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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ mars 2014 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {mars 2014}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\
La page \pageref{fin} comporte une annexe et est à rendre avec la copie
\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
Le candidat doit traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV en fonction de l'enseignement de spécialité suivi.\\\\

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}
\newpage
\normalsize


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}%\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2011 (6 points)}
\textbf{Partie A}
 \label{courbe}
On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x - 1.$
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }\\
On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.$
 
La courbe  $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. 
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate} 
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
%		\item Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\bigskip
	 
\textbf{Partie C}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
\end{array}\right.$
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}

%\columnbreak

\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2001 (4 points)}
Le plan est rapporté  à un repè
re orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

\begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ : 

\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

\item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} +
4$i. 

 Calculer les distances OA, OB et AB puis en déduire la nature du triangle OAB.

\item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3}+\mathrm{i}$.\\
D est le point d'affixe $d$ où D est tel que $\text{OD}=\text{OC}$ et $\left(\overrightarrow{OC}~;~\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{\pi}{3}$. .% son image par la rotation de centre O et d'angle 
%$\cfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D.

\begin{enumerate}
\item En déduire que $\dfrac{d}{c}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$.

\item En déduire l'écriture algébrique de $d$.
\end{enumerate}

\item On appelle G le point tel que $-\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}.$

\begin{enumerate} \item Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6$i. 

\item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité  graphique :
1 cm).

\item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité
 $\cfrac{c - g}{a - g} = \cfrac{1}{2} + \text{i}\cfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\item En déduire une mesure en radians de l'angle 
$\left(\overrightarrow{\text{GA}}, ~\overrightarrow{\text{GC}}\right)$, ainsi que la valeur du rapport $\cfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$.

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\end{multicols}

%\newpage
\subsection{}
On considère la fonction numérique $f$, de la variable réelle $x$, définie 
sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.$

On appelle ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe d' équation $y = f(x)$ dans le plan 
rapporté à un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\ 
\indent On prendra 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, et 6 cm pour $\pi$ unités sur l'axe des abscisses. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ -~ \text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{- x}$.\\ 
En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ et l'existence d'une asymptote 
pour la courbe ($\mathcal{C}_{f}$). 

\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ vérifie :
$f'(x) = \sqrt{2} \text{e}^{- x} \cos \left(x + 
\dfrac{\pi}{4}\right)\text{, pour }x\text{ élément de }\mathbb{R}.$

\item On étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.\\ 
Recopier et compléter le tableau suivant : 
%\[\begin{array}{| c | l c r|}\hline 
%\text{Valeur de }x & - ~\dfrac{\pi}{2} & \cdots& \pi\\ \hline 
%\text{Valeur de }x + \dfrac{\pi}{4} & \cdots& ~~~~~~~~~~~\dfrac{\pi}{2}~~~~~~~~~~~ & \cdots\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \text{Signe de }~\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) & & & \\ \hline 
%\end{array}\] 
\begin{center}
\begin{variations}
\text{Valeur de }x&-\dfrac{\pi}{2}&&\cdots&&\pi\\
\hline
\text{Valeur de }x+\dfrac{\pi}{4}&\cdots&&\dfrac{\pi}{2}&&\cdots\\
\hline
\text{Signe de }\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)&&\cdots&\z&\cdots&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.

\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-~ 
\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ ainsi que les courbes $(\mathcal{C}_{1})$ 
et $(\mathcal{C}_{2})$ d'équations $y = - \text{e}^{- x}$ et $y = 
\text{e}^{- x}$. 

\item Déterminer algébriquement sur $\mathbb{R}$, puis sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~; 
~\pi\right]$, les coordonnées des points communs à : 
\begin{enumerate}\item $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses. 

\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{1})$. 

\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{2})$. 
\end{enumerate} 

%\item Déterminer un réel $\alpha$ tel que, pour $x \geqslant \alpha$, on 
%ait $|f(x)| \leqslant 10^{- 2}$. 
\end{enumerate} 
%
%\newpage



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}%\textcolor{blue}{Réunion juin 2008 (5 points})

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
\[u_{0} = 5\quad  \text{et, pour tout entier}~~ n \geqslant 1,~ u_{n} = \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)u_{n-1} + \dfrac{6}{n}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_{1}$.
		\item  Les valeurs de $u_{2},~ u_{3},~ u_{4},~ u_{5},{} u_{6},{} u_{7},{} u_{8},{} u_{9},{} u_{10},{} u_{11}$ sont respectivement é
gales à
 :
		
45,  77,  117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ dé
finie par $d_{n} = u_{n+1} -  u_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite arithmétique $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $8$ et de premier terme $v_{0} =  16$.

Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à
$4n^2 +  12n$.

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :

 $ u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

\item Valider la conjecture émise à  la question \textbf{1. b.}.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité}}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\emph{Les parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}\\

\noindent Des scientifiques étudient l'évolution d'une maladie dans un univers isolé. Ils modélisent le problème en séparant les individus en trois catégories.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item S : l'individu est sain (non malade et non infecté)

\item PS : l'individu est porteur sain (non malade mais porteur du virus)

\item M : l'individu est malade et infecté
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie A}\\

\medskip

\noindent D'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains vaut $\dfrac{1}{3}$ ; celle de ceux qui deviennent malades vaut $\dfrac{1}{3}$  et celle de ceux qui restent sains vaut $\dfrac{1}{3}$.


\item  parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades vaut $\dfrac{1}{2}$ ; de ceux qui restent porteurs sains
$\dfrac{1}{2}$ et aucun ne redevient sain.

\item les individus malades le restent.
\end{enumerate}

\noindent Pour $n\in\mathbb{N}$; on note $P_n =\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n\end{pmatrix}$ la matrice donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines où $a_n$, $b_n$ et $c_n$ désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la $n\ieme{}$ semaine, et on suppose $P_0 =\begin{pmatrix}0,99& 0 &0,01\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item 
Représenter la situation par un graphe probabiliste.

\item Déterminer la matrice de transition A associée au problème.\\
On a ainsi, pour tout entier naturel $n$, \[P_{n+1} = P_n \times  A.\]

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[P_n = P_0\times  A_n.\]


\item Déterminer l'état probabiliste $P_3$ au bout de trois semaines (arrondir les valeurs à $10^{-2}$).\\
Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de trois semaines ?
\end{enumerate}
\medskip

\columnbreak
\textbf{Partie B}\\

\medskip

\begin{tabular}{|ll|} \hline
Variables : &$a$, $b$, $c$, $i$ et $n$ sont des
entiers\\
&\\
Initialisation : &Demander la valeur de $n$\\
&Affecter à $a$ la valeur 0,99\\
&Affecter à $b$ la valeur 0\\
&Affecter à c la valeur 0,01\\
&Affecter à $i$ la valeur 0\\
&\\
Traitement : &Tant que $i < n$\\
&Affecter à $c$ la valeur $\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c$\\
&Affecter à $b$ la valeur $\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$\\
&Affecter à $a$ la valeur $\frac{a}{3}$ \\
&Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
&Fin tant que\\
&\\
Sortie : &Afficher $a$ , $b$ et $c$\\
\hline

\end{tabular}

\noindent On considère l'algorithme ci dessus permettant de modéliser l'évolution de la maladie.

\noindent Faire fonctionner cet algorithme pour $n = 3$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape et comparer avec les résultats obtenus à la question 4 de la partie A.

\medskip

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

Au bout de quatre semaines, les scientifiques découvrent un vaccin qui modifie l'évolution hebdomadaire de la maladie.\\
La nouvelle matrice de transition est la suivante : \[B =\begin{pmatrix}\frac{5}{12}&\frac14&\frac13\\
\frac{5}{12}&\frac14&\frac13\\
\frac{1}{6}&\frac12&\frac13
\end{pmatrix}.\]
On note $Qn =\begin{pmatrix}u_n&v_n&w_n\end{pmatrix}$ la matrice donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination.\\
$u_n$; $v_n$ et $w_n$ désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la $n\ieme{}$ semaine après
la vaccination.\\
Pour tout entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1} = Q_n\times  B$ avec $Q_0 =\begin{pmatrix}0,01&0,10&0,89\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $B^2$ et $B^3$ (les justifications ne sont pas demandées).


\item Démonter que pour tout entier $n\geqslant 2$ , $B^n = B^2$.


\item Donner sans démonstration une expression de $Q_n$ en fonction de $Q_0$, $B$ et $n$.\\
En déduire que, pour tout $n\geqslant 2$, $Q_n=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie : peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
\end{enumerate}


\end{multicols}

%\end{multicols}
\newpage
\begin{center}\textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L'EXERCICE } \ref{courbe}}

\vspace{1cm}
 
\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\bigskip
 

\vspace{1cm}
\psset{unit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
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\end{center}

\label{fin}
\end{document}  