\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3 \no 3}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{PARTIE I}}\\

\noindent Soi $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h (x) = \mathrm{e}^{x} + x+ 1$. 

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $h$ et ses limites. 

\item Montrer que l"équation $h (x ) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. 

\item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. Justifier.

\item  Donner le signe de $h ( x )$ . 

\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie II}}\\

\noindent Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f ( x) = \dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ d'unité graphique 4 cm.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est dérivable et montrer que $f'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}h(x)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}$.

\item En déduire le sens de variation de $f$. 

\item Montrer que $f(\alpha)=\alpha +1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$.


\item Soit $( T)$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. 

\begin{enumerate}
\item   Donner une équation de $(T ) $.

\item Étudier la position relative de $( T)$ et $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$. Dresser le tableau de variation de $f$. 

\item Montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.\\
Que peut-on en dire alors de $(D)$ où $(D)$ est la droite d'équation $y=x$ ?

\item Étudier la position relative de $(D )$ et $\mathscr{C}$.



\item Tracer sur une même figure $\mathscr{C}$, $ ( D)$ et $( T )$ sur $[ - 2~;~ 4 ].$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\begin{enumerate}
\item 
\noindent Soit $\mathscr{A}$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par  $\mathscr{A}(x) = (\cos(x)+1) \sin(x)$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction dérivée $\mathscr{A}'$ de la fonction $\mathscr{A}$ est définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : \[\mathscr{A}'(x)=2\cos^2(x)+\cos(x)-1.\]

\item Étudier le signe du trinôme $2X^2 + X - 1$.

\item En déduire le signe de $\mathscr{A}'$ en fonction de $x$, puis les variations de la fonction $\mathscr{A}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Application numérique}\\

\noindent On considère le trapèze isocèle ABCD ci-dessous où AD = AB = BC = 1.\\
Trouver la valeur de l'angle x pour laquelle l'aire du trapèze est maximale.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1)(6,3)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1)(6,3)
\pspolygon(-2.24,0)(0,2)(3,2)(5.24,0)
\pspolygon(0,0.42)(-0.42,0.42)(-0.42,0)(0,0)
\pspolygon(3.42,0)(3.42,0.42)(3,0.42)(3,0)
\psline(0,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](-2.24,0)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(5.24,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5.24,0)(-2.24,0)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(3,0)
\pscustom{\parametricplot{0.0}{0.7297276562269663}{0.6*cos(t)+-2.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(-2.24,0)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{2.411864997362827}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+5.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(5.24,0)\closepath}
\uput[r](-1.8,0.25){$x$}
\uput[r](4.3,0.25){$x$}

%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2)
\rput[bl](0.08,2.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.08,2.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.24,0)
\uput[l](-2.24,0){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.24,0)
%\rput[bl](2.32,0.12){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.76,0)
%\rput[bl](0.84,0.12){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.24,0)
%\rput[bl](5.32,0.12){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,0)
\uput[r](5.24,0){\darkgray{$C$}}
%\rput[bl](-1.98,0.04){\qqwuqq{$\alpha$}}
%\rput[bl](4.84,0.04){\qqwuqq{$\beta$}}
%\rput[bl](-0.32,0.16){\qqwuqq{$\gamma$}}
%\rput[bl](3.18,0.16){\qqwuqq{$\delta$}}
%\end{scriptsize}
\uput[r](0,1){$h$}
\end{pspicture*}
\end{center}


%\begin{enumerate}
%\item Exprimer la hauteur h du trapèze en fonction de l'angle $x$.
%
%\item Démontrer que l'aire du trapèze est définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $\mathscr{A}(x) = (\cos(x)+1)\times \sin(x)$.

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par : 	
\[z_0=1\text{ et }z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z_n.\]
On note $An$ le point d'affixe $z_n$, 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer sous forme algébrique les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.

\item Dans un repère orthonormé direct (unité graphique 8 cm), placer les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ et $A_6$
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n =\left|z_{n+1} - z_n\right|$
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $z_{n+1}-z_n=\left(\dfrac{3}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(z_n-z_{n-1}\right).$


\item En déduire une relation entre $d_n$ et $d_{n-1}$ pour $n\geqslant 1$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ et $d_0$.

\item Fournir une interprétation géométrique des nombres $d_n$.

\item On pose $L_n=\sum_{k=0}^{n-1}A_kA_{k+1}=A_0A_1+A_1A_2+\cdots+A_{n-1}A_n$ ; $L_n$ est la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs $A_0$, $A_1$, \dots, $A_n$.\\
Déterminer $L_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ l'argument de $z_n$ dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. 

\begin{enumerate}
\item  Établir une relation entre $a_n$ et $a_{n-1}$ pour tout entier $n\geqslant 1$.\\
En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$. 

\item Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les non-spécialistes}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

\begin{enumerate}
\item $\left(\mathrm{e}^{3x+1}\right)^2=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{-2x}}$.

\item $\mathrm{e}^{\frac{-3x+1}{2x+3}}\leqslant 1$.
\end{enumerate}

\item Simplifier l'écriture suivante : $A=\dfrac{\mathrm{e}^{2-x}\times \mathrm{e}^{3x-5}}{\mathrm{e}^{-2x}\times \mathrm{e}^{2}}$.

\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : 

\begin{enumerate}
\item $3+4\mathrm{i}-4\mathrm{i}z=2z-4$

\bigskip

\item $2z+\overline{z}=9+\mathrm{i}$

\bigskip

\item $z^4+z^2-20=0$
\end{enumerate}

\item \textbf{QCM :} Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. \\
Aucun point ne sera donné si la réponse n'est pas justifiée.
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ un nombre complexe. Alors $|z+\mathrm{i}|$ est égal à \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $|z| + 1$&  \textbf{b.} $|z - 1|$&  \textbf{c.} $|\text{i}\overline{z} + 1|$\\
\end{tabularx}

\item Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$.\\
Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$&  \textbf{b.} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$&  \textbf{c.} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\
\end{tabularx}

\item La forme algébrique de $\dfrac{5-2\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}}$ est :\\
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.} $\dfrac{26}{25}+\dfrac{7}{25}\mathrm{i}$&\textbf{b.} $\dfrac{14}{25}-\dfrac{23}{25}\mathrm{i}$&\textbf{c.} $\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{3}\mathrm{i}$&\textbf{d.} $\dfrac{26}{24}-\dfrac{23}{25}\mathrm{i}$
\end{tabularx}

\item Le conjugué de $\dfrac{1-z}{1+\mathrm{i}}$, où $z$ est un nombre complexe est :\\
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
 \textbf{a.} $\dfrac{1+z}{1-\mathrm{i}}$&\textbf{b.} $\dfrac{-1-z}{-1+\mathrm{i}}$&\textbf{c.} $\dfrac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}}$&\textbf{d.} $(1-z)(1-\mathrm{i})$
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les spécialistes }}

On considère l\textquoteright{}algorithme suivant : 

\bigskip

\begin{center}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{|l>{\raggedright}p{5cm}|}
\hline 
Variables :  & $a$ est un entier naturel

$b$ est un entier naturel

$c$ est un entier naturel

$ $\tabularnewline
Initialisation :  & Affecter à $c$ la valeur 0

Demander la valeur de $a$

Demander la valeur de $b$

$ $\tabularnewline
Traitement : & Tant que $a\geq b$

Affecter à $c$ la valeur $c+1$

Affecter à $a$ la valeur $a-b$

Fin tant que

$ $\tabularnewline
Sortie : & Afficher $c$ 

Afficher $a$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{center}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie 1 :}} 


\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a=13$ et $b=4$ puis avec
$a=15$ et $b=3$ en indiquant les valeurs des variables à chaque
étape. 

\item Que permet de calculer cet algorithme? 

\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie 2 : }}

\noindent À chaque lettre de l\textquoteright{}alphabet, on associe, grâce au
tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.\\

\footnotesize
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\tabularnewline
\hline 
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\\

\normalsize
\noindent On définit un procédé de codage de la façon suivante : 

\emph{Étape 1 :} À la lettre que l\textquoteright{}on veut coder,
on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau. 

\emph{Étape 2 :} On calcule le reste de la division euclidienne de
$9m+5$ par 26 et on le note $p$.

\emph{Étape 3 :} Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante
dans le tableau.

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U.

\item En s'inspirant si besoin de la partie 1, écrire un algorithme qui,
pour une valeur de $m$ entrée par l\textquoteright{}utilisateur,
affiche la valeur de $p$, calculée à l\textquoteright{}aide du procédé
de codage précédent. 

\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie 3 : }}

\begin{enumerate}

\item  Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $9x+26z=1$. 


\item En déduire un nombre entier vérifiant $9x\equiv1\,[26]$. 

\item Démontrer l\textquoteright{}équivalence : $9m+5\equiv p\,[26]\Leftrightarrow m\equiv3p-15\,[26]$

\item Décoder le mot TS.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  