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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices fait en classeviruelle vendredi }}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 13 }}

\begin{enumerate}[a)]
\item $F(x) = 10\times \dfrac{x^{10}}{10}=x^{10}$ car une primitive de $x\mapsto x^{n}$ est $x\mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

\item $G(x) =2\times \dfrac{x^4}{4}=\dfrac{1}{2}x^4$

\item $H(x) = \sqrt{x}$ (formule du cours)

\item $j(x)=\dfrac{5}{x^4}=5\times \dfrac{1}{x^5}$ donc $J(x)=5\times \left(-\dfrac{1}{4x^4}\right)=-\dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{x^4}$

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 14}}
 Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 456.

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 16}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $F(x) =\frac{x^2}2+ x + \ln x$ (mais nous n'avons pas encore étudié la fonction $\ln$)

\item $G(x) = \mathrm{e}^{x} – \mathrm{e}^{5x}$ car on doit faire apparaître $u"\mathrm{e}^{u}$ dans l'expression $\mathrm{e}^{5x}$.\\
Pour cela, on pose $u(x)=5x$ d'où $u'(x)=5$. $\mathrm{e}^{5x}=1\times \mathrm{e}^{5x}=\dfrac{1}{5}u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$ donc une primatie de $x\mapsto \mathrm{e}^{5x}$ est $x\mapsto \dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{5x}$.\\
Une primatie de $x\mapsto 5\mathrm{e}^{5x}$ est $x\mapsto 5\times \dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{5x}=\mathrm{e}^{5x}$.

\item $H(x) = 5\mathrm{e}^{\frac15}x+\dfrac{1}{4}\ln(4x + 3)$ (pas faisable actuellement)

\item $J(x) = –\cos x + \sin x$
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 19}}
En développant, on voit que les deux fonction diffèrent d’une constante, donc sont primitives d'une même fonction (voir cours).

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 20}}
$f$ est la fonction définie par $f (x) = -7x + 4$.
\begin{enumerate}[a)]
\item les primitives de $f$ sont définies par $F(x)=-7\times \dfrac{x^2}{2}+4x+k=-3,5x^2+4x+k$, $k\in\mathbb{R}$.

\item $F(1) = - 5\Leftrightarrow 0,5 + k = - 5\Leftrightarrow  \boxed{\textcolor{red}{k = - 4,5}}.$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\no 21}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les primitives de $f$ sont $F(x) =\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{4x} + \mathrm{e}^{5}x +k$, $k\in\mathbb{R}$.

\item On veut $F(1)=0$ ; on remplace $x$ par 1.\\
On trouve $F(x)=\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{4x} + \mathrm{e}^{5}x-\dfrac{5}{4}\mathrm{e}^{5}$

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  