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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3 \no 4}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
4 mai 2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : contrôle commun \no 4 (4 heures)}}\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 (5 points)}}%Métropole septembre 2013
Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item La machine A assure 40\,\% de la production et la machine B en assure 60\,\%.
 
On estime que 10\,\% des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9\,\% des pièces issues de la machine B ont un défaut.
 
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants : 

\index{probabilité}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og La pièce est produite par la machine A \fg
\item $B$ : \og La pièce est produite par la machine B \fg
\item $D$ : \og La pièce a un défaut \fg.
\item $\overline{D}$,  l'évènement contraire de l'évènement $D$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation à  l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A. 
		\item Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l'évènement $D$ est égale à  $0,094$. 
		\item On constate que la pièce choisie a un défaut.
		 
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
	\end{enumerate} 
	
\item %On estime que la machine A est convenablement réglée si 90\,\% des pièces qu'elle fabrique sont conformes.
 
On décide de contrôler cette machine en examinant 150 pièces choisies au hasard dans la production de la machine A. On assimile ces 150 tirages à  des tirages successifs indépendants et avec remise.
 
On note $X$ le nombre de pièces qui sont non conformes  parmi les 150 pièces choisies.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 

\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une pièce non conforme.

\item Calculer $p(X\leqslant 149)$. On donnera la valeur exacte.
	\end{enumerate} 

		\item Dans cette question, on examine $n$ pièces quelconques.
		
		 Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $p(X\geqslant 1)\geqslant 0,99$.

\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (5 points)}}%Centres étrangers juin 2009
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\psset{unit=5.8cm}
%\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
%\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
%\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
%\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
%\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
%\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
%\end{pspicture}
%
%\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.2)(1.5,1)
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\multips(0,0)(0,2.5){3}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.5,0)(1.5,0)}
\multips(0,0)(2.5,0){5}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.2)(0,1)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1pt]{-0.5}{1.5}{1/(1+EXP(-x))}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1pt]{-0.5}{1.5}{EXP(-x)/(1+EXP(-x))}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1pt]{-0.5}{1.5}{EXP(-2*x)/(1+EXP(-x))}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{-0.3}{1.5}{EXP(-3*x)/(1+EXP(-x))}
\uput[dl](0,0){0}
\multido{\r=-0.5+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,-0.3)(\r,1)}
\multido{\r=-0.3+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](-0.5,\r)(1.5,\r)}
\psline[linewidth=1pt](1,-0.3)(1,1)
\psline[linewidth=1pt](-0.5,1)(1.5,1)
\uput[dl](1,0){1}
\uput[r](0,1){1}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-0.4,0.4){$\mathscr{C}_0$}
\uput[d](-0.4,0.6){$\mathscr{C}_1$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathscr{C}_3$}
\uput[u](-0.2,0.8){$\mathscr{C}_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textcolor{red}{ \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ }

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$

\item Étudier les variations de $f_1$ et dresser son tableau de variation. 
		
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ }

On pose, pour tout entier naturel $n ~~ :\quad  u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  f_{n}(x)\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$.
\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)\leqslant \mathrm{e}^{-nx}$.

\item En déduire que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. 
\item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$.

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. 
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (5 points)}}%d'après Nouvelle-Calédonie novembre 2012
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Restitution organisée de connaissances}} %(Liban 31 mai 2011) }}\\
%\textbf{\textcolor{blue}{Première possibilité :}}

\textbf{Prérequis :} On suppose connu le résultat suivant :

\medskip
 
Quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z',\: \text{arg}\left(z \times z'\right) = \text{arg} (z) + \text{arg} \left(z'\right)$ à $2\pi$ près.
 
Démontrer alors que, quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z'$, on a : \[\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)\text{ puis }\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}\left(z'\right)\text{ à }2\pi\text{ près.}\]

%\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième possibilité}}
%
%\textbf{Prérequis}
%
%\medskip
% 
%Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
% 
%On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.
%
%\medskip
 
%\textbf{Questions}
% 
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
%\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
%\end{enumerate}

\noindent \emph{\textbf{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}}

\medskip
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
 
La figure sera réalisée  avec 4~cm pour unité graphique.

\bigskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]

 où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$. 
\item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip
 
On considère l'application $f$ du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 

\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
 
\item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
M' \neq \text{A} ;\\ 
\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
\end{array}\] 
 
\item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P. 
\item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit un point $M$ appartenant à la droite $\mathscr{D}$ d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$. 
		\item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (5 points)}}%Nouvelle Calédonie mars 2011
\textbf{Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$

\medskip 
	 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Construire les quatre premiers termes de la suite sur la courbe fournie en annexe.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 

Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 de spécialité (5 points)}}
\textbf{Pour les élèves ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le but de cet exercice est d'étudier certaines propriétés
de divisibilité de l'entier $4^{n}-1$, lorsque $n$
est un entier naturel. 

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat
:

 \og{} si $p$ est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier
avec $p$ , alors $a^{p-1}-1\equiv0\, mod\, p$\fg{}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Quelques exemples}


\begin{enumerate}[1)]
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $4^{n}$ est congru
à 1 modulo 3. 

\item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que
$4^{28}-1$ est divisible par 29. 

\item Pour $1\leq n\leq4$, déterminer le reste de la division de $4^{n}$
par 17. En déduire que, pour tout entier $k$ , le nombre $4^{4k}-1$
est divisible par 17. 

\item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^{n}-1$ est-il divisible
par 5?

\item À l'aide des questions précédentes, déterminer
quatre diviseurs premiers de $4^{28}-1$.

\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Partie B : Divisibilité par un nombre premier }

Soit $p$ un nombre premier différent de 2. 


\begin{enumerate}[1)]
\item  Démontrer qu'il existe un entier $n>1$ tel que
$4^{n}\equiv1\, mod\, p$ 

\item Soit $n>1$ un entier naturel tel que $4^{n}\equiv1\, mod\, p$.
On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel que $4^{b}\equiv1\, mod\, p$
et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$ 


\begin{enumerate}
\item Démontrer que $4^{r}\equiv1\, mod\, p$. En déduire que $r=0$.

\item Prouver l'équivalence : $4^{n}-1$ est divisible
par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$.

\item  En déduire que $b$ divise $p-1$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage
\begin{center}
\huge \textbf{\textcolor{red}{Annexe à l'exercice 4 (pour les non-spécialistes)}}

\end{center}
\bigskip

\begin{center}

\psset{xunit=10cm,yunit=15cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(1.1,1.1)
\multips(0,0)(0,2.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.2,0)(1.1,0)}
\multips(0,0)(2.5,0){3}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.1)(0,1.1)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.1)(1.1,1.1)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.7pt](-0.2,-0.1)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0.0}{1.0}{x-ln(x^(2)+1)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.07,-0.04){$f$}
\end{scriptsize}
\uput[d](0.9,0.3){$\mathscr{C}$}
\psline(0,0)(1,1)
\uput[r](0.6,0.6){$y=x$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  