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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit (E) l'équation $x^4+4x^2-21=0$.\\
C'est une équation \textbf{\textcolor{red}{bicarrée}}. On effectue le changement de variable : $X=x^2$.\\
$\text{(E)}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}X=x^2\\X^2+4X-21=0\end{array}\right.$.\\
Résolvons l'équation (E') : $X^2+4X-21=0$.\\
$\Delta=100>0$ ; l'équation (E') a deux solutions réelles : $X_{1}=-7$ et $X_{2}=3$.\\
On revient à l'équation initiale en résolvant les équations $x^2=X_{1}$ et $x^2=X_{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x^2=X_{1}=-7$ n'a pas de solutions dans $\mathbb{R}$, car $-7<0$.

\item $x^2=X_{1}=3$ a \textbf{\textcolor{red}{deux}} solutions dans $\mathbb{R}$ : $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.\\
(Attention à ne pas oublier la solution négative !)
\end{enumerate}
L'équation (E) a pour solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\}}}$

\subsection{}
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{(2x+1)(3x-4)}{(x+1)(x+3)}\leqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition  est $\mathbb{R}\setminus\{-3~;~-1\}$

\item Le numérateur s'annule pour $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=\dfrac{4}{3}$

\item Le numérateur est un trinôme du second degré, du signe du coefficient de $x^{2}$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines, de même que pour le dénominateur.
\end{enumerate}
On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-1&&-\dfrac{1}{2}&&\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
(2x+1)(3x-4)&&+&\bb&+&\bb&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
(x+1)(x+3)&&+&\bb&-&\bb&+&\z&+&\z&+&\\
\hline
\dfrac{(2x+1)(3x-4)}{(x+1)(x+3)}&&+&\bb&-&\bb&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}
On voulait que l'expression fût inférieure ou égale à 0. L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-3~;~-1[\cup\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{4}{3}\right]}}$.

\subsection{}
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n\geqslant 6$, \[2^{n}>6n+7.\]
On note $P_{n}$ cette propriété.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation :}} Pour $n=6$, $2^{6}=64$ et $6n+7=6\times 6+7=43$ donc $2^{6}\geqslant 6\times 6+7$.\\
La propriété est vraie pour $n=6$

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque avec $n\geqslant 6$, donc $2^{n}\geqslant 6n+7$.\\
Alors : $2^{n+1}=2\times 2^{n}\geqslant 2\times (6n+7)=12n+14=6(n+1)+7+n+1\\
\geqslant 6(n+1)+7$ donc la propriété est vraie au rang $n+2$.\\
Enne est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 6$.

\subsection{}
$P(n)$ est la propriété : \og{} $4^{n}+1$ est un multiple de 3\fg{} où $n$ désigne un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item Supposons la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc, il existe un entier $k_{n}\in\mathbb{Z}$ tel que $4^{n}+1=3k_{n}$, d'où $4^{n}=3k_{n}-1$.\\
Alors : $4^{n+1}+1=4\times 4^{n}+1=4\times \left(3k_{n}-1\right)+1=12k_{n}-3=3\left(4k_{n}-1\right)=3k_{n+1}$ en posant $k_{n+1}=4k_{n}-1$.\\
On obtient bien un multiple de 3, donc la propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\item Elle est \textbf{\textcolor{red}{fausse}} pour $n=0$ donc on ne peut pas en déduire qu'elle est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ (elle est même fausse pour tout $n$).
\end{enumerate}

\subsection{}
$t$ est la suite définie par $t_{0}=0$ et, pour tout entier naturel $n$, \[t_{n+1}=t_{n}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\]
\begin{enumerate}
\item On truve $t_{1}=\dfrac{1}{2}$, $t_{2}=\dfrac{2}{3}$, $t_{3}=\dfrac{3}{4}$.

\item On conjecture que $t_{n}=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item Démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation} :} Pour $n=0$, $\dfrac{n}{n+1}=0=t_{0}$ donc la propriété est vraie pour $n=:0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $t_{,n}=\dfrac{n}{n+1}$.\\
Alors : $t_{n+1}=t_{n}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n+1}{n+2}}}$ après simplification.\\
La propriété est donc vraie au rang $n+1$, donc elle est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$, donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{t_{n}=\dfrac{n}{n+1}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On remarque que chaque étape du coloriage consiste à colorier un neuvième de la surface non coloriée jusque là.\\
Par conséquent : pour tout $n\geqslant 1$n, \\
$A_{n+1}=A_{n}+\dfrac{1}{9}\left(1-A_{n}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{9}A_{n}+\dfrac{1}{9}}}$.

\item Pour tout $n\geqslant 1$, on pose $B_{n}=A_{n}-1$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\geqslant 1$, $B_{n+1}=A_{n+1}-1=\dfrac{8}{9}A_{n}+\dfrac{1}{9}-1=\dfrac{8}{9}A_{n}-\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{9}\left(A_{n}-1\right)=\dfrac{8}{9}B_{n}$.\\
$\forall n\geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{B_{n+1}=\dfrac{8}{9}B_{n}}}$.\\
La suite $\left(B_{n}\right)$ est géométrique, de raison $q=\dfrac{8}{9}$ et de premier terme $B_{1}=-\dfrac{8}{9}$.

\item On en déduit que, pour tout $n\geqslant 1$, $B_{n}=B_{1}q^{n-1}=-\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{8}{9}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{8}{9}^{n}\right)$ puis $A_{n}=B_{n}+1=1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^{n}$

\item Comme $-1<\dfrac{8}{9}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{8}{9}\right)^{n}=0$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}A_{n}=1}}$.\\
La surface coloriée a une aire qui tend vers celle du carré initial, même si elle a des trous partout !

\item On cherche $n$ tel que $A_{n}\geqslant 0,85$ ; à la calculatrice, on trouve $n\geqslant 17$. On verra plus tard avec la fonction logarithme comment trouver sans tâtonnement la valeur de $n$ la plus petite qui convient.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  