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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ mars 2016 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {mars 2016}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5}}\\


\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
Le candidat doit traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV en fonction de l'enseignement de spécialité suivi.\\
L'exercice de spécialité est en page 5.

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}
\newpage
\normalsize

\subsection{}
On considère le plan complexe $\mathscr{P}$ muni du repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Soit le polynôme $P$ tel que, pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ , $P ( z ) = z^3 - 4z^2 + 6 z - 4$.


\begin{enumerate}

\item Montrer que 2 est une racine du polynôme $P(z)$.

\item Déterminer les réels $a$, $b$, $c$  tels que \[P(z) = ( z-2) \left(az^2 + bz + c\right)\] et résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P ( z ) = 0$.

\end{enumerate}

\item On note $\alpha$ la solution de l’équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugué de $\alpha$.

\noindent Soient $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $\alpha$ , $1-\mathrm{i}$ et 2.

\noindent Déterminer  la nature exacte du quadrilatère $OACB$. 


\item Soit $f$ l’application de $\mathscr{P}$ privé du point $C$ dans $\mathscr{P}$ qui au point $M$ d’affixe $z,~\left(z\neq 2\right)$, on associe le point $M'$ d’affixe $z'$ définie par : \[z' =\dfrac{ z - (1 + i)}{z - 2}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f (A)$ et $f (B)$. Déterminer le point $E$ tel que $f(E) = C$.

\item Quelles distances représentent les réels $\vert z - (1 + \mathrm{i})  \vert $et  $\vert z - 2 \vert$ ?

\noindent En déduire que si $M$ appartient à la médiatrice de $[AC]$, $M'$ appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\newpage
\subsection{}
\label{geometrie}
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}(1~;~-3~;~1)$.

On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1-t\\
y&=&2+t\quad(t\in\mathbb{R})\\
z&=&1-t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}

On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée ci-dessous.

\begin{enumerate}

\item On considère le vecteur $\overrightarrow{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\overrightarrow{w}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.

\item Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $P$.
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Calculer la longueur $HH'$.
	\end{enumerate}
	
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\overrightarrow{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\overrightarrow{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\overrightarrow{HH'}$.
		
		\item En déduire que $\left\vert\left\vert \overrightarrow{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \overrightarrow{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}

\medskip


\begin{center}
\textbf{FIGURE}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}%Polynésie juin 11997
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = x - 1 + \left(x^2 + 2\right)\mathrm{e}^{-x}.\]
 On note $\left(\mathscr{C}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ .
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie I :  Étude d’une fonction auxiliaire.}}

\bigskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g ( x ) = 1 - \left(x^2 - 2 x + 2\right) \mathrm{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Calculer la dérivée de $g$ et déterminer son signe. 

\item En déduire le tableau de variation de $g$.

\item Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[0,35\leqslant \alpha\leqslant  0,36.\]

\item En déduire le signe de $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ \textcolor{red}{Partie II : Étude de $f$ }}
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Déterminer $f '(x)$ pour tout $x$ réel. 

\item En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. 

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : \[f (\alpha ) = \alpha\left(1+2\mathrm{e}^{-\alpha}\right).\]

\item À l’aide de l’encadrement de $\alpha$ déterminer un encadrement de $f ( \alpha )$ d’amplitude $4 \times 10^{ -2}$ . 
\end{enumerate}

\item Donner une équation de la tangente T à $\left(\mathscr{C}\right)$ au point d’abscisse 0.

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x-1)]$.

\item En déduire que la droite $\Delta$ d’équation $y = x - 1$ est asymptote à $\left(\mathscr{C}\right)$ en $+\infty$.

\noindent Étudier la position de $\left(\mathscr{C}\right)$ par rapport à $\Delta$.


%\item Tracer $\Delta$ , $T$ puis $\left(\mathscr{C}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}
\bigskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0 =\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} =\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right).$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f (x) =\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  Étudier le sens de variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal . (On prendra comme unité 2 cm).

\item Utiliser le graphique précédent pour construire les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ de l’axe $\left(O~;~\overrightarrow{\text{i}}\right)$ d’abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant \sqrt{2}$.

\item Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2}$, $f (x)\leqslant x$.

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante à partir du rang 1.

\item Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.Montrer que $\ell$ est solution de l’équation $x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$.

\item En déduire sa valeur.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}
\textbf{Pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\medskip

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
 
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
 
\og Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire \fg.
 
Un spectateur annonce $308$ et en quelques secondes, le magicien déclare : \og Votre anniversaire tombe le 1\up{er} août ! \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre $308$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). 

Exprimer $z$ en fonction de $j$ et de $m$ et démontrer que $z$ et $m$ sont congrus modulo 12. 
		\item Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\columnbreak
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.
 
\emph{Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Première méthode} :
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Variables :}&$j$ et $m$ sont des entiers naturels\\
\textbf{Traitement :}& Pour $m$ allant de 1 à 12 faire :\\ 
& \hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
Pour $j$ allant de 1 à 31 faire :\\
	\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
	$z$ prend la valeur $12j + 31m$\\ 
	Afficher $z$\\
	\end{tabular}\\ 
Fin Pour\\
\end{tabular}\\ 
&Fin Pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. 
\item \textbf{Deuxième méthode} :
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $7m$ et $z$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12. 
		\item Pour $m$ variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de $7m$ par 12. 
		\item En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Troisième méthode} : 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$. 
		\item En déduire que si un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$, alors $12(x + 2) = 31 (17 - y)$. 
		\item Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs 
		$(x~;~y)$, solutions de l'équation $12x + 31y = 503$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$.
		 
En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  