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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ mars 2015 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {mars 2015}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\

Le sujet comporte des annexes (feuilles 5 et 6), \textbf{à rendre avec la copie}.\\

\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
Le candidat doit traiter les exercices I, II, III et l'exercice \ref{courbe} en fonction de l'enseignement de spécialité suivi.\\\\

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}
\newpage
\normalsize


\subsection{}%Nouvelle Calédonie mars 2011
\label{courbesuite}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.\]

\medskip 
	 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Construire les quatre premiers termes de la suite sur la courbe fournie en annexe. 

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 

Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 

\subsection{}%Amérique du sud novembre 2013
\label{figurecomplexes}
Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormé direct.
 
On considère l'équation \index{complexes} 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
		\item Calculer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  \numprint{1000}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\subsection{}%Centres étrangers juin 2012
On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $x$ réelle :

\[\text{e}^{x} = 3\left(x^2 + x^3\right)\]

\bigskip

\textbf{PARTIE A : conjecture graphique}

\medskip

 Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\left(x^2 + x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $(E)$ et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

\bigskip

\textbf{PARTIE B : étude de la validité de la conjecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.
          \item En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
          \item Vérifier que $0$ n'est pas solution de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel $x$ de $]-1~;,~0[~\cup~ ]0~;~+\infty[$ par :
  
      \[h(x)=\ln 3 + \ln\left(x^2\right)+\ln(1 + x) - x.\]
      Montrer que, sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $h(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : \[h^{\prime}(x)=\frac{-x^2+2x+2}{x(x+1)}\]
          \item Déterminer les variations de la fonction $h$.
          \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
	\end{enumerate}
\item Conclure quant à la conjecture de la \textbf{partie A}.
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}%Antilles-Guyane juin 2013
\label{courbe}
\textbf{Partie A}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[
f(x) = (x + 1)\text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$ : \[f'(x) = (x + 2)\text{e}^x.\]
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
\item  Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe  les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_{\mathrm{e}}$, et $\mathscr{C}_{-\mathrm{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).\\
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.

\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à  la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{IV Pour les candidats  suivant  l'enseignement de spécialité}}%Antilles-Guyane septembre 2014

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.
 
D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence. 

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. 

On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note \\
$I  = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. 

On suppose que le 1\up{er} janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50~millions d'euros et l'agence Y possède 10~millions d'euros. 

L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : 
\[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\] 
\index{matrices}
\begin{enumerate}
\item Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$. 
\item Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros. 
\item On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et \\
$Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$. 
		\item Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$.
		
		\noindent  Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
	\end{enumerate}
	\medskip
	 
On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$
\[A^n = P D^nQ.\]

\medskip
 
\item On pose pour tout entier naturel $n$ : \[V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$. 
		\item Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel. On admet que 
\footnotesize \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(-  0,3^n + 0,7^n\right)\\ 
0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
 \normalsize
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs. 
		\item En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\newpage
%
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{courbesuite}}\\

\psset{xunit=7.0cm,yunit=6.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.5,1.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(1.5,1.2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.2}{1.5}{x-ln(x^2+1)}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.3}{x}
%\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](0,0)(-0.2,-0.5)(2,1.2)
\multido{\r=-0.1+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\r,-0.5)(\r,1.2)}
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\multido{\n=1+1}{2}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,-0.5)(\n,1.2)}
\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,1)(1.5,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0.3){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](1,1){$y=x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{figurecomplexes}}\\
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(19,11)
\multido{\n=0+2}{10}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-8)(\n,10)}
\multido{\n=-8+2}{10}{\psline[linewidth=0.8pt](-0.5,\n)(18,\n)}

\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2,linewidth=2pt](0,0)(-0.9,-8)(18,10)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}



\newpage
\begin{center}
ANNEXE À L'EXERCICE \ref{courbe}\\
\vspace{1cm}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](0,0)(-2,-4)(5,8)

\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-4)(5,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}




\label{fin}
\end{document}  