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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ février 2018 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}

\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection} (sur 5 points)}} 
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {février 2019}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\


\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
L'élève doit traiter les quatre exercices, l'exercice 2 étant différent suivant l'enseignement de spécialité suivi.\\
\\
L'exercice 2 pour les élèves \textbf{ne suivant pas la spécialité mathématiques} se trouve en page \pageref{nonspe} \\
\\
L'exercice 2 pour les élèves \textbf{suivant la spécialité mathématique} commence en page \pageref{spe1} et se poursuit en page \pageref{spe2}\\

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}

\hfill\\


\newpage
\normalsize



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Amérique du Nord juin 2017 

\medskip

\noindent Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \leqslant 2$.

\medskip

\noindent Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme
illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés [AD] et
[BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail.
Entre les points A et B, le haut des vantaux a
la forme d'une portion de courbe.

\psset{unit=0.85cm}
$$\begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.5)
\psline(-4,1.5)(-2,1.5)(-2,0)(-4,0)
\psline(4,1.5)(2,1.5)(2,0)(4,0)
\psline(-2,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\psline{<->}(0,0.2)(2,0.2) \uput[u](1,0.08){$a$}
\rput(-1,0.8){1\up{er} vantail}\rput(1,0.8){2\up{e} vantail}
\rput(-3,0.8){mur}\rput(3,0.8){mur}
\uput[ul](-2,1.8){A}\uput[ur](2,1.8){B}
\uput[ur](2,0){C}\uput[ul](-2,0){D}
\uput[u](0,2){S}
\psline(0,0)(0,2)
\end{pspicture}$$

\medskip

\noindent Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur
$[-2~;~2]$ par:

\[f(x) = - \dfrac{b}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} +  \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0.\]

\noindent Le repère est choisi de façon que les points A, B, C
et D aient pour coordonnées respectives $(-a~;~f( -a))$,
$(a~;~f(a))$, $(a~;~0)$ et $(-a~;~0)$ et on note S le sommet de la
courbe de $f$, comme illustré ci-dessous.
\psset{unit=1cm}
$$\begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](-1.7,1.55){A}\uput[ur](1.7,1.55){B}\uput[d](1.7,0){C}\uput[d](-1.7,0){D}
\uput[ur](0,2){S}
\psline[linestyle=dashed](-1.7,0)(-1.7,1.55)\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.55)
\end{pspicture}$$

\medskip

\noindent\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
	\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :
	
	\[f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right).\]
	
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les coordonnées du point S en fonction de $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B}

\medskip

\noindent La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $b = 1$.
	\item Montrer que l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution $a$ sur l'intervalle $[0~;~2]$.
	
	\newpage
	\item On considère l'algorithme ci-contre où les variables $A$, $B$ et $M$ sont des nombres réels :
	
	\begin{minipage}{0.55\linewidth}
		\begin{enumerate}
			\item Avant l'exécution de cet algorithme, les variables $A$ et $B$ contiennent respectivement les valeurs $0$ et $2$.
			Recopier et compléter le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme :
			%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
			$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
			$m$ 	&$A$ &$B$ &$B - A$\\ \hline
			&0& 2 &2\\ \hline
			1		&&&\\ \hline
			\ldots	&\ldots&\ldots& \ldots \\ \hline
			\end{tabular}$$
			Attention, ajouter au tableau autant de lignes que nécessaire jusqu'à ce que l'algorithme s'arrête.
			
			\item En déduire une valeur approchée de $a$ à $0,1$ près.
			
		\end{enumerate}
	\end{minipage}	
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		\indent $$\begin{tabular}{|l|}
				\hline
				Tant que $B - A > 0,1$ faire:\\
				\hspace{0.5cm}$M \gets \dfrac{A+B}{2}$\\
				\hspace{0.5cm}Si $-\dfrac{1}{8}\left(\text{e}^M + \text{e}^{-M}\right) + \dfrac{9}{4} > 1,5$, alors:\\
				\hspace{1cm}$A \gets M$\\
				\hspace{0.5cm}Sinon :\\
				\hspace{1cm}$B\gets M$\\
				\hspace{0.5cm}Fin Si\\
				Fin Tant que\\ \hline
			\end{tabular}$$
		
	\end{minipage}
	
	
	
	%\item Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d'automatiser son portail si la masse d'un vantail excède $60$~kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$~kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

\noindent Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$.

\noindent Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point F d'abscisse $1$.

\begin{center}
	\begin{tabular}{c c}
		\psset{unit=1.25cm}
		\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
		\psframe(2,2)
		\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
		\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](0,2){S} 
		\uput[ur](2,2){E} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
		\rput(1,1){vantail}
		\end{pspicture}&\psset{unit=1.25cm}
		\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
		\psframe(2,2)
		\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
		\uput[ul](0,0){O} \uput[l](0,2){S} \uput[ul](0,2.2){G} 
		\uput[r](2,1.55){H} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
		\rput(1,1){vantail}
		\psline(0,2.2)(2,1.55)
		\end{pspicture}\\
		Forme 1 : découpe dans un rectangle &Forme 2 : découpe dans un trapèze\\
	\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\noindent La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

\noindent Evaluer l'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la
forme 1.\\

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{1\linewidth}
		\emph{On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :}

\[\text{Aire } = \dfrac{b+B}{2} \times  h.\]

\end{minipage}
}


\hfill\\



\newpage



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - uniquement pour les élèves ne suivant pas la spécialité mathématiques}} % exo Jean-Paul
\label{nonspe}
\noindent L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O~;~\V{i}~,~\V{j}~,~\V{k})$.\\

\noindent Les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonnées $A(3~;~-2~;~2)$, $B(6~;~1~;~5)$ et $C(6~;~-2~;~-1)$\\

\noindent\textbf{Partie A}\\

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
	
	\item Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
	
	\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x+y+z-3=0$.\\
	Prouver que $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par le point $A$.
	
	\item Soit $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite $(AC)$ et passant par le point $A$.\\
	Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}'$.
	
	%\item Déterminer un vecteur directeur de la droite $\Delta$, intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$.
	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$. %\textcolor{red}{ou bien leur donner la représentation et leur demander de vérifier que c'est bien la droite d'intersection}
	
\end{enumerate}

\medskip

\noindent\textbf{Partie B}\\

\noindent Soit $D$ le point de coordonnées $(0~;~4~;~-1)$.\\

\begin{enumerate}
	\item Prouver que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
	
	\item Montrer que le volume du tétraèdre $ABDC$ est $27$.
	\item 
		\begin{enumerate}[$a.$] 
			\item En calculant $\V{DB}.\V{DC}$, prouver que l'angle $\widehat{BDC}$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radians.
			\item On note $K$ le pied de la hauteur issue de $B$ du triangle $BCD$.\\
			Déduire de la question précédente la distance $BK$.
			\item Calculer l'aire du triangle $BDC$.
			\end{enumerate}
	\item En déduire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$. \\
			
			\fbox{\begin{minipage}{1\linewidth}
					\textit{Rappel : la distance d'un point $M$ à un plan $\mathcal{P}$ est égale à la distance $HM$ où $H$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.}
				\end{minipage}}
	
\end{enumerate}

\hfill\\


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - uniquement pour les élèves  suivant  la spécialité mathématiques}} % Antilles-Guyane septembre 2017
\label{spe1}
\medskip

\noindent
\label{spe}
\begin{enumerate}
	\item Soit $p$ un entier relatif donné.
	
	On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ :
	\[3x + 4y = p\]
	
	où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
		\item Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme
		\[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
	\end{enumerate}
			

\noindent\hspace{-1cm} Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\V{i}~,~\V{j},~\V{k}\right)$.

\noindent\hspace{-1cm} On considère le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne :
\[6x + 8y - z = 0.\]


	\item  Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathcal P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $z_0$ est pair.
		\item  On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif.
		
		Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
		\item  En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $\mathcal P$ à coordonnées entières.\\
	\end{enumerate}
	\item  A tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées
	$\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec
	
	\[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	\begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
		\item En déduire que si le point $M$ est un point du plan $\mathcal P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $\mathcal P$.
		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathcal P$ passant par O.
		
		Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.\label{spec}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{spe2}
\medskip

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Centres étrangers juin 2001

\medskip

\noindent Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition.

\noindent Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le
parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses
suivantes :\\

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~$] Le visiteur passe \emph{au hasard} d'une salle à une salle voisine.
	\item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer.
	
	Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre
	premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un
	trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre
	lettres, commençant par la lettre E. Par exemple :
	
	\item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on 
	codera son trajet par le mot EBDF.
	\item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses 
	choisies.\\
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
	\psset{unit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(7,8.5)
	\psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) 
	\psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche
	\psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2)
	(0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2)
	(3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2)
	\psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2)
	(4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intÃ©rieur gauche
	\psline(4.2,4.2)(4.2,7.2)
	\psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2)
	(2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas
	\psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2)
	(2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut
	\psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit
	\psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180}
	\psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180}
	\psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9}
	{-180}{0}
	\rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} 
	\rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} 
	\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\newpage

\begin{enumerate} 
	\item On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer
	un trajet selon les hypothèses précédentes. 
	\begin{enumerate} 
		\item Sur la copie, reproduire et compléter l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur. \textbf{Attention, toutes les branches de l'arbre n'ont volontairement pas été dessinées.}\\
		
		\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=18mm}
		
		\begin{center}
		$E$ \ \pstree[treemode=R]{\TR{}}
		{
			\pstree{\TR{\ \ \ $A$ \ }\taput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
			{
				\pstree{\TR{\ \ \ $D$ \ }\taput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
				{
					\TR{ \ $B$ \ }\taput{\scriptsize{$\frac{1}{2}$}}
					\TR{ \ $F$ \ }\taput{\scriptsize{$\frac{1}{2}$}}
				}
				
				\pstree{\TR{$ ... $}\taput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
				
			
				\pstree{\TR{$ ... $}\taput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
				
				
			}
			
			\pstree{\TR{\ $B \ldots $ \ } \tbput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
			
			\pstree{\TR{\ \ \ \ \ \ $C \ldots $ \ } \tbput{\scriptsize{$\frac{1}{3}$}}}
			
		}
	\end{center}
	
	
%		E\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%		{
%			\pstree
%			{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $\ldots$}}
%%			{
%%				\pstree
%%				{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{ $\frac13$}}
%%				{
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{ $\frac12$}
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\tbput{ $\frac12$}
%%				}
%%				\pstree
%%				{\Tdot~[tnpos=a]{$G$}\taput{ $\frac13$}}
%%				{
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{ $1$}
%%				}
%%				\pstree
%%				{\Tdot~[tnpos=a]{$T$}\tbput{ $\frac13$}}
%%				{
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $1$}
%%				}
%%			}
%			\pstree
%			{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $\frac13$}}
%%			{
%%				\pstree
%%				{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{ $1$}}
%%				{
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{ $\frac12$}
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\tbput{ $\frac12$}
%%				}
%%			}
%			\pstree
%			{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $\frac13$}}
%%			{
%%				\pstree
%%				{\Tdot~[tnpos=a]{$T$}\taput{ $1$}}
%%				{
%%					\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $1$}
%%				}
%%			}
%		}
	
	
		
		\item Calculer la probabilité du parcours codé EBDF. %est $\dfrac{1}{6}$.
		\item Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg.
		\item Pour des raisons techniques, le directeur installe les {\oe}uvres les plus intéressantes dans la salle T. Montrer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T\fg est $\dfrac{4}{9}$\\
	\end{enumerate} 
	\item Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes.
	On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?
		\item Calculer la probabilité de l'évènement (X = 1).
		\item Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la 
		salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)
		
	\end{enumerate}

	\item Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après
	l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite
	des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au
	moins, sur les dix, passent par la salle T.
	Prouver qu'il a tort.
\end{enumerate}

\medskip

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\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % Hyperbole Nathan programme 2002 page 190 exo 66

\noindent Sur une droite graduée de repère $(O~;~I)$, $M_0$ et $M_1$ sont les points d'abscisses 0 et 1.\\
On définit une suite de points $M_n$ de la façon suivante : \\
pour tout entier naturel $n$, $M_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[M_nM_{n+1}\right]$.

\begin{enumerate}
	\item Sur la droite graduée ci-dessous, placer les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ et $M_5$.
	
	$$\begin{tikzpicture}[scale=10]
	%\draw[thin, style=gray!60,xstep=1,ystep=1] (-5,-5)grid(5,5);
	\draw[line width=1.5pt,->] (-0.1,0)--(1.1,0);
	%\draw[line width=1.5pt,->] (0,-5)--(0,5);
	\foreach \x in {0,1}
	{
		\draw [line width=1pt](\x,-0.02)--(\x,0.02);
		\draw (\x,0) node[below left] {$\x$};	
	}
	%	
	%	\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
	%	{
	%		\draw [line width=1pt](-0.1,\y)--(0.1,\y);
	%		\draw (0,\y) node[left]{$\y$};
	%	}
	\end{tikzpicture}$$
	
	\item Pour tout entier naturel $n$, $x_n$ désigne l'abscisse du point $M_n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : 
		$$x_{n+2}=\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n$$
		
		\item Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : 
		$$x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_n\right).$$
		
	\end{enumerate}
	
	
	\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ par $v_n=x_{n+1}-x_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
		
		\item Calculer $v_0$. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item $\left(w_n\right)$ est la suite définie pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ par : $w_n=x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est constante.
		
		\item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_n-v_n=\dfrac{3}{2}x_n$.\\
	En déduire que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $x_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$.
	
	\item En déduire que la suite $\left(x_n\right)$ est convergente.\\
	Que peut-on en déduire pour la suite de points $\left(M_n\right)$ ?
	
	%\item \textcolor{red}{rajouter un algorithme} Par exemple un algorithme de seuil, pour calculer le premier rang à partir duquel $\left|x_n-\dfrac{2}{3}\right|<0,01$
\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}  