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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ février 2013 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAUR\'EAT BLANC}
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\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {février 2013}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATH\'EMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DUR\'EE DE L'\'EPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\
La page \pageref{fin} comporte une annexe et est à rendre avec la copie
\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
Le candidat doit traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV en fonction de l'enseignement de spécialité suivi.\\\\

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}
\newpage
\normalsize


%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : bac blanc}}\end{center}
%\begin{center}
%\small{(\textcolor{blue}{Durée : quatre heures})}
%\end{center}
%\textbf{Les calculatrices sont autorisées.}




\subsection{}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissance}
  
L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$. 

On suppose connus les résultats suivants : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa fonction dérivée 
\item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$ 
\item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$ 
\item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif.
 
Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$. 
\end{itemize}
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$.
		 
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$. 
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$.
	\end{enumerate}  
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$.
 
On constate expérimentalement que la vitesse de libération $g'(t)$ du  médicament dans le sang vérifie l'égalité, pour tout $t\geqslant 0$, :
\[g'(t)=-\dfrac{1}{2}\left[g(t)-\mathrm{e}^{-\frac t2}\right].\]
		
\begin{enumerate}
\item Vérifier que toutes les fonctions $g_{k}:t\mapsto\dfrac{t}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}+k\mathrm{e}^{-\frac t2},~k\in\mathbb{R}$, vérifient l'égalité précédente, pour tout $t\geqslant 0$.

\item On suppose qu'à l'instant $t=0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.\\
Montrer alors que la fonction $g_{k}$ solution est la fonction $f$ de la partie A.

\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l} 
Entrée		& 	Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\ 
Traitement	& Tant que $f(n) > 0,1$\\ 
			&\hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n+1$.\\ 
			&Fin Tant que\\ 
Sortie		&Afficher la valeur de $n$.
\end{tabular} 
\end{center} 
où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie. 
		\item Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue \`a la sortie de l'algorithme ? 
		\item L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\subsection{}%\textcolor{blue}{Métropole septembre 2011}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. 

Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. 
\item Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$. 
		\item Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat. 
		\item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, 

\[\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\]
 
		\item En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A. 
	\end{enumerate}
\item Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner la droite $(d)$. 
		\item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{}%Amérique du sud novembre 2012
Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services.
 
Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.
 
Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$.
 
La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$.
 
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées

\begin{itemize}
\item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; 
\item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$.
\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) 
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant au cas général. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$.
	\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par $u_{n} = 9x_{n} - 7$.
 
\emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{ Exercice pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}%\textcolor{blue}{Bac blanc Vilgénis 2012-2013}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{1+2u_{n}}$.
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe , on a tracé la courbe d'équation $y=\dfrac{x}{1+2x}$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite.

\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\
On cherche à déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Méthode 1.}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+2x}$.\\
Dresser le tableau des variations complet de $f$.

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0< u_{n+1}\leqslant u_{n}$.

\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\item \textbf{Méthode 2}\\
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}+1$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique. On précisera son premier terme et sa raison.

\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{IV Exercice pour les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité}}


On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant :

\og \emph{Les  nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul 
chiffre $1$ peuvent-ils être premiers} ? \fg{}

Pour  tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots 
1$ où 1 apparaît $p$ fois.

On rappelle dès lors que
 $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$.

\begin{enumerate}
\item Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = 1111$ sont-ils 
premiers ?

\item Prouver que $N_{p} = \dfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être certain 
que $10^p - 1$ est divisible par 9 ?

\item On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier, alors 
$N_{p}$ n'est pas premier.

 On rappelle que pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$ 
non nul,

\[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un 
entier naturel plus grand que 1.

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{2} = 11$.

		\item On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où $q$ 
est un entier naturel plus grand que 1. 

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{3} = 111$.

		\item On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$ sont 
des entiers naturels plus grands que 1.

En déduire que $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$.

	\end{enumerate}

\item Énoncer une condition nécessaire   pour que $N_{p}$ soit premier.

 Cette condition est-elle suffisante ?

\end{enumerate}

\newpage
 
\begin{center}
\textbf{\huge \textcolor{blue}{Annexe à l'exercice \ref{courbe}}}\\
\bigskip
\psset{unit=15,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.35)(0.7,0.35)
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\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200]{-0.3}{0.7}{x/(1+2*x)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  