\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 18cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,1cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Correction du devoir sur table \no 3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
05 décembre 2015-2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du devoir sur table commun \no 3}}
}\end{center}

%Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I : Amérique du sud novembre 215}}

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.
\end{itemize}

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

\medskip

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
La population totale est constante et égale à 120 millions donc, pour tout entier naturel $n$, on peut dire que 

\[\boxed{\textcolor{red}{u_n+v_n=120}}\hfill.\]\marginpar{0,25 pt}

\item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

%Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B&C\\ \hline
%1&$n$		&Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline
%2&0	&90 		&30\\ \hline
%3&1	&82,5 		&37,5\\ \hline
%4&2	&76,125 	&43,875\\ \hline
%5&3	&70,706 	&49,294\\ \hline
%6&4	&66,100 	&53,900\\ \hline
%7&5	&62,185 	&57.815\\ \hline
%8&6	&58,857 	&61,143\\ \hline
%9&7	&56,029 	&63,971\\ \hline
%10&8&53,625 	&66,375\\ \hline
%11&9&51,581 	&68,419\\ \hline
%12&10&49,844 	&70,156\\ \hline
%13&11&48,367 	&71,633\\ \hline
%14&12&47,112 	&72,888\\ \hline
%15&13&46,045 	&73,955\\ \hline
%16&14&45,138 	&74,862\\ \hline
%17&15&44,368 &75,632\\ \hline
%18&16&43,713 &76,287\\ \hline
%19&17&43,156 &76,844\\ \hline
%20&18&42,682 &77,318\\ \hline
%21&19&42,280 &77,720\\ \hline
%22&20&41,938 &78,062\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{m{1cm}}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
%59&57 &40,005 &79,995\\ \hline
%60&58 &40,004 &79,996\\ \hline
%61&59 &40,003 &79,997\\ \hline
%62&60 &40,003 &79,997\\ \hline
%63&61 &40,002 &79,998\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Dans B3 on entre la formule \fbox{\textcolor{red}{\texttt{=0,9*B2+0,05*C2}}}.

Dans C3 on entre la formule \fbox{\textcolor{red}{\texttt{=0,1*B2+0,95*C2}}}.\marginpar{0,5 pt}

\noindent Rappel : une formule de tabelur commence par = ; la multiplication se note avec $\star$, la virgule des nombres décimaux est un point.

\item% Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
D'après les données du tableur, la suite $(u_n)$ (donc le nombre de ruraux) semble \textbf{\textcolor{red}{décroître}} et \textbf{\textcolor{red}{tendre vers 40 millions}}, et la suite $(v_n)$ (donc le nombre de citadins) semble \textbf{\textcolor{red}{croître}} et \textbf{\textcolor{red}{tendre vers 80 millions}}.
\marginpar{0,5 pt}
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n>u_{n+1}$.

\noindent \textbf{Effectuons une démonstration  parr écurrence :}
\begin{list}{\textbullet}{}

\item $u_0=90$ et $u_1=0,85u_0+6 = 0,85\times 90 + 6 = 82,5$ donc $u_0>u_1$

La propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose la propriété vraie à un rang $p\geqslant0$, c'est-à-dire $u_p>u_{p+1}$.

$u_p>u_{p+1} \iff 0,85u_p>0,85u_{p+1} \iff 0,85u_p +6>0,85u_{p+1} +6 \iff u_{p+1} > u_{p+2} $

Donc la propriété est vraie au rang $p+1$; elle est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\item $\mathcal P_n$ est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc, d'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : Pour tout $n$, $u_n > u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\marginpar{0,5 pt}

		
		\item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$ (se montrerait facilement par récurrence), donc la suite $(u_n)$ est minorée par 0.
		
%:
Or, la suite était décroissante.

Donc, d'après le t\textbf{\textcolor{red}{héorème de la convergence monotone}}, la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente. }}\marginpar{0,25 pt}

%Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?

	\end{enumerate}
	
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$, donc $u_n=w_n+40$.

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\forall n\in\mathbb{N},\:w_{n+1}=u_{n+1}-40 = 0,85u_n+6-40 = 0,85(w_n+40)-34 = 0,85w_n+34-34=\boxed{\textcolor{red}{0,85w_n}}$

\item $w_0=u_0-40 = 90 - 40 = 50$

\end{list}

Donc la suite $(w_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=0,85$ et de premier terme $w_0=50$.\marginpar{0,5 pt}

		\item% En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout $n$: $\boxed{\textcolor{red}{w_n=w_0\times q^n = 50\times 0,85^n}}$

Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, on peut dire que $\boxed{\textcolor{red}{u_n=50\times 0,85^n + 40}}$\marginpar{0,5 pt}

		\item% Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$,
$\left. 
\begin{array}{l}
u_n+v_n=120\\
u_n=50\times 0,85^n + 40
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \boxed{\textcolor{red}{v_n=80- 50\times 0,85^n}}
$\marginpar{0,25 pt}

	\end{enumerate}

\item% Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout $n$, $w_n=50\times 0,85^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{w_n>0}}$

$w_{n+1}= 0,85 w_n < w_n$ et donc la suite $(w_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}. 

Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item $(w_n)$ est géométrique de raison $0,85$; or $-1<0,85 < 1$ donc la suite $(w_n)$ converge vers 0. Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $(u_n)$ \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers 40.  

\item Pour tout $n$, $v_n=120 - u_n$ et la suite $(u_n)$ est décroissante, donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item La suite $(u_n)$ est convergente vers 40 et, pour tout $n$, $v_n=120-u_n$, donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers $120-40=\boxed{\textcolor{red}{80}}$. \marginpar{0,25 pt}

\end{list}

\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
Entrée :		&$n$ et $u$ sont des nombres\\
Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\
				&$u$ prend la valeur $90$\\
Traitement :	&Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\
				&\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
				&\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}

		\item% Que fait cet algorithme ?
Dans cet algorithme, la variable $u$, initialisée à 90, représente le terme $u_n$, et $120-u$ représente donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n}}$.

On sort de la boucle \og tant que\fg{} dès que $u<120-u$ c'est-à-dire dès que $u_n <v_n$; l'algorithme affiche donc \fbox{\textcolor{red}{la plus petite valeur $n$ pour laquelle $u_n<v_n$}}.

C'est la plus petite valeur de $n$ pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.\marginpar{0,5 pt}

		\item% Quelle valeur affiche-t-il ?
D'après le tableur, $u_5>v_5$ et $u_6<v_6$ donc \fbox{\textcolor{red}{la valeur affichée sera 6}}.	\marginpar{0,25 pt}	
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II : Centres étrangers juin 2012}}
\begin{enumerate}
\item La droite (IJ) passe par $I\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, et elle est dirigée par $ \Vec{IJ}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\1\end{pmatrix}$. 

Une représentation paramétrique de cette droite est  
$\left\{\begin{array}{l}x=1 -1 \times t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times t  \\
z= 0 +1 \times t \end{array}\right. ,~t\in\mathbb{R}$, soit $\boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}}}$\marginpar{0,5 pt}

\item La droite qui a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$, passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$, c'est-à-dire $K$ ; le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}a-\dfrac{3}{4}\\1\\-1\end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur. Or $ \Vec{KL}\begin{pmatrix}a-\dfrac{3}{4}\\1\\1\end{pmatrix} $. C'est donc bien une représentation paramétrique de $ (KL) $.\marginpar{0,5 pt}

\item \textcolor{red}{\danger} Il ne suffit pas de montrer que droites ne sont pas parallèles car elles pourraient ne pas être coplanaires !

\noindent Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, le système suivant admet une solution pour $ (t,t') $.

$\left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \\
x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \\
1 - t =\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}=t'\\
t=1-t'\end{array}\right.  \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \\
1 - (1-t') =\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1-t'}{3}=t'\\
t=1-t'\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \\
t' =\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1-t'}{3}=t'\\
t=1-t'\end{array}\right.$

On obtient finalement $ \left\{\begin{array}{l}x=1 - t \\
y= \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z=t \\
\dfrac{1}{2} =\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \times \left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
t' = \dfrac{1}{2}\\
t=1-t'\end{array}\right. $ qui a une solution si, et seulement si, $ \dfrac{1}{2} =\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \times \left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
 \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{a = \dfrac{1}{4} }}$.

\textbf{Remarque :}\emph{ Au passage,on a trouvé les coordonnées du point d'intersection des deux droites $ \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)  $. On a  $ t=t'=\dfrac{1}{2} $ et on reporte pour avoir $ x,y,z $.} \marginpar{1 pt}

\end{enumerate}

%\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

%\noindent Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\\
%Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
%:
D'après la question précédente, dans ce cas, les diagonales $ (IJ) $ et $ (KL) $ du quadrilatère $ IKJL $ sont sécantes en un point $ \Omega $. On vérifie que $\boxed{\textcolor{red}{ \Omega \left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)  }}$ est bien le milieu de $ [IJ] $ et $ [KL] $.

\emph{Rappel de la formule : le milieu de $ [IJ] $ a pour coordonnées} $ \left( \dfrac{\text{x}_I+\text{x}_J}{2},\dfrac{\text{y}_I+\text{y}_J}{2},\dfrac{\text{z}_I+\text{z}_J}{2}  \right)  $. 

On vérifie sans problème que l'on a bien $ \left( \dfrac{\text{x}_I+\text{x}_J}{2},\dfrac{\text{y}_I+\text{y}_J}{2},\dfrac{\text{z}_I+\text{z}_J}{2}  \right) = \left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)  $ et aussi 

$ \left( \dfrac{\text{x}_K+\text{x}_L}{2},\dfrac{\text{y}_K+\text{y}_L}{2},\dfrac{\text{z}_K+\text{z}_L}{2}  \right) = \left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)  $.

Les diagonales du quadrilatère $ IKJL $ se coupent en leur milieu, c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\medskip

\emph{\textbf{On pouvait aussi montrer} que $ \Vec{IK} $ et $ \Vec{LJ} $ ont les mêmes coordonnées, car l'égalité de deux vecteurs caractérise un parallélogramme}\marginpar{0,5 pt}

%\item La figure ci-dessous fait apparaÓtre l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.	.\\
%On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
%\begin{center}
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,5.5)
%\psframe(0.3,0.2)(4,4)
%\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)
%\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)
%\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)
%\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
%\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E}
%\psdots(1.53,0.2)(0.65,4.28)(4.17,5.1)
%\uput[d](1.53,0.2){I}
%\uput[d](0.65,4.28){K}
%\uput[d](4.17,5.1){J}
%\uput[d](0.3,2.48){M}
%\uput[r](5.4,2.88){N}
%\uput[r](4.35,0.5){L}
%\psline(0.65,4.28)(4.17,5.1)
%\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
%\psline(0.3,2.48)(1.53,0.2)
%\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
%\psline(5.4,2.88)(4.35,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](5.4,2.88)(4.17,5.1)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.}

\item
\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\overrightarrow{n}$  est un vecteur normal au plan $(IJK)$ si, et seulement si,, il est orthogonal à deux vecteurs directeurs \textbf{non colinéaires} de ce plan.

Comme $ I, J, K $ définissent ce plan, ils sont non alignés et les vecteurs $ \Vec{IJ} $ et $ \Vec{IK} $ ne sont pas colinéaires.

Le repère étant orthonormé, on peut utiliser l'expression analytique du produit scalaire.

 $\Vec{IJ}\begin{pmatrix}-1\\\dfrac{1}{3}\\1\end{pmatrix}$ et donc $ \Vec{IJ} \bullet \vec{n} = -1 \times 8 + \dfrac{1}{3} \times 9 + 1 \times 5 = 0$.
 
 Les vecteurs $ \Vec{IJ}$ et $\vec{n} $ sont bien \textbf{\textcolor{red}{orthogonaux}}.
 
 De même :  $\Vec{KL}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\1\\-1\end{pmatrix}$ et donc $ \Vec{KL} \bullet \vec{n} = -\dfrac{1}{2} \times 8 +1 \times 9 - 1 \times 5 = 0$.
 
 $ \vec{n} $ est bien orthogonal à deux vecteurs non colinéaire de $ (IJK) $, il est bien \textbf{\textcolor{red}{normal}} à ce plan.\marginpar{0,5 pt}

\item Le plan $(IJK)$ a donc une équation cartésienne de la forme $8\left(x-x_I\right)+9\left(y-y_I\right)+5\left(z-z_I\right)=0\Leftrightarrow 8\left(x-1\right)+9\left(y-\dfrac{1}{3}\right)+5z=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{8x-9y+5z-11=0}}$\marginpar{0,5 pt}

\item M a pour coordonnées M$(1~;~~;~z)$. Comme M appartient au plan (IJK), on remplace dans l'équation trouvée  la question précédente.

\noindent On en déduit : $8+5z-11=0\Leftrightarrow 5z-3=0\Leftrightarrow z=\dfrac{3}{5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{M}\left(1~;~0~;~\dfrac{3}{5}\right)}}$

\bigskip
De même, N a pour coordonnées N$(0~;~1~;~z)$.

\noindent On remplace de même dans l'équation du plan $(IJK)$ triplée dans la question précédente :

$9+5z-11=0\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{N}\left(0~;~1~;~\dfrac{2}{5}\right)}}$


\end{enumerate}
 \end{enumerate}\marginpar{1 pt}
 
 
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}

On considère la fonction fdéfinie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3-4 }{x^2+1}$. et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité :1 cm), 


\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Etude d'une fonction auxiliaire}}

\noindent On pose $g(x) = x^3+3x+8$.

\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de $g$, et montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1. 
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme polynôme.

\noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=3x^2+3=3\left(x^2+1\right)>0$ donc $g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty}}$ (par somme des limites).

\noindent De même, $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}} )$. (par somme de limites


\noindent $g$ est \textbf{\textcolor{red}{continue}} (polynôme), $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ ; 

\noindent d'après le t\textbf{\textcolor{red}{héorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $g(x)=0$ admet une solution.

\noindent Comme $g$ est croissante, celle-ci est unique ; notons-la $\alpha$.

\noindent À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{-1,6<\alpha<-1,5}}$\marginpar{1 pt}

\item %Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. 
Signe de $g(x)$ : $g(x)<0$ pour $x<\alpha$, $g(\alpha)=0$ et $g(x)>0$ pour $x>\alpha$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}\marginpar{0,25 pt}


\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$.
$f(x)=\dfrac{x^3-4 }{x^2+1}$ donc $f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x^3-4\\v(x)=x^2+/1\end{array}\right.$.

\noindent On a $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=3x^2\\v'(x)=2x\end{array}\right.$

\noindent $f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ donc :

\noindent $f'(x)=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-2x\left(x^3-4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{\left(x^2+1\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{xg(x)}{\left(x^2+1\right)^2}}}$\marginpar{0,75 pt}

\item %Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
Pour les limites à l'infini de $f(x)$, nous avons des formes indéterminées.

\noindent $\forall x\neq 0,\:f(x)=\dfrac{x^3\left(1-\frac4{x^3}\right)}{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=x\times \dfrac{1-\frac4{x^3}}{1+\frac 1{x^2}}$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\dfrac{4}{x^3}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ donc :`

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&0&&\pI\\
\hline
x&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{f(\alpha)}&\d&-4&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}\marginpar{0,75 pt}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $f(x) = ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2 +1}$.
$\forall x\in\mathbb{R},\:ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}=\dfrac{(ax+b)\left(x^2+1\right)+cx+d}{x^2+1}=\dfrac{ax^3+bx^2+(a+c)x+b+d}{x^2+1}$ et l'on veut que ce soit $f(x)$.

\noindent On identifie les coefficients :

\noindent $\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=0\\a+c=0\\b+d=-4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=0\\c=-1\\d=-4\end{array}\right.$.

\noindent On en déduit : $f(x)=x+\dfrac{-x-4}{x^2+1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=x-\dfrac{x+4}{x^2+1}}}$\marginpar{0,5 pt}

\item %En déduire que $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-x]=0$ et que $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.
$\forall x\in\mathbb{R},\: \boxed{\textcolor{red}{f(x)-x=-\dfrac{x+4}{x^2+1}}}$.

\noindent $\forall x\neq 0,\:\dfrac{x+4}{x^2+1}=\dfrac{x\left(1+\frac4x\right)}{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1+\frac4x}{x\left(1+\frac1{x^2}\right)}$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}[f(x)-x]=0}}$\marginpar{1 pt}

\item %En déduire que $\mathscr{C}$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\Delta$.
Puique $\lim_{x\rightarrow \pm\infty\infty}[f()-x]=0$ la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $)-\infty$ et de $+\infty$.

\noindent $f(x)-x$ est du signe de $-(x+4)$ donc positif pour $x<-4$ et négatif pour $x>4$ et s'annule pour $x=4$, donc $\Delta$ et $\mathscr{C}f$ se rencontrent au point A d'abscisse -4.

\noindent $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ pour $x\leqslant -4$ et en dessous pour $x\geqslant -4$.
 
%\noindent Vérifier en particulier que $\mathscr{C}$ rencontre $\Delta$ en un \textbf{\textcolor{red}{unique}} point A. 
\end{enumerate}\marginpar{1 pt}

\item %Déterminer les abscisses des points B et B' de $\mathscr{C}$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$. 
$\mathscr{C}$ admet une tangente parallèle à $\Delta$ si, et seulement si, $f'(x)=1$ (mêmes coefficients directeurs).

\noindent $f'(x)=1\Leftrightarrow x^4+3x^2+8x=\left(x^2+1\right)^2\Leftrightarrow x^4+3x^2+8x=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x^2+8x-1=0$.

$\Delta=68>0$ ; il y a deux solutions :

\noindent $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{68}}{2}=\dfrac{-8-2\sqrt{17}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-4-\sqrt{17}}}$ et $x-2=\boxed{\textcolor{red}{-4+\sqrt{17}}}$\marginpar{0,5 pt}


\item 
%Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$.
On sait que $\alpha^3+3\alpha+8=0$ donc $\alpha^3=-3\alpha-8$.

%:
\noindent $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3-4}{\alpha^2+1}=\dfrac{-3\alpha-8-4}{\alpha^2+1}=\dfrac{-3\alpha-12}{\alpha^2+1}=\dfrac{\alpha(-3\alpha-12)}{\alpha\alpha^2+1}=\dfrac{-3\alpha(\alpha+4)}{\alpha^3+\alpha}=\dfrac{-3\alpha(\alpha+4)}{-3\alpha-8+\alpha}=\dfrac{-3\alpha(\alpha4)}{-2\alpha-8}=\dfrac{-3\alpha(\alpha+4)}{-2(\alpha+4)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}\alpha}}$.

\noindent On a bien $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$.

\noindent $-1,6<\alpha<-1,5$ donc $-2,4<f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha<-2,25$ (en fait $f(\alpha)\approx -2,2691179899$)\marginpar{0,75 pt}


%\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr{C}$ en plaçant les points A, B et B' , ainsi que les trois points l, J et K d'abscisses respectives 1, 2 et -1, avec leurs tangentes.
%\end{enumerate}
Voilà la courbe et son asymptote (qui n'étaient pas demandées)

\begin{center}
\newrgbcolor{ffwwqq}{1. 0.4 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-7.)(7.,7.)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-7,-7)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=1](-7,-7)(7,7)
<\psplot[linewidth=2.4pt,linecolor=ffwwqq,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{x}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{(x^(3.0)-4.0)/(x^(2.0)+1.0)}
\psplot{-7.}{7.}{(--0.061552812808836066--1.*x)/1.}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-11.031932106991713,-11.272385787741483){\ffwwqq{$g$}}
%\rput[bl](-11.031932106991713,-11.272385787741483){\blue{$f$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-7.,-6.94)
%\rput[bl](-6.902995558696911,-6.790316508342525){\darkgray{$B$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-8.123105625617661,-8.06155281280883)
%\rput[bl](-8.016721864486955,-7.90404281413257){\darkgray{$C$}}
%\rput[bl](-11.004768050752931,-11.272385787741483){$b$}
%\end{scriptsize}
\psline{<->}(-0.5,-4)(0.5,-4)
\psline{<->}(-2.01,-2.27)(-1.01,-2.27)
\uput[d](2,0.8){$\mathscr{C}$}
\uput[u](4,4){$\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV : Amérique du sud novembre 2015}}
\textbf{À traiter par les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité.}

\bigskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\smallskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées :
$\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2)$.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$.

La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & - 1 + 4t\\
y &  4 - t\\
z & - 8 + 2t
\end{array}\right., \:t \in \mathbb{R}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.

\medskip

En détaillant son écriture paramétrique, on peut dire que la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}4\,\\-1\\\,2)\end{pmatrix}$.

La droite (AC) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text A \text C}
\begin{pmatrix}1\\0\\,-2)\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text A \text C} = 4\times 1 + (-1)\times 0 + 2\times (-2)=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{\text A \text C}$ sont orthogonaux; on peut en déduire que les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales. 

\textbf{\textcolor{red}{L'affirmation 1 est vraie}}\marginpar{1,25 pt}

\newpage

\textbf{Affirmation 2 :} Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les points A, B et C déterminent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

$\overrightarrow{\text A \text B}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-4 \\ -7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text A \text C}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}1\\,0
\\-2\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignes; ils déterminent donc le plan (ABC).

\item Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$ si les coordonnées des trois points A, B et C vérifient cette équation.
\begin{list}{$\circ$}{}
\item $2x_{\text A}+5y_{\text A}+z_{\text A} - 5= 2\times 3 +5\times (-1) + 4 - 5 = 0$

\item $2x_{\text B}+5y_{\text B}+z_{\text B} - 5= 2\times (-1) +5\times 2 + (-3) - 5 = 0$

\item $2x_{\text C}+5y_{\text C}+z_{\text C} - 5= 2\times 4 +5\times (-1) + 2 - 5 = 0$
\end{list}

\end{list}

Les coordonnées des trois points vérifient l'équation du plan donc ces points appartiennent au plan.

Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$. 

\textbf{\textcolor{red}{L'affirmation 2 est vraie}}\marginpar{1,25 pt}

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & 1 + \phantom{2}s - 2s'\\
y & 1 - 2s + \phantom{2}s'\\
z & 1- 4s + 2s'
\end{array}\right., \:
s \in \mathbb{R},\: s' \in  \mathbb{R}$\:
appartiennent au plan $\mathcal{P}$.

\medskip

Soient $s$ et $s'$ deux réels et M le point de coordonnées $(1+s-2s' \,;\, 1-2s+s' \,;\, 1-4s+2s' )$.

Le plan $\mathcal P$ a pour équation $2x-3y+2z-7=0$.

$2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7 =
2(1+s-2s') -3( 1-2s+s') +2(1-4s+2s') - 7\\
\phantom{2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7} =
2 + 2s -4s' -3 +6s -3s' +2 -8s +4s' -7 =
-6 -3s'$

n'est pas égal à 0 pour tout $s'$.

\textbf{\textcolor{red}{L'affirmation 3 est fausse}}\marginpar{1,25 pt}

\medskip


\textbf{Affirmation 4 :} Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.

\medskip

Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$ si et seulement si la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$.

La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$.
Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\,(2\,;\,-3\,;\,2)$.

La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow v$ et $\overrightarrow n$ sont orthogonaux.

$\overrightarrow v . \overrightarrow n = 4\times 2 + (-1)\times (-3) + 2\times 2 = 15\neq 0$ donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ce qui prouve que la droite $\Delta$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal P$.

\textbf{\textcolor{red}{L'affirmation 4 est fausse}}\marginpar{1,25 pt}

%\columnbreak
%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}
%\textbf{À traiter par les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité.}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%
%\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%Normalement, en mathématiques, on écrit un nombre en base $10$, avec les chiffres usuels $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ :
%\[1546=1\times 10^3+5\times 10^2+4\times 10+6\]
%\[681=6\times 10^2+8\times 10+1\]
%
%On peut aussi choisir d'ajouter deux chiffres $\alpha$ et $\beta$ aux dix chiffres usuels. On obtient une nouvelle écriture qu'on appelle écriture en base $12$. Par exemple :
%
%\[\overline{93}^{12} = 9\times 12+3 = 111~\text{en base}~10\]
%\[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1711~\text{en base}~10\]
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :
%		\[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\]
%Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.
%\item   Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 :
%\[N_{2} = 1131 = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10
%+ 1\]
%Déterminer, à l'aide de divisions euclidiennes successives, l'écriture de $N_{2}$ en base $12$.
%		
%\item  Dans cette question, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : $N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}$. Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad  [3]$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.
%\end{enumerate}
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%
%Deux machines $A$ et $B$ d'une usine on une probabilité de tomber en panne de $0,01$ et de $0,008$ respectivement.
%Sachant que la machine $A$ est en panne, la machine $B$ a une probabilité de $0,4$ de tomber en panne.
%\begin{enumerate}
%	\item Quelle est la probabilité que les deux machines soient en panne ?
%	\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins une machine qui fonctionne ?
%\end{enumerate}
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}
%
%\begin{enumerate}
%	\item Détaillez le calcul de $A\times B$ si $A=\begin{pmatrix}5 & -2\\-1 &3\end{pmatrix}$ et \\
%	$B=\begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}$
%	\item Déterminer tous les nombres $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$ tels que $\begin{pmatrix}1 & x\\y & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2x+y\\-4+x^2 & -3\end{pmatrix}$
%\end{enumerate}

%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  