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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3 \no 2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : contrôle commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}





\subsection{}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

\begin{enumerate}
\item La suite de terme général $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge vers 0.

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_{n+1}=3u_n+1$.
\begin{enumerate}
\item Si $u_0=1$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\item Si $u_0=-2$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\item Si $u_0=-\dfrac{1}{2}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante.

\end{enumerate}

\item Toute suite $v$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.

\item La suite de terme général $u_n=\numprint{0,999999999}^n$ converge vers 1.

\end{enumerate}

\subsection{}%\textcolor{blue}{ES  Centres étrangers 2010}
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. En 2010, la forêt possède \numprint{50000}~arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\:\% des arbres existants et de replanter \numprint{3000}~arbres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la situation peut être modélisée par :
 \[u_{0} = 50~\text{et pour tout entier naturel}~n~\text{par la relation :}~ u_{n + 1} = 0,95u_{n} + 3.\]
 
\item  On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 60 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$. 
		\item Calculer $v_{0}$. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 60 - 10 \times (0,95)^n$.
			\end{enumerate} 
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité 
		
\[u_{n + 1}  - u_{n} = 0,5 \times  (0,95)^n.\] 
		\item  En déduire la monotonie de la suite.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\:\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter. 
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{ES Amérique du Nord}}
%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~11]$, et on donne sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, figure ci-dessous.

%\medskip

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.6cm}
%\begin{pspicture}(-3,-1)(12,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-3,-1)(12,5)
%\multido{\n=-0.75+0.25}{23}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](-3,\n)(12,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(12,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
%\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-}(-2,0.5)(-1.5,0.5)(-.75,0.5)(0,2)
%\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-}(0,2)(1,4)(1.5,4.5)(2,4.5)
%\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-}(2,4.5)(2.75,4.5)(3.5,3)(4.5,2)
%\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-}(4.5,2)(5.5,1)(7.9,-.75)(11,-.75)
%%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,0.5)(-1,0.75)(-0.5,1.25)(0,2)(0.5,3)(1,3.75)(2,4.5)(3,3.82)(4,2.5)(5,1.5)(6,0.75)(7,0.23)(7.5,0)(8,-0.23)(9,-0.5)(11,-0.75)
%\psdots(-2,0.5)(0,2)(2,4.5)(4.5,2)(7.5,0)(11,-0.75)
%\uput[ul](-2,0.5){A} \uput[r](0,2){B} \uput[u](2,4.5){C} 
%\uput[ur](4.5,2){D} \uput[ur](7.5,0){E} \uput[ur](11,-0.75){F}
%\psline{<->}(-1,0)(1,4) \psline{<->}(-3,0.5)(-1,0.5)
%\psline{<->}(1,4.5)(3,4.5) \psline{<->}(3,3.5)(6,0.5)
%\psline{<->}(10,-0.75)(12,-0.75)

%
%\end{pspicture}
%\end{center}

%\medskip

%On sait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A$(-2~;~0,5)$, B(0~;~2), C(2~;~4,5), D(4,5~;~2),  E(7,5~;~0) et F$(11~;~-0,75)$.

%Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ aux points A, B, C, D et F sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.

%\medskip

%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses \textbf{A,~B} ou \textbf{C} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $O$.}

%
%\medskip

%\begin{enumerate}
%\item $f'(0)$ est égal à :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{A :} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{B :} $2$&\textbf{C :} 4\\
%\end{tabularx}

%\medskip

%\item $f'(x)$ est strictement positif sur l'intervalle :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{A :} $]0~;~11[$&\textbf{B :} ]0~;~7,5[&\textbf{C :} $]-2~;~2[$\\
%\end{tabularx}

%\medskip

%\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point D est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{A :} $y = - x + 6,5$&\textbf{B :} $y = x - 6,5$&\textbf{C :} $y = -2x + 11$\\
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Proposition}}
%Soit $x$ un réel différent de 1.\\
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ :
%\[1+x+x^2+\cdots+x^n=\dfrac{1*x^{n+1}}{1-x}/\]


%\subsection{}
%$\left(u_n\right)$ est la suite définie par $u_0= -1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{n+1}=\dfrac{nu_n+3n+6}{2(n+1)}.\]
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par 3.

%\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

%\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
%\end{enumerate}

%\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie par $v_n=n\left(3-u_n\right)$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.

%\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

%\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_0=3\\u_{n+1} = \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2 + 1}}\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item Démontrer que la suite est décroissante.

\item Justifier la convergence de la suite.

\item Calculer sa limite
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Proposition (asymptotes)}}

%\begin{enumerate}
%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote.

%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote.

%\item Donner un exemple de fonction dont la courbe représentative admet la droite d'équation $x=2$ et la droite d'équation $y=2$ comme asymptote.
%\end{enumerate}



%\subsection{}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $f$ une fonction définie et continue sur [-2~;~3]., telle que $f(-2)=-1$ et $f(3)=7$.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ est :

%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item  Soit $f$ une fonction définie et continue sur [-2~;~3], telle que $f(-2)=-1$ et $f(3)=7$.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=8$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item Soit $f$ la fonction défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+2x-11$ et soit $k$ un réel.\\
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\item Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[-2~;~+\infty[$ tlle que $f(-2)>0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-1.$
%Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est :
%\begin{enumerate}
%\item aucune

%\item une seule.

%\item au moins une.

%\item on ne peut rien dire.
%\end{enumerate}

%\end{enumerate} 

\subsection{}
Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
 \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2-\dfrac3x\right)$ \bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3x^2-8x+1\right)$ \bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{6x-1}{3x^2+x-2}\right)$ \bigskip

%\columnbreak
\item $\lim_{x\rightarrow 2}\left(\dfrac{3x^2-5x-2}{2x^2-5x+2}\right)$ \bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow 3}\left(\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}\right)$ \bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{5x-3}{2x+1}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Sot $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}ax+3&\text{ si }x\in\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right[\\\\\sqrt{\dfrac{2x-1}{x+15}}&\text{ si }x\in\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]\\\\\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}&\text{ si }x\in]1~;~+\infty[\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est continue en 1. (indication : penser à la quantité conjuguée) 

\item Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $\dfrac{1}{2}$ ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
\subsection{}
Soit (E) l'équation : $x^3-2x-2=0$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2~;~3]$.

\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (E) à l'aide des représentations graphiques des fonctions $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto 2x+2$.

\item Justifier par une étude de fonction le nombre de solutions trouvé précédemment.

\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la ou des solutions de (E).
\end{enumerate}


\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{(Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité)}}%\textcolor{blue}{Métropole septembre 2013}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 

On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$. On pourra en donner une valeur approchée à  $10^{-2}$ près. 
		\item Vérifier que si $n$ est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$. 
		\item Établir que pour tout entier naturel $n, u_{n+ 1} - 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}$. 
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$	
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout entier naturel $n, 
 v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		
En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} =  \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
		  
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection*{\textcolor{blue}{VII (Pour les élèves suivant  l'enseignement de spécialité)}}
\emph{\textbf{Important} : Dans tout l'exercice on pourra utiliser la propriété suivante sans démonstration :}\\
\og{} Soirnt $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$ alors $x^n - 1$ est divisible par $x- 1$.\fg \\

\noindent Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : \[\left\{\begin{array}{l}u_0 = 14\\
u_{n+1} = 5u_n- 6\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers
chiffres de $u_n$ ?

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
$u_{n+2}\equiv  u_n~[4]$.

\item En déduire que pour tout $k\in\mathbb{N}$ ; $u_{2k} \equiv  2~[4]$ et $u_{2k+1}\equiv  0~[4]$.
\end{enumerate}

\item Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$;  $2u_n = 5^{n+2} + 3$.	

\item On suppose que $n$ est pair. Démontrer que $2u_n- 28$ est divisible par 200. En déduire les
deux derniers chi res de l'écriture décimale de $u_n$.

\item On suppose désormais que $n$ est impair. Démontrer que $2u_n - 128$ est divisible par 200. En
déduire les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_n$.
\end{enumerate}


%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}   