\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur les nombres complexes (2 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{1,5 point}}
Déterminer les formes algébriques des nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=$~]
\item $(2+3\mathrm{i})(1-7\mathrm{i})$

\bigskip

\item $\left(2-3\mathrm{i}\right)^2$

\bigskip

\item $\dfrac{2+5\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2 points}}
Donner une forme trigonométrique des nombres suivants :
\begin{enumerate}[$A=$~]
\item $1+\mathrm{i}$

\bigskip

\item $\sqrt{3}-\mathrm{i}$

\bigskip

\item -5

\bigskip

\item $-3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2,5 points}}

\begin{enumerate}
\item Donner une forme trigonométrique de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.

\item En déduire la forme algébrique de \[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)^{2014}.\]

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $2\mathrm{i}z=1-z$

\bigskip

\item $(2+3\mathrm{i})z=1-5\mathrm{i}$

\bigskip

\item $z=2\overline{z}$

\bigskip

\item $z^2=-3$

\bigskip

\item $3z^2+2z+5=0$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{2 points}}
Soit $z$ un nombre complexe et soit $z'$ le nombre complexe défini par $z'=(z-\mathrm{i})(3\mathrm{i}z-4)$.\\
On pose $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$ $x'\in\mathbb{R}$ et $y'\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item 

Déterminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $z$ tel que $z'$ soit imaginaire pur.

\item Représenter l'ensemble des points d'affixe $z$ correspondants dans le plan complexe.
\end{enumerate}

%\item Déterminer $z\in\mathbb{C}$ tel que $z'$ soit réel.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
On considère les nombres complexes $z_1=\sqrt{2}(1+\mathrm{i})$ et $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}2{}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}

\item Déterminer la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.

\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.

\item En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Dans le plan complexe muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_\text{A}=-1-\mathrm{i}$, $z_\text{B}=2-2\mathrm{i}$ et $z_\text{C}=1+5\mathrm{i}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la forme algébrique de \[z=\dfrac{z_\text{C}-z_\text{A}}{z_\text{B}-z_\text{A}}.\]

\item En déduire le module et un argument de $z$.
\end{enumerate}

\item Interpréter $|z|$ et $\arg(z)$ à l'aide des points A, B et C.

\item En déduire la nature du triangle ABC.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Résoudre soigneusement l'inéquation suivante : \[\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{x+3}.\]


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  