‡™me signe que $g$ sur $]1.+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $]1~;~+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in]1~;~+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{\left(3x^2+4x\right)\left(x^2-1\right)-2x\left(x^3+2x^2\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\dfrac{3x^4-3x^2+4x^3-4x-2x^4-4x^3}{\left(x^2-1\right)^2}=\cdots=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}}}$.\\
Comme sur $]1~;~=\infty[$; $x$ et $\left(x^2-1\right)^2$ sont positifs, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.\\

\item %Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son intervalle de définition, construire le tableau de variation de $f$ et donner une valeur approchée de $f(\alpha)$.
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^2-1\right)=0$ (avec $x^2-1>0$, car $x>1$) ; $\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^3+2x^2\right)=3$, donc, par quotient, $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=+\infty$.\\
$f(x)=\dfrac{x^3\left(1+\frac2x\right)}{}x^2\left(1-\frac1{x^2}\right)=\dfrac{x\left(1+\frac2x\right)}{1-\frac1{x^2}}$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$..


On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}	\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que la droite d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique pour $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette asymptote.
$\forall x>1$, $f(x)-(x+2)=\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}-(x+2)=\dfrac{x^3+2x^2-x^2+x-2x^3+2}{x^2-1}=\dfrac{x+2}{x^2-1}$.\\
$\forall x>1$,  $\dfrac{x+2}{x^2-1}=\dfrac{x\left(1+\frac2x\right)}{x^2\left(1-\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1+\frac2x}{x\left(1-\frac1{x^2}\right)}$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[f(x)-(x+2)\right]=0$.\\
La droite d'équation $y=x+2$ est bien asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.

\item %Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{}_f$ en 2 est \\
$y=f'(2)(x-2)+f(2)$, soit $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{4}{9}x+\dfrac{56}{9}}}$.

\item %Construite $\mathscr{C}_f$, ses asymptotes et les tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points d'abscisses $\alpha$ et 2.

Graphique :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,10)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(5,10)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(5,10)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{1.000004}{5.0}{(x^3+2*x^2)/(x^2-1)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1}{3.5}{(--6.22-0.44*x)/1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1.0}{5.0}{x+2}
\rput[bl](1.36,11.2){$f$}
\rput[bl](-6.28,8.61){$a$}
\rput[bl](-6.28,-4.67){$g$}
\psline[linewidth=2pt](1,-1)(1,10)
\uput[d](4,6){$\Delta$}
\uput[r](1.2,8){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
\noindent $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^4-x^3+x^2-\dfrac{3}{4}x+1.\]
$\mathscr{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la dérivée $f'$, puis $f''$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x$, $f'(x)=4x^3-3x^2+2x-\dfrac{3}{4}$.\\
$f'$ est dérivable : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)=12x^2-6x+2=2\left(6x^2-3x+1\right)$.\\

\item %Étudier le signe de $f''$ ; en déduire le tableau de variations de $f'$.
Le discriminant  de $6x^2-3x+1$ est négatif, con, pour tout $x$, $2\left(6x^2-3x+1\right)>0$ (signe du coefficient de $x^2$).\\
On en déduit que $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}$.\\
Le tableau de variation de $f'$ est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{f'(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Calculer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ; en déduire le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.
$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ : on en déduit que \\
$f'(x)<0$ pour $x<\dfrac{1}{2}$ ; $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ et $f'(x)>0$ pour $x>\dfrac{1}{2}$.

\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
$f(x)$ est un polyn‡¥me ; en factorisant par le terme de plus haut degré, on trouve $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\frac12&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\frac{13}{16}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Donner les équations des tangentes $T$ et $T'$ à $\mathscr{C}$ en -1 et en 1.\\
Équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en -1 : $y=f'(-1)(x+1)+f(-1)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{39}{4}x-5}}$.\\
Équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 1 : $y=f'(1)(x-1)+f(1)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{9}{4}x-1}}$.\\
%Tracer les deux tangentes $T$, $T'$ et $\mathscr{C}$.
Tracé :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4,10)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(4,10)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(4,10)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{4.0}{x^4-x^3+x^2-3*x/4+1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0.5}{1.5}{(-1--2.25*x)/1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1.2}{-0.3}{(-5-9.75*x)/1}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](2,9){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
 Pour tout entier $n\geqslant 1$, on considère la fonction $f_n$ définie sur [0~;~1] par :\[f_n(x)=x^n\sqrt{1-x}.\]
 
 
\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f_1$ :
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f_1'(x)$ et déterminer son signe.
On a $f_1(x)=x\sqrt{1-x}$ ; $f_1=uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{1-x}$.\\
$f_1$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.\\
$f_1'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}$ car $v=\sqrt{w} $ avec $w(x)=1-x$ et $\left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2w}$.\\
On en déduit $f_1'(x)=1\times \sqrt{1-x}+x\times \left(-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)\\
=\sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-x}}=\dfrac{2\left(\sqrt{1-x}\right)^2-x}{2\sqrt{1-x}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}}}$.\\
$f_1'(x)$ est du signe de son numérateur car le dénominateur est positif ; $2-3x$ s'annule en $\dfrac{2}{3}$ et est positif sur $\left]0~;~\dfrac{3}{2}\right]$, donc négatif sur $\left[\dfrac{2}{3}~;~1\right]$
      
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f_1$.
On en déduit le tableau de variation de $f_1$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\dfrac{2}{3}&&1\\
\hline
f_1'(x)&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\h{f_1(x)}&\bb&0&\c&\h{\dfrac{2\sqrt{3}}{9}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire que la fonction $f_1$ admet sur [0~;~1] un maximum en une valeur $x_1$ que 
%l'on précisera.
On en déduit que $f_1$ admet un maximum en $x_1=\dfrac{2}{3}\in]0~;~1]$.
\end{enumerate}

\item Étude des fonctions $f_n$
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ de [0~;~1[, \[f_n'(x)=\dfrac{x^{n-1}[2n-(2n+1)x]}{2\sqrt{1-x}}.\]
On a un calcul analogue :\\
$f_n'(x)=nx^{n-1}\sqrt{1-x}+x^n\times (-1)\times \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\\
=nx^{n-1}-\dfrac{x^n}{2\sqrt{1-x}}=\dfrac{2nx^{n-1}(1-x)-x^n}{2\sqrt{1-x}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^{n-1}\left[2n(1-x)-x\right]}{2\sqrt{1-x}}}}$.

\item %Déterminer le signe de $f_n'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
Comme le dénominateur est positif, $f_n'(x)$ est du signe du numérateur ; \\
$f_n'(x)\geqslant 0$ sur $\left]0~;~\dfrac{2n}{2n+1}\right]$, nul en $x_n=\dfrac{2n}{2n+1}$ et positif sur $\left[\dfrac{2n}{2n+1}~;~1\right]$.\\
On en déduit le tableau de variation, analegue à celui de $f_1$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\dfrac{2n}{2n+1}&&1\\
\hline
f_1'(x)&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\h{f_1(x)}&\bb&0&\c&\h{f\left(\dfrac{2n}{2n+1}\right)}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item %En déduire que, pour tout entier $n\geqslant 1$, la fonction $f_n$ admet sur [0~;~1] un maximum en une valeur $x_n$ que l'on précisera.
On en déduit que $f_n$ a un maximum sur $]0~;~1[$ en $x_n=\dfrac{2n}{2n+1}$.
\end{enumerate}

\item Étude de la suite $\left(x_n\right)$
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(x_n\right)$ est croissante.
On a trouvé $x_n=\dfrac{2n}{2n+1}$.\\
Pour tout $n$, $x_{n+1}-x_n=\dfrac{2(n+1)}{2n+3}-\dfrac{2n}{2n}=\cdots\\
=\dfrac{2}{(2n+1)(2n+3)}>0$ donc la suite $\left(x_n\right)$ est croisante.

\item %Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n$
Pour tout $n$, $x_n=\dfrac{2n}{2n\left(1+\frac{1}{2n}\right)}=\dfrac{1}{1+\frac1{2n}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=1}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}

%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}
