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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur la fonction $\boldmath{\ln}$ (2 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
Exprimer en fonction de $\ln 2$ les rôles suivants :

$\ln 8$\hspace{0.6cm} ; \hspace{0.6cm}$\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$\hspace{0.6cm} ; \hspace{0.6cm}$\ln(16\mathrm{e})$\hspace{0.6cm} ; \hspace{0.6cm}$\ln(\sqrt{2})$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :


\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\ln(2x-1)+\ln(-x+5)$

\bigskip

\item  $g(x)=\ln\left(\dfrac{2x+3}{x-2}\right)$

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre l'inéquation : $\ln(x) \geqslant\ln 4-\ln(x+1)$

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Déterminer la limite aux bornes de son ensemble de définition des fonctions suivantes : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x-\ln x$ définie sur $]0~;~+\infty[$

\bigskip

\item $\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$ définie sur $]-\infty~;~-1[\cup]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $g$ la fonction définie  sur $]0~;~+\infty[$ par \[g(x)=x-x\ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en $+\infty$.

\item Montrer que $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et calculer $g'(x)$.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.		
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{(7 points)}} %Réunion juin 2010
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par \[f(x)=1+\ln(1+x).\]

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représente dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

On note $(D)$ la droite d'équation $y=x$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}

\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.

\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\end{enumerate}

\item On désigne par $g$ la fonction définie par \[g(x)=f(x)-x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow -1}g(x)$.

\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}$. 

En déduire  $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$.

\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$, puis dresser son tableau de variation.

\item Montrer que sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<0$ et $\beta$ appartenant à l'intervalle [2~;~3].

\item A l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de $g(x)$. En déduire la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $(D)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}


\bigskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right..\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[2\leqslant u_n\leqslant\beta.\]

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  