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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur les suites et les démonstrations par récurrence}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ? (d'après concours ESIEE)}}%ESIEE 2009
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses et justifier, soit par une propriété du cours, soit par un contre-exemple (éventuellement graphique).


\begin{enumerate}
\item Soient $\left(u_{n}\right)$   et   $\left(v_{n}\right)$ deux suites réelles vérifiant pour tout  $n\geqslant 0$ :  .$u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant 2u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(v_{n}\right)$ converge.

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=+\infty$.

\item  Si $\left(u_{n}\right)$ ne converge pas, alors $\left(v_{n}\right)$ ne converge pas.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ :
\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$.


\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$, alors $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir d’un certain rang.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



%\subsection{}
%Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{l}v_{0}=0\\v_{n+1}=v_{n}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\end{array}\right.$. Alors :
%
%\begin{enumerate}
%\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
%
%\item $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique. 
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $u_{o} +u_{l} +u_{2} +\cdots+u_{n} = 2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1} = 1+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
%
%\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=2$.
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Pour toute suite réelle $\left(u_{n}\right)$ :
%
%\begin{enumerate}
%\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(u_{n}^{2}\right)$ converge. 
%
%\item Si $\left(u_{n}^{2}\right)$converge, alors $\left(u_{n}\right)$ converge.
%
%\item Si $\left(u_{n}\right)$ est bornée, alors $\left(u_{n}\right)$ converge.
%
%\item  Si $\left(u_{n}\right)$ converge, alors $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
%
%\item Si $\left(u_{n}^{2}\right)$ est bornée, alors $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^{n}+5$ est un multiple de 3.

%\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$ : \[1+5+9+\cdots+(4n-3)=\dfrac{n(4n-2)}{2}.\]


\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{à}=1\\u_{n+1}=u_{n}(5+u_{n})\end{array}\right.$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que tous les termes de cette suite $\left(u_{n}\right)$ sont positifs.

\item Étudier la monotonie de cette suite.
\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier dans chaque cas la limite éventuelle de la suite $\left(u_{n}\right)$ :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_{n}=\dfrac{3n^{2}+5n+1}{n^{2}+1}$

\bigskip
\item $u_{n}=\dfrac{n+2}{5n^{2}+1}$

\bigskip
\item $u_{n}=\dfrac{5+\cos(n)}{n+1}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac métropole juin 2009}}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.

\item Conjecturer la nature de la suite ; en déduire une conjecture sur l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.

\item En déduire la valeur de $w_{\numprint{2000}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}}
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 
$\left\{\begin{array}{l}u_{0} = - 1\\u_{1} = \dfrac{1}{2}\\
u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}\end{array}\right.$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}$.  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}.\] 
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}


\end{multicols}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Barème}} :\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Exercice&I&II&III&IV&V&VI\\
\hline
Points&2&3&2&2,5&3&7\\
\hline

\end{tabularx}


\label{fin}
\end{document}  