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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Alph{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}

\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 5 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
16 mars 2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 5 (4 heures)}}
}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\vspace{1cm}




%\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie mars 2016
\label{complexes}
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout $n$, par
$z_0 = 1$ et $z_{n+1} = \left(1 + \i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$.

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ de l'annexe 2.

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
$1+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos\frac\pi6+\mathrm{i}\sin\frac\pi6\right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}$. $\text{remarque :} \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\left\vert 1+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right\vert$
% \left | 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right |^2= 1^2 + \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )^2= \dfrac{4}{3}$ donc 
%$\left | 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right | = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$  ;
%$1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2}  \right )$
%
%On cherche $\theta$ tel que 
%$\left\lbrace 
%\begin{array}{l !{=} l}
%\cos \theta & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt]
%\sin \theta & \dfrac{1}{2}
%\end{array}
%\right. $
%donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

On a donc $\boxed{\textcolor{red}{1+\i \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{6}}}}$.

		\item% En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
		On pose $a=1+\i \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$.
		
$z_1 =az_0 \left(1 + \i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) z_0 =a= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{6}}}}$

$z_2 =az_1=a^2z_0=a^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{6}}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{4}{3} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{3}}}}$

	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,
Soit $P_n$ la propriété
\og{}$z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \mathrm{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}$\fg{}

\noindent Effectuons une démonstration par récurrence.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$ : $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^0 \text{e}^{\text{i}\times 0 \times\frac{\pi}{6}} = 1$; donc $P_0$ est vraie.

\item On suppose $P_p$ vraie pour $p\geqslant  0$, c'est-à-dire
$z_p = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \mathrm{e}^{\i p\frac{\pi}{6}}$

$z_{p+1} = \left(1 + \i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) z_p
= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\i \frac{\pi}{6}} \times  \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \mathrm{e}^{\i p\frac{\pi}{6}}
= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{p+1} \mathrm{e}^{\i (p+1)\frac{\pi}{6}}$

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\end{list}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$.

\noindent Pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \mathrm{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}}}$.

		\item% Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
Les points $O$ d'affixe 0, et $A_{0}$ d'affixe $z_0=1$ sont situés sur l'axe des réels; donc les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si et seulement si le point $A_n$ est sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vaut $k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

Un argument de $z_n$ est $n\dfrac{\pi}{6}$; on doit donc avoir:
$n\dfrac{\pi}{6} = k\pi,~k\in\mathbb{N}$ ce qui équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{n=6k,~k\in\mathbb{N}}}$.

Les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si \textbf{\textcolor{red}{n est un multiple de 6}}.
		
	\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.

	\begin{enumerate}
		\item% Interpréter géométriquement $d_n$.
$d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$ donc $d_n$ représente la distance entre les points $A_{n}$ et $A_{n+1}$: $\boxed{\textcolor{red}{d_n= A_{n}A_{n+1}}}$

		\item% Calculer $d_0$.
$d_0= \vert z_1-z_0 \vert = \left | 1+ \i\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right |
= \left | \i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right |
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\sqrt{3}}{3}}}$


		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
%$\begin{array}[t]{l r !{=} l}
Pour tout $n$, $z_{n+2}-z_{n+1}=az{n+1}-az_n=a\left(z_{n+1}-z_n\right)=\boxed{\textcolor{red}{\left(1+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(z_{n+1}-z_n\right)}}$
		
		\item% En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$  est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,
On en déduit que:

$d_{n+1}
= \left|z_{n+2} -z_{n+1}\right | 
= \left | \left ( 1+\i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\right |
= \left | 1+\i \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right | \times \left |z_{n+1}-z_n\right |
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n}}$

On sait que $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ donc on peut dire que la suite $(d_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}}$ et de raison $\boxed{\textcolor{red}{q = \dfrac{2}{\sqrt{3}}}}$.

D'après les propriétés des suites géométriques, 
$d_n = d_0\times q^n = \boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n}}$ pour tout $n$.
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,
D'après les questions précédentes, pour tout $n$:

$\left | z_{n} \right |= \left | \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n} \mathrm{e}^{\i n\frac{\pi}{6}} \right |
=
\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n} \times  \left |\mathrm{e}^{\i n\frac{\pi}{6}} \right |
=
\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n}\times 1
=
\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n}$
donc
$\left | z_{n} \right |^2 = \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2n}$


De même $\left | z_{n+1} \right |= \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n+1}$ donc 

$\left | z_{n+1} \right |^2= \left (\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{n+1}\right )^2 = 
\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2n+2}
=
\left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2} \times \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2n}$

$d_n= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$
donc 
$d_n^{2}= \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \left (\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$ 

$\left | z_{n} \right |^2  + d_n^2 = \left (\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2n} + \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\left | z_{n+1} \right |^2
$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\left | z_{n} \right |^2  + d_n^2=\left\vert z_{n+1} \right\vert^2}}$

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
On sait que 
$\left | z_{n+1} \right | = OA_{n+1}$,
que
$\left | z_{n} \right | = OA_{n}$
et que
$d_n=A_{n}A_{n+1}$

Donc $\left | z_{n+1} \right |^2 = \left | z_{n} \right |^2  + d_n^2$
équivaut à
$OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_{n}A_{n+1}^2$

D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

		\item% Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
Voir construction de $A_5$ en annexe (on remarque que l'on n'a pas droit à l'équerre !).

		\item% Justifier cette construction.
\begin{list}{\textbullet}{}

\item Le triangle $OA_4A_5$ est rectangle en $A_4$ donc le point $A_5$ est sur la droite $d$ perpendiculaire à $(OA_4)$ passant par $A_4$. On trace cette perpendiculaire $d$ comme médiatrice du segment ayant pour extrémités deux points $i$ et $j$ de la droite $(OA_4)$ symétriques autour de $A_4$. (voir la figure)
\item $z_5$ a pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$ et $z_3$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{6}$; donc l'angle $\left ( \overrightarrow{OA_3}\,,\,\overrightarrow{OA_5}\right )$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$. On trace donc le triangle équilatéral direct $OA_3A'_3$ et le point $A_5$ appartient à $(OA'_3)$.
\end{list}

Le point $A_5$ est à l'intersection des droites $d$ et $(OA'_3)$.

On peut également construire ce point $A_5$  à l'intersection de la droite $(OA'_3)$ et du cercle de diamètre $\left[\text{O}A_6 \right]$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\subsection{}%\textcolor{red}{Livre Belin Radial \no  112 page 221} Pondichéry avril 2004



 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que $u_n<1$ pour tout $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=0<1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item Supposons que $u_n<1$ pour un entier $n$.

\noindent Alors : $u_n<1\Rightarrow -u_n>-1\Rightarrow 2-u_n>1\Rightarrow \dfrac{1}{2-u_n}<1$ (car la fonction inverse est décroissante sir $]0~;~+\infty[$), donc $u_{n+1}<1$.

\noindent La propriété est héréditaire
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $u_n<1$ pour tout $n$.

Comme $u_n<1$ pour tout $n$, les termes sont tous définis (dénominateurs jamais nuls).



\item On a $u_{0} = \boxed{\textcolor{red}{0}},~u_{1} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}}},~u_{2} = \dfrac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$ et $u_{3} = \dfrac{1} {2 - \frac{2}{3}} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.
		 

\item On a de façon évidente : $\boxed{\textcolor{red}{w_{0} =  u_{0}}}$,~$\boxed{\textcolor{red}{w_{1} =  u_{1}}}$~$\boxed{\textcolor{red}{w_{2} =  u_{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{w_{3} =  u_{3}}}$.

\item Par définition : $w_n=\dfrac{n}{n+1}$. Pour tout $n$, $\dfrac{1}{2-w_n}=\dfrac{1}{2-\frac{n}{n+1}}=\dfrac{1}{\frac{2(n+1)-n}{n+1}}=\dfrac{1}{\frac{n+2}{n+1}}=\dfrac{n+1}{n+2}=w_{n+1}$, donc la suite $\left(w_n\right)$ suit la même relation de récurrence que la suite $\left(u_n\right)$.

\item Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=w_n$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $w_{0} = 0= u_{0}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose que pour $n > 0,~u_{n} = w_{n} = \dfrac{n}{n+1}$.

On a par définition : $u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_{n}} = \dfrac{1}{2 - w_n}= w_{n+1}$ donc $u_{n+1}=w_{n+-1}$.

\end{enumerate}
On a montré par récurrence que pour tout naturel $n,~u_{n} = w_{n} = \dfrac{n}{n+1}$.
\end{enumerate}


\item La suite définie par $v_{n} = \ln \left(\dfrac{n}{n+1} \right)$ est définie pour $n > 0$.



\begin{enumerate}
\item  On calcule la somme : $v_{1} + v_{2}+ v_{3} = \ln \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{2}{3} + \ln \dfrac{3}{4} = \ln \dfrac{1 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 4} = \ln \dfrac{1}{4} =\boxed{\textcolor{red}{ - \ln 4}}$.
		
 

\item On calcule de même \[_{n} = v_{1}+ v_{2}+ \cdots + v_{n} = \ln \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{2}{3} + \cdots + \ln \dfrac{n}{n+1} = \ln \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n}{2 \times 3 \times \cdots \times n \times (n+1)} = \ln \dfrac{1}{n+1} =\boxed{\textcolor{red}{ - \ln (n+1).}}\]
		
On a $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \ln (n+1) = + \infty$, donc 
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} S_{n} = - \infty}}.\]

\end{enumerate}

\end{enumerate}


%\end{multicols}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Exercice \no 145 page 152 livre Repères} Centres étrangers juin 2009
%Soit $n$ un entier naturel.

%On note $f_{n}$, la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
%\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
%On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

%\bigskip

%\psset{unit=5.8cm}
%\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
%\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
%\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
%\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
%\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
%\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\end{pspicture}


\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}} %\emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.
Soient $n$ et $p$ deux naturels distincts. 

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f_n(0)=\dfrac{1}{2}$ donc le point A$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à toutes les courbes $\mathscr{C}_n$.

On peut même montrer que c'est le seul point commun :

\noindent $f_{n}(x) = f_{p}(x) \iff \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} = \dfrac{\text{e}^{-px}}{1 + \text{e}^{-x}} \iff \text{e}^{-nx} = \text{e}^{-px}~(\text{car}~ 1 + \text{e}^{-x} > 0) \iff -nx = - px \iff x = 0 ~(\text{car} n \neq p)$. (car par croissance de la fonction $\exp$, $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}\Leftrightarrow a=b$)

Toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ contiennent le point $A\left(0~,~\dfrac{1}{2}\right)$. 

\item Étude de la fonction $f_{0}$, seul point commun à toutes les courbes.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de $f_{0}$.
	$f_{0}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}$.
	
Cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'_{0}(x) = -\dfrac{- \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{ \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2}}}$. On a utilisé la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}$.

\noindent Comme $\text{e}^{-x} > 0$  et $\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2 > $, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'_{0}(x) > 0}}$.

La fonction $f_{0}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $\mathbb{R}$.
	\item %Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
$\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} =\lim_{X\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{X} + \infty$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to - \infty} f_{n}(x) = 0}}$.

\noindent Ceci signifie que l'axe des abscisses est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à la   courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $- \infty$.

On sait  que $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $ \boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1}}$.

Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote horizontale}} à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $+ \infty$.

	\item   %Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
Tableau très simple : sur $\mathbb{R},~f_{0}$ cro\^{\i}t de 0 à 1.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f_0'(x)&&+&\\
\hline
\m{f_0(x)}&0&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f_{1}(-x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1}{\text{e}^{-x} + 1} =\boxed{\textcolor{red}{ f_{0}(x)}}$ en multipliant chaque terme par le facteur non nul $\text{e}^{-x}.$ 

	\item %En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation.
On a $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(-x) =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(x) =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1$

De même  $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(-x) =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x) =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{0}(x) = 0$.

Comme $f_{0}(x) = f_{1}(-x), f_{0}$ fonction croissante est la composée de $f_{1}$ et de la fonction $x \longmapsto -x$ qui est décroissante. Il en résulte que $f_{1}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

On peut aussi remarquer que $f_1(x)=f_0(-x)$, donc $f_1'(x)=-f_0(x)<0$.

	\item %Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
$f_{0}(x) = f_{1}(-x)$ signifie que deux points d'abscisses $x$ et $-x$ de $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$  ont la même ordonnée : ces points sont symétriques par rapport à (O$y$).

$\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ sont \textbf{\textcolor{red}{symétriques}} par rapport de l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
%		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]
$f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}$. En multipliant chaque terme par $\text{e}^{nx} > 0,~f_{n}(x) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.}}$

	\item  %Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
Pour $p \geqslant 2, \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{px} = + \infty$, donc en utilisant l'écriture du \textbf{a.}, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty}  f_{n}(x) = 0}}.$

\bigskip

Limite en $- \infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{nx} = 0_{+}$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{(n - 1)x} = 0_{+}$ donc par limite de l'inverse $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = + \infty}}$

	\item  %Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$.
$f_{n}$ quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car 
$\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}> 0$.

En utilisant l'écriture trouvée au début de la question :

\[\boxed{\textcolor{red}{f'_{n}(x) = - \dfrac{n\text{e}^{nx} + (n - 1)\text{e}^{(n - 1)x}}{\left(\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x} \right)^2}}}.\]

Comme $n \geqslant 2$, cette dérivée est négative quel que soit $x$ réel. Les fonctions ($f_{n},~n \geqslant 2$) sont donc décroissantes de $+ \infty$ à $0$. 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f_n'(s)&&-&\\
\hline
\m{f_n(x)}&\h{\pI}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip





\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2016}
\emph{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation
\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item% Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
Le point A(1~;~1~;~1) appartient au plan $P_m$ si et seulement si
$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text A} + (m - 1)y_{\text A} + \dfrac{1}{2} mz_{\text A} - 3 = 0\\
\iff
\dfrac{1}{4} m^2 + (m - 1) + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0
\iff
\dfrac{1}{4}m^2 + \dfrac{3}{2}m - 4=0
\iff
\boxed{\textcolor{red}{m^2+6m-16=0 }}$

$\Delta = 36+64=100$ donc cette équation admet deux solutions 
$m'=\dfrac{-6+10}{2}=2$ et $m''=\dfrac{-6-10}{2}=-8$.

Le point A appartient au plan $P_m$ pour $\boxed{\textcolor{red}{m=2}}$ ou $\boxed{\textcolor{red}{m=-8}}$.


\item% Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique

%\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 12 - 2t\\
%y &=& 9 - 2t\\ 
%z &=&t
%\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\]

Le plan $P_1$ a pour équation $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$ ou encore $x+2z-12=0$.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$.

On cherche l'intersection de ces deux plans:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x+2z-12 & 0\\
4x-5y-2z-3 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -4(12-2z)+2z+3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -48+8z+2z+3
\end{array}
\right.\\
\phantom{\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x+2z-12 & 0\\
4x-5y-2z-3 & 0
\end{array}
\right. }
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
-5y & -45+10z
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
y & 9 -2z
\end{array}
\right.
$

En posant $z=t$, on peut dire que les plans $P_{1}$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
$\boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x &  12 - 2t\\
y &  9 - 2t\\ 
z & t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb{R}}}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
Le plan $P_0$ a pour équation $-y-3=0$.

Pour déterminer l'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$, on résout le système:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2t\\
y & 9 -2t\\
z & t\\
-y-3 & \multicolumn{1}{l}{0}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
-3 & 9 -2t\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
t & 6\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 0\\
y & -3\\
z & 6\\
t & 6 
\end{array}
\right.$

L'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$ est donc le point $\boxed{\textcolor{red}{\text{B}\:(0\,;\,-3\,;\,6)}}$.

		\item% Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$.

On regarde si les coordonnées du point B vérifient l'équation du plan $P_m$:

$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text B} + (m - 1)y_{\text B} + \dfrac{1}{2} mz_{\text B} - 3
= 0+(m-1)(-3)+\dfrac{1}{2}m\times 6 - 3
= -3m+3+3m-3=0$

Donc le point \textbf{\textcolor{red}{B appartient au plan $\mathbf{P_m}$}}, quelle que soit la valeur du réel $m$.

		\item% Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
Soit H\,$(a\,;\,b\,;\,c)$ un point qui appartient au plan $P_m$ pour tout réel $m$.

Cela signifie que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan pour tout réel $m$:

$\dfrac{1}{4} m^2 a + (m - 1) b + \dfrac{1}{2} m c - 3 = 0$

\begin{list}{\textbullet}{On donne à $m$ des valeurs particulières:}

\item Pour $m=0$, on obtient $-b-3=0$ donc $b=-3$.

\item Pour $m=2$, on obtient $a + (2-1)(-3) + c - 3 = 0$, soit $a+c=6$.

\item Pour $m=-2$, on obtient $a + (-2-1)(-3) - c - 3 = 0$, soit $a-c=-6$.

\end{list}

On résout le système 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a+c & 6\\
a-c & -6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
2a & 0\\
a+c & 6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0\\
c & 6
\end{array}
\right. $

Le point H a donc pour coordonnées $(0\,;\,-3\,;\,6)$ donc c'est le point B.

Le point B est l'unique point appartenant à tous les plans $P_m$ quelle que soit la valeur de $m$.

	\end{enumerate}

\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que

\hfill $- 10 \leqslant  m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m' \leqslant 10$\hfill{}

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

	\begin{enumerate}

		\item% Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.

Le plan $P_1$ a pour équation $x+ 2z-12=0$ donc a pour vecteur normal $\overrightarrow n_1\;\left (1\,;\, 0 \,;\, 2\right )$.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$ donc a pour vecteur normal $\overrightarrow n_{-4}\;\left (4\,;\, -5 \,;\, -2\right )$.

$\overrightarrow n_1 . \overrightarrow n_{-4}=1\times 4 + 0 + 2\times (-2) \boxed{\textcolor{red}{= 0}}$ donc les vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{orthogonaux}}.

Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}}.

		\item% Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$ donc pour vecteur normal \\$\overrightarrow n\;\left (\dfrac{1}{4}m^2\,;\, m-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m\right )$.

Le plan $P_{m'}$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m'^2x + (m' - 1)y + \dfrac{1}{2} m'z - 3 = 0$ donc pour vecteur normal $\overrightarrow n'\;\left (\dfrac{1}{4}m'^2\,;\, m'-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m' \right )$.

les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux:

$P_m \perp P_{m'}
\iff
\overrightarrow n \perp \overrightarrow n'
\iff 
\overrightarrow n . \overrightarrow n' = 0
\iff
\dfrac{1}{4}m \times \dfrac{1}{4}m' + (m-1)(m'-1)+ \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m'=0\\
\phantom{P_m \perp P_{m'}}
\iff
\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0}}$.

\noindent Remarque : cette égalité se transforme, en multipliant par 16, en :
\[\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\]
		
		\item On donne l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline		
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
		
\medskip		
		
%Quel est le rôle de cet algorithme?
Cet algorithme affiche tous les couples $(m\,;\,m')$ d'entiers compris entre $-10$ et 10 pour lesquels \\
$\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$, c'est-à-dire pour lesquels les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$.	
%Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

Le nombres $m$ et $m'$ \textbf{\textcolor{red}{jouant le même rôle}} (symétrie entre $m$ et $m'$) , les autres couples sont $(1~;~-4)$, $(1~;~0)$ et $(-4~;~5)$.

Les six couples seront affichés dans cet ordre:

\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{(- 4~;~1)~;~(-4~;~5)~;~(0~;~1)~;~(1~;~-4)~;~(1~;~0)~;~(5~;~- 4)}}$
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

%\begin{landscape}


\vspace{1.5cm}

\begin{center}

\medskip
\textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE  DE L'}\ref{complexes}}

\bigskip

\psset{unit=4cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,4.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.3704;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$} 
\uput[ur](1.1547;30){$A_1$} 
\uput[ur](1.3333;60){$A_2$} 
\uput[ur](1.5396;90){$A_3$}
\uput[u](1.7778;120){$A_4$}
\uput[u](2.3704;180){$A_6$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\pstGeonode[PointName=none](0,0){O}(1.7778;120){A_4}(1.5396;90){A_3}(2.0528;150){A_5}(2.3704;180){A_6}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.1]{O}{A_4}{A_5}
\pstMarkAngle[Mark=none,LabelSep=0.5,arrows=->]{A_4}{O}{A_5}{$\frac{\pi}{6}$}
\uput[u](2.0528;150){$A_5$}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_5}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_4}
\pstLineAB[nodesep=-1.2]{A_4}{A_5}
\pstRotation[RotAngle=60,PosAngle=90]{O}{A_3}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.5396}{85}{155}
\psarc[linestyle=dashed](1.5396;90){1.5396}{205}{275}
%\pstCircleAB{O}{A_6}
\psdots(-0.62, 1.07)(-1.16,2.01)(-0.08,2.01)(-1.7,1.07)
\psline[linestyle=dashed](-1.16,2.01)(-1.7,1.07)
\psline[linestyle=dashed](-1.16,2.01)(-0.08,2.01)
\psline[linestyle=dashed](-0.62, 1.07)(-1.7,1.07)
\psline[linestyle=dashed](-0.62, 1.07)(-0.08,2.01)
\uput[l](-0.62, 1.07){I}
\uput[l](-1.16,2.01){J}
\psline(-2.02, 3.49)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item On obtient à l’aide de la calculatrice :

$M^2=\begin{pmatrix}6&2&3\\4&4&1\\10&4&7\end{pmatrix}$

\item $M^2+8M+6I$

$=\begin{pmatrix}6&2&3\\4&4&1\\10&4&7\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}8&8&8\\8&-8&8\\32&16&8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}20&10&11\\12&2&9\\12&20&21\end{pmatrix}=M^3$.

Ainsi a-t-on :

$M^3=M2+8M+6I\Leftrightarrow M^3–M^2–8M=6I$

$\Leftrightarrow M\left(M^2–M–8I\right)=6I$

$\Leftrightarrow M\times \dfrac{1}{6}\left(M^2–M–8I\right)=I$

Ainsi M est inversible d’inverse $\boxed{\textcolor{red}{M^{-1}=\dfrac{1}{6}\left(M^2–M–8I\right)}}$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B Etude d’un cas particulier}}

\begin{enumerate}


\item Les points A, B et C appartiennent à la parabole. Leurs coordonnées vérifient donc l’équation $y=ax^2+bx+c$.
    
On obtient ainsi :
$\begin{cases}
a+b+c=1a–b+c=1\\a-b+c=-1\\4a+2b+c=5
\end{cases}\Leftrightarrow  \begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\4&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}$

\item Ainsi a-t-on :

$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\1&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}$

$=\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$ et l'on obtient bien des nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C Retour au cas général}}


\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\1&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}
-\dfrac{1}2{p+\dfrac{1}{6}q+\dfrac{1}{3}r}=a\\
\dfrac{1}{2}p-\dfrac{1}{2}q=b\\
p+\dfrac{1}{3}q-\dfrac{1}{3}r=c
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}
-3p+q+2e=6a\\
3p-3q=6b\\
6p+2q-2r=c
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
-3p+q+2e\equiv 0~[6]\\
3p-3q\equiv 0~[6]\\
6p+2q-2r\equiv 0~[6]

\end{cases}$


\item On considère l’équation $3p–3q\equiv 0~[6]$

$3p–3q\equiv 0~[6]\Leftrightarrow 3(p–q)\equiv 0~[6].$

\noindent Puisque $3(p-q)$ est un multiple de 6, cela signifie  que $p-q$ est un multiple de 2 et par conséquent $\boxed{\textcolor{red}{p-q\equiv 0~[2]}}$.

Si, à partir du système précédent, on effectue le calcul $2L_1+L_3$ on obtient :

$4q+2r\equiv 0~[6] \Leftrightarrow 2(2q+r)\equiv 0~[6]$
Par conséquent $2q+r\equiv 0~[3]$ or $2\equiv -1~[3]$.

Ainsi a-t-on $-q+r\equiv 0~[3]$ soit $\boxed{\textcolor{red}{q-r\equiv 0~[3]}}$

Par conséquent : 
$\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}
q-r\equiv 0~[3]\\
p-q\equiv 0~[2]
\end{cases}}}$

\item 


\begin{enumerate}
\item  A, B et C sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.

\noindent Or $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\q\\-p)\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\r\\-p\end{pmatrix}$.

\noindent Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si :

$-2(r-p)=q-p \Leftrightarrow -2r+2p=q-p $

$\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{2r+q-3p=0}}$

\item Puisque $p=7$ et que $p–q\equiv 0~[2]$ cela signifie qu’il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $q=7+2k$.

\noindent Puisque $q–r\equiv 0~[3]$ alors il existe $k'\in\mathbb{Z}$ tel que $r=q+3k'=7+2k+3k'$.

Il ne faut pas que  $2r+q–3p=0\Leftrightarrow 14+4k+6k'+7+2k–21=0\Leftrightarrow 6(k+k')=0$

$\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{k'=-k}}.$

Prenons par exemple $k=1$ et $k'=1$.

\noindent On obtient ainsi $q=9$, $r=12$.

En utilisant $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=M^ {-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$, on trouve :
\[\boxed{\textcolor{red}{a=2\hspace{2cm}b=-1\hspace{2cm}c=6}}\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}


\end{document}  