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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices du stage de révision}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2001 (4 points)}}
On considère le polynôme $P$ défini par : 
\[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\] 

\begin{enumerate}
\item $P\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^4-6\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^3+24\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^2-18\times \mathrm{i}\sqrt{3}+63=9-18\mathrm{i}\sqrt{3}+-72+18\mathrm{i}\sqrt{3}+63=0$ donc\\
$\boxed{\textcolor{red}{P(\mathrm{i}\sqrt{3})=0}}$\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{P(-\mathrm{i}\sqrt{3})=0}}$.\\

On cherche $a$, $b$ et $c$ réels tels que\\
$P(z)=\left(z^2+3\right)\left(az^2+bz+c\right)$.\\
On développe puis on identifie les coefficients.\\
On obtient $\left(z^2+3\right)\left(az^2+bz+c\right)\\
=az^4+bz^3+(3a+b)z^2+3bz+3c$.\\
En identifiant les coefficients, on obtient le système :
$\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-6\\3a+c=21\\3b=-18\\3c=63\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-6\\c=21\end{array}\right.$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{P(z)=\left(z^2+3\right)\left(z^2-6z+21\right)}}$.

\item On résout l'équation $P(z)=0$, en appliquant le théorème du produit nul.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\mathrm{i}\sqrt{3}~;~\mathrm{i}\sqrt{3}~;~3+2\sqrt{3}\mathrm{i}~;~3-2\sqrt{3}\mathrm{i}\}}}$.\\
\emph{Remarque : on trouve les affixes des points A, B C et D des questions suivantes.}

\item Par symétrie, on devine que le centre du cercle appartient à l'axe des réels et est le milieu de [CD], donc le point d'affixe 3.\\
Il reste à montrer que les quatre points appartiennent au cercle de centre $\Omega(3)$ et de rayon $2\sqrt{3}$.\\
$\Omega C=\left|z_C-z_{\Omega}\right|=\left|2\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{3}}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\Omega D=2\sqrt{3}}}$ par symétrie par rapport à lace des réels.\\
$\Omega A=\left|_A-z_{\Omega}\right|=\left|\mathrm{i}\sqrt{3}-3\right|=\sqrt{(-3)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{3}}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\Omega B=\Omega A}}$ par symétrie par rapport à l'axe des réels.\\
A, B, C et D appartenant donc bien au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ (points cocycliques).

\item E est le symétrique de D par rapport à O, donc $z_E=-z_D=-3+2\sqrt{3}\mathrm{i}$.\\
$\dfrac{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}=\dfrac{-3+3\mathrm{i}\sqrt{3}}{3+3\sqrt{3}\mathrm{i}}=\dfrac{3(-1+\mathrm{i}\sqrt{3})}{3(1+\mathrm{i}\sqrt{3})}=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}=\dfrac{(-1+\mathrm{i}\sqrt{3})(1-\mathrm{i}\sqrt{3})}{1^2+\sqrt{3}^2}=\dfrac{2+2\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}}}$.\\
L'angle $\left(\overrightarrow{BC}~;~\overrightarrow{BE}\right)$ est $\arg\left(\dfrac{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right)=\dfrac{\pi}{3}$.\\
$\left|\dfrac{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right|=\dfrac{BE}{BC}=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right|=1$ donc BE = BC.\\BEC est un triangle isocèle avec un angle au sommet valant $\dfrac{\pi}{3}$ donc ce triangle est un \textbf{\textcolor{red}{triangle équilatéral}}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(7,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(7,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,-1.73)(-3,3.46)(3,3.46)
\pscircle(3,0){2.076}
\psline[linecolor=zzttqq](0,-1.73)(-3,3.46)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,3.46)(3,3.46)
\psline[linecolor=zzttqq](3,3.46)(0,-1.73)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,1.73)
\rput[bl](0.08,1.86){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,-1.73)
\rput[bl](0.08,-1.62){\blue{$B$}}
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\rput[bl](3.08,3.58){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,-3.46)
\rput[bl](3.08,-3.34){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\blue{$\Omega$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3,3.46)
\rput[bl](-2.92,3.58){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2007 (4 points)}}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_{n} = u_{n}^2 \geqslant 0$ : la suite est donc croissante.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = x^2 + x$ ; $h$ est dérivable et $h'(x) = 2x + 1$.
		
		Sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[,~h'(x) < 0 \Rightarrow h$  est décroissante ;
		
		Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[,~h'(x) > 0 \Rightarrow h$ est croissante.
		
		$h'\left(- \dfrac{1}{2} \right) = 0$. La fonction admet en ce point un extremum qui est un minimum $h\left(- \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}$.
		
		Sur $\left]-1~;~- \dfrac{1}{2}\right[$ la fonction décroit de $0$ à $- \dfrac{1}{4}$ et sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[$, la fonction croit de  $- \dfrac{1}{4}$  à $0$.
		
		Conclusion : si $x \in ]-1~;~0[$, alors $-1 < - \dfrac{1}{4} < h(x) < 0$.
		\begin{center}
\begin{variations}
x&-1&&-\dfrac{1}{2}&&0\\
\hline
h'(x)&-&\z&+&\\
\hline
\m{h(x)}&\h{0}&\d&-\dfrac{1}{4}&\c&\h{0}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
		\item Par récurrence :
		\begin{itemize}
		\item Initialisation $-1< a = u_{0}< 0$.
		\item Hérédité : supposons que pour un entier naturel $n$ quelconque, $-1 < u_{n} < 0$.\\
D'après la question précédente si $u_{n}\in [-1~;~0[$, alors $u_{n+1} = h\left(u_{n}\right)$ appartient  aussi à cet intervalle
		\end{itemize}
		Conclusion : on a montré par récurrence que pour tout naturel $n,~-1 < u_{n} < 0$. 
	\end{enumerate}
\item La suite $u$ est croissante et majorée par $0$ : elle est donc convergente et sa limite $\ell$ est telle que $\ell \leqslant 0$.

Or la fonction $h$, dérivable est continue : la relation $u_{n+1} = u_{n}^2 + u_{n}$ donne à la limite $\ell = \ell^2 + \ell \iff \ell^2 = 0 \iff \ell = 0.$\\
(par unicité de la limite).

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0.}}$
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2012}}
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]
%
% où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$.
$z^2 - 2z + 2 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z - 1)^2 + 1 = 0 \iff (z - 1)^2 - \text{i}^2  = 0 \iff (z - 1 + \text{i})(z - 1 - \text{i}) = 0 \iff \left\{\begin{array}
{l}z - 1  + \text{i}=0\:\text{ou}\\z - 1 - \text{i} = 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}
{l}z = 1 - \text{i}\:\text{ou}\\
z = 1 + \text{i}\end{array}\right.$.

\item %On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$. On a A$M_{1} = \left|z_{1} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 - \text{i} - 1\right| = |- \text{i}| = 1$. 

De même A$M_{2} = \left|z_{2} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 + \text{i} - 1\right| = | \text{i}| = 1$. Ces deux résultats signifient que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle de centre A et de rayon 1 soit au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
%
%\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Voir à la fin de l'écercice. 
\item %Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

%\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
$z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2} \Rightarrow z'  - 1 = \frac{2z - 1 }{2z - 2} - 1 \iff z' - 1  = \frac{2z - 1 - 2z + 2}{2z - 2} \iff z" - 1 = \dfrac{1}{2(z - 1)} \\
\iff \boxed{\textcolor{red}{\left(z' - 1 \right)(z - 1) = \frac{1}{2}}}$.
\item %Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

%\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
%\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
%M' \neq \text{A} ;\\ 
%\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
%\end{array}\] 
Le résultat précédent entra\^{\i}ne :

$\bullet~~$ en termes de modules :  $\boxed{\textcolor{red}{\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2}}}$ ;

$\bullet~~$ le produit des deux complexes étant non nul aucun des deux facteurs ne peut l'être, et en particulier $z' - 1 \neq 0 \iff z' \neq 1$, soit $M' \neq \text{A}$ ;

$\bullet~~$en termes d'argument : arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = 0 + 2k\pi$. Or arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right)$, donc 

$\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}$.
\item %On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P.
On a  $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \iff z_{\text{P}} - 1 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \Rightarrow \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = \left|  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| \iff \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = 1$.



Cette dernière égalité montre que P appartient au cercle de centre A et de rayon 1, donc au cercle $\mathcal{C}$.

Il ne reste plus qu'à construire sur ce cercle le point tel que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AP}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
\item %En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction.
On a AP $ \times \text{AP}' = \frac{1}{2}$ ; or AP $ = 1$, donc AP$'  = \frac{1}{2}$.le point P$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{1}$ de centre A et de rayon  $\frac{1}{2}$. 

D'autre part on a $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AP}'}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

On peut donc construire P$_{1}$ symétrique sur le cercle $\mathcal{C}$ du point P autour de l'axe horizontal contenant A. Le point P$'$ est le point commun à [AP$_{1}$] et au cercle $\mathcal{C}_{1}$. Voir plus bas.
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
On a donc $z = \frac{3}{4} + \alpha \text{i}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$. D'o\`u :

$z' = \dfrac{2(\frac{3}{4} + \alpha \text{i}) - 1}{2(\frac{3}{4} + \alpha \text{i}) - 2} = \dfrac{\frac{3}{2} + 2\alpha \text{i} - 1}{\frac{3}{2} + 2\alpha \text{i} - 2} = \dfrac{\frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}}{- \frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}\right)\left(- \frac{1}{2} - 2\alpha \text{i}\right)}{\left(- \frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}\right)\left(- \frac{1}{2} - 2\alpha \text{i}\right)} $

$= \dfrac{- \frac{1}{4} - \alpha \text{i} - \alpha \text{i} + 4\alpha^2}{\frac{1}{4} + 4\alpha^2} = \dfrac{- \frac{1}{4} - 2\alpha \text{i}  + 4\alpha^2}{\frac{1}{4} + 4\alpha^2}$.

D'o\`u $\left|z'\right|^2  = \dfrac{\left(- \frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} + \dfrac{4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = \dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 - 2\alpha^2 + 4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} =$

$\dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 + 2\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} =
\dfrac{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = 1$.
D'o\`u $\left|z' \right| = 1$ : le point $M"$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
		\item %Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
Un point $M'$ de $\mathcal{C}'$ a une affixe qui peut s'écrire \\
$z' = \text{e}^{\text{i}a}$ avec $a \in \mathbb{R}$. Son ou ses antécédents par $f$ vérifient :

$\text{e}^{\text{i}a} = \dfrac{2z - 1}{2z - 2} \iff 2z\text{e}^{\text{i}a} - 2\text{e}^{\text{i}a} = 2z - 1 \iff 2z\left(\text{e}^{\text{i}a} - 1 \right) = 2\text{e}^{\text{i}a} - 1 \iff z = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}a} - 1}{\text{e}^{\text{i}a} - 1 }$\:si $\text{e}^{\text{i}a} - 1 \neq 0$.

Or $\text{e}^{\text{i}a} - 1 = 0 \iff \text{e}^{\text{i}a} = 1 \iff a = 0 \iff z = 1$. C'est le point A et on sait que ce point n'a pas d'image par $f$. La réponse est : non.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2010}}
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
On a $g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$, donc par produit des limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
\item %…tudier les variations de la fonction $g$.
La fonction $g$, somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$, est dérivable et sur $[0~;~+\infty[$ :

$g'(x) =  \text{e}^x - \text{e}^x - x\text{e}^x = - x\text{e}^x$.

Comme $\text{e}^x > 0$ et $x > 0$, on a $g'(x) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

$g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de $g(0) = 2$ à $- \infty$.
\item Donner le tableau de variations de $g$.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g(x)$} \uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\uput[d](2.1,2){$2$}\uput[u](6.6,0){$- \infty$}
\psline{->}(2.5,1.7)(6.3,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.
Sur $[0~;~+\infty[$, $g$ dérivable est donc continue, $g(0) > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel  $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$. Comme $g$ est décroissante, cette solution est unique.

		\item %¿ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
La calculatrice donne :

$\bullet~~$ $g(1) = 1$ et $g(2) \approx -6,4$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$\bullet~~$ $g(1,2) \approx  0,3$ et $g(1,3) \approx -0,1$, donc $1,2 < \alpha < 1,3$ ;

$\bullet~~$ $g(1,27) \approx 0,04$ et $g(1,28) \approx -0,007$, donc $1,27 < \alpha < 1,28$. 
		\item %Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
		On a $g(\alpha) = 0 \iff \text{e}^{\alpha} - \alpha\text{e}^{\alpha} + 1 = 0 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) = - 1 \iff \text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a donc :
\begin{variations}
x&0&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1.
La fonction $A$ quotient de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ (le dénominateur ne s'annulant pas)  est dérivable et sur cet intervalle :

$A'(x) = \dfrac{4\left(\text{e}^x + 1 \right) - 4x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{4\left(\text{e}^x - x\text{e}^x + 1 \right)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4g(x)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}}}$.

Comme  $\left(\text{e}^x + 1 \right)^2 > 0$ quel que soit $x$, le signe de $A'(x)$ est celui de $g(x)$.

D'après la précédente question on a donc :

$A'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;

$A'(\alpha) = 0$ ;

$A' < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. 
\item %En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
On a donc :

$A$ est croissante sur $[0~;~\alpha[$  et décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$, $A(\alpha)$ étant le maximum de la fonction.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

%La figure est donnée en annexe.
% 
%Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
%\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
%\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$.
On sait que $x \geqslant 0$, donc l'aire du rectangle O$PMQ$ est égale à $x \times f(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1} = A(x)$.

Or on a vu  que la fonction présente un maximum pour $x  = \alpha$.

%On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item %Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
%La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
Le coefficient directeur de la droite ($PQ$) est égal à $-\dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = -\dfrac{\frac{4}{\text{e}^{\alpha} + 1}}{\alpha} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)}$.

Or on a vu que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, donc le coefficient directeur est égal à :

$-\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\frac{1}{\alpha - 1}+ 1\right)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha(1 + \alpha - 1)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}$.

La tangente en $M(\alpha~;~f(\alpha))$ a pour coefficient directeur $f'(\alpha)$.

Or $f'(x) = - \dfrac{4\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$, donc 

$f'(\alpha) = - \dfrac{4\text{e}^{\alpha}}{\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)^2} = -\dfrac{\frac{4}{\alpha - 1}}{\left(\frac{1}{\alpha - 1} + 1 \right)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{(1 + \alpha - 1)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}.$

Les coefficients directeurs sont égaux : les droites sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}}.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\psline(1.278,0)(1.278,0.86)(0,0.86)(0,0)
\uput[ur](1.278,0.86){M}\uput[d](1.278,0){P}\uput[l](0,0.86){Q}
\uput[ur](1.278,0){$\alpha$}\uput[dr](0,0.86){$f(\alpha)$}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2010}}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
En partant du point $(\left(u_{0} = 5~;~0\right)$ et en allant alternativement verticalement vers la courbe $\mathcal{C}$ et horizontalement vers la droite $\Delta$, on obtient les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses, $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ etc. Voir la figure   
		\item %Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Au vu des premiers termes il semble que la suite soit décroissante vers l'abscisse du point commun à $\mathcal{C}$ et à $\Delta$ soit vers 1.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
$\bullet~$ Initialisation : on a $u_{0} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$ : vrai.

$\bullet~$ Hérédité : supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_{n} - 1 > 0.$

Or $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$ donc, pour tout $n$, $u_{n+1} - 1  = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2} - 1 = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n} - 2}{u_{n} + 2} = \dfrac{3u_{n} - 3}{u_{n} + 2} = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$.

On sait que $u_{n} - 1 > 0$, donc $u_{n} > 1$ et $u_{n} + 2 > 3 >0.$

Tous les termes de $u_{n + 1} - 1$ sont supérieurs à zéro,  donc finalement $u_{n+1} - 1 > 0$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N},~u_{n} - 1 > 0.$
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
$\bullet~$ Décroissance de la suite :\\
Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n}^2 - 2u_{n}}{u_{n} + 2} = \dfrac{-u_{n}^2 + 2u_{n} - 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{u_{n}^2 - 2u_{n} + 1}{u_{n} + 2} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ - \dfrac{\left(u_{n} - 1 \right)^2}{u_{n} + 2}}}$. \\
Les deux termes du quotients sont positifs, donc finalement $u_{n+1} - u_{n} < 0$ ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{décroissante}.

Or $u_{n} - 1 > 0 \iff u_{n} > 1$
La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une limite $\ell \geqslant 1$ et par continuité de la fonction $f$, on a $\ell =  \dfrac{4\ell - 1}{\ell + 2}$ équation dont la seule solution est $\ell = 1$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $1$.		 
%Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.

	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
%Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$.
On a  $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{1}{u_{n+1} - 1} - \dfrac{1}{u_{n} - 1}$.

Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) que $u_{n+1} - 1 = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$, donc, pour tout $n$,\\
 $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_{n} + 2}{3\left(u_{n} - 1 \right)} - \dfrac{1}{u_{n} - 1} = \dfrac{u_{n} + 2 - 3}{3\left(u_{n} - 1 \right)} = \dfrac{u_{n} - 1}{3\left(u_{n} - 1 \right)} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}}$, car on a vu que $u_{n} - 1 > 0$.


Ceci montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite \textbf{arithmétique} de raison $\dfrac{1}{3}$, de premier terme 
$v_{0} = \dfrac{1}{u_{0} - 1} \\
= \dfrac{1}{5 - 1} = \dfrac{1}{4}$.
		\item  %Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$,  $v_{n} = v_{0} + n \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\times n = \dfrac{1}{4} + \dfrac{n}{3} = \dfrac{3 + 4n}{12}$.

Or $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1} \iff u_{n} - 1 = \dfrac{1}{v_{n}} \iff u_{n} = \dfrac{1}{v_{n}} + 1 = \dfrac{12}{3 + 4n} + 1 = \dfrac{12 + 3 + 4n}{3 + 4n} = \dfrac{15 + 4n}{3 + 4n}$, quel que soit $n \in \mathbb{N}$.
 
On retrouve ici que les termes de $\left(u_{n}\right)$ sont des rationnels et comme le suggérait les constructions du 1. a. que $u_{1} = \dfrac{19}{7},~u_{2} = \dfrac{23}{11} = 2,~u_{3} = \dfrac{9}{5} = 1,8$. 
		\item  %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour $n > 0$ on peut écrire $u_{n} = \dfrac{4 + \frac{15}{n}}{4 + \frac{3}{n}}$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 1.}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-2.5)(7,4.25)%grille
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=red}
\psline(5,0)(5,2.714)(2.714,2.714)(2.714,2.09)(2.09,2.09)(2.09,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.632)
\psset{linestyle=dashed,linewidth=1pt}
\uput[d](5,-0.3){$u_{0}$}
\psline(2.714,2)(2.714,0)\uput[d](2.714,-0.3){$u_{1}$}
\psline(2.09,1.75)(2.09,0)\uput[d](2.09,-0.3){$u_{2}$}
\psline(1.8,1.6)(1.8,0)\uput[d](1.8,-0.3){$u_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  