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\lhead{\small Baccalaur\'eat S}%tapez un titre
\lfoot{\small{Lyc\'ee Maurice Genevoix-Bac blanc}}
\rfoot{\small{Mars 2010 - Dur\'ee : 4 heures}}
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\def\montitre{BACCALAUR\'EAT BLANC}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {Session 2010}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATH\'EMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{S\'erie : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DUR\'EE DE L'\'EPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte cinq pages, num\'erot\'ees de 1 \`a \pageref{fin}}}\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autoris\'ee}\vspace{1.5cm}\\
\begin{tabular}{|c|}\hline\\
Le candidat doit traiter les exercices 1, 3 et 4 \\et l'exercice 2 correspondant \`a sa sp\'ecialit\'e.\\
\\
La qualit\'e de la r\'edaction, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements\\entreront pour
une part importante dans l'appr\'eciation des copies.\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage
\normalsize


\subsection*{Exercice 1 \hrulefill\small{5  points}}% Antilles septembre 2007
\textbf{Pour tous les candidats}
 \textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre complexe $\alpha$ tel que $\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha(1 + \text{i})&=&1 + 3\text{i}\\
\text{i}\alpha^2&=&- 4 + 3\text{i}\\
\end{array}\right.$
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - (1 + 3\text{i})z + (- 4 + 3\text{i})$.

Montrer que $f(z)$ s'écrit sous la forme $(z - \alpha)(z - \text{i}\alpha)$.

En déduire les solutions sous forme algébrique de l'équation $f(z) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique : 5~cm.
\begin{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = 2 + \text{i}$  et $b = - 1 + 2\text{i}$.

Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.

Montrer que $b = \text{i}a$, en déduire que le triangle OAB est un triangle  isocèle rectangle tel que $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$
\item On considère le point C d'affixe $c = - 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$. Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle  isocèle rectangle tel que $\left(\overrightarrow{\text{OC}},~\overrightarrow{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$

On pourra conjecturer l'affixe de D à l'aide de la figure pour traiter la question suivante.
\item Soit M le milieu de [CB]. On appelle $z_{\overrightarrow{\text{OM}}}$ et $z_{\overrightarrow{\text{DA}}}$ les affixes respectives des vecteurs $\overrightarrow{\text{OM}}$ et $\overrightarrow{\text{DA}}$. Prouver que : $\dfrac{z_{\overrightarrow{\text{OM}}}}{z_{\overrightarrow{\text{DA}}}} = \dfrac{1}{2}\text{i}$. 
\item Donner une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{DA}},~\overrightarrow{\text{OM}}\right).$
\item Prouver que $\text{OM} = \dfrac{1}{2}\text{DA}$.
\item On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].

On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c'est un carré.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hrulefill\small{5  points}}%Métropole septembre 2007
\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}
\begin{enumerate}
\item  La suite $u$ est définie par : $u_{0} = 2$ et $u_{n+1} =	\dfrac{1}{3}u_{n}+ \dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item  On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan \textbf{en annexe}, la droite d'équation $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{23}{27}$, la droite d'équation $y=x$ et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite $u$.
	
		\item   Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n} \geqslant   \dfrac{23}{18}$.
		\item   Étudier la monotonie de la suite $u$.
		\item   Montrer que la suite $u$ est convergente vers un réel $\ell$.

		\item  Trouver la valeur de $\ell$ en justifiant votre réponse.
	 \end{enumerate}
\item    
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
\[\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{10^k} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right) ~  \text{c'est-à-dire que} ~ \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3}  + \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}}  = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)\] 
		\item   La suite $v$ est définie par $v_{n}= 1,277\:7 \cdots 7$ avec $n$ décimales consécutives égales à $7$.
		
Ainsi $v_{0} = 1,2,~  v_{1} = 1,27$  et  $v_{2} = 1,277$.

En utilisant le \textbf{a} démontrer que la limite de la suite $v$ est un nombre rationnel $r$ (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).
	 \end{enumerate}
\item    La suite $u$ définie au \textbf{1} et la suite $v $ sont-elles adjacentes ? Justifier.
 \end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hrulefill\small{5  points}}
\textbf{Pour les candidats suivant  l'enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
\item  On considère l'ensemble A$_{7} = \{1~;~ 2~;~ 3 ~;~ 4~;~ 5 ~;~ 6\}$
\begin{enumerate}
\item  Pour tout élément $a$ de A$_{7}$ recopier le tableau suivant et donner l'unique élément $y$ de A$_{7}$
tel que $ay \equiv  1 \quad (\text{modulo}~ 7)$.\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y$	&	&	&	&	&	&6\\ \hline
\end{tabularx}

\item  Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv  5 \quad(\text{modulo}~ 7)$ équivaut à $x \equiv  4\quad (\text{modulo}~ 7)$.
\item  Si $a$ est un élément de A$_{7}$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 7)$ sont les multiples de $7$.
 \end{enumerate}
\item  Dans toute cette question, $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A$_{p}= \{1 ~;~ 2 ~;~\ldots ~;~ p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à $p$. Soit $a$ un élément de A$_{p}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $a^{p - 2}$ est une solution de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$.
		\item  On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p - 2}$ par $p$. Démontrer que $r$ est l'unique solution $x$ dans A$_{p}$, de l'équation $ax \equiv  1\quad (\text{modulo}~ p)$.
		\item  Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ p)$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ o\`u $y$ est un multiple de $p$.
		\item  Application : $p =  31$. Résoudre dans A$_{31}$  les équations : $2x \equiv  1 (\text{modulo}~31)$ et $3x \equiv 1 \quad(\text{modulo}~31)$. À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\Z$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ 31)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 \hrulefill\small{4  points}}%Métropole septembre 2007
\textbf{Pour tous les candidats }

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ :\\
$\begin{array}{l c l}
(\text{E})& :&  y'+(1 + \tan x) y = \cos x\\
(\text{E}_{0})& :&  y' + y = 1.\\
\end{array}$
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E$_{0}$).
		\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$  et telles que $f(x) = g(x) \cos x$.
		
Démontrer que la fonction $f$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $g$ est solution de (E$_{0}$).
		\item  Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hrulefill\small{6  points}}%Amérique du sud, novembre 2004
\textbf{Pour tous les candidats }
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\] 

 \noindent On note $\Gamma$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un 
rep\`ere orthonormal \Oij~(unit\'e graphique : 10 cm). 

\vspace{0,25cm} 

\noindent \textbf{Partie A} 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ 
en $+ \infty$. 

\item \'Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 

\item Construire $\Gamma$ dans le rep\`ere \Oij. 

\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout r\'eel $m$ de 
$\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, l'\'equation $f(x) = m$ admet deux 
solutions. 

\item Dans le cas où $m = \dfrac{1}{4}$, on nomme $\alpha$ et $\beta$ les 
solutions (avec $\alpha < \beta$). 

D\'eterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 

\item R\'esoudre l'\'equation $f(x) = m$ dans le cas où $m = 0$ et $m = 
\dfrac{1}{\text{e}}$. 

\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\noindent \textbf{Partie B} 

\begin{enumerate} \item On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie 
sur $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
u_0 & = & \alpha\\ 
u_{n+1} & = & u_n\text{e}^{-u_n},~\text{pour tout entier naturel}~n\\ 
\end{array}\right.\] 

\noindent où $\alpha $ est le r\'eel d\'efini \`a la question \textbf{A. 2. b.} 

\begin{enumerate} \item Montrer par r\'ecurrence que, pour tout entier 
naturel $n,~u_n > 0$. 

\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est d\'ecroissante. 

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Si oui, 
d\'eterminer sa limite. 

\end{enumerate} 

\item On consid\`ere la suite $\left(w_n\right)$ d\'efinie sur $\N$ par $w_n = 
\ln u_n$. 

\begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, on a 
$u_n = w_n - w_{n+1}$. 

\item On pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

Montrer que $S_n = w_0 - w_{n+1}$. 

\item En d\'eduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n$. 

\end{enumerate} 

\item On consid\`ere la suite $\left(v_n\right)$ d\'efinie sur $\N$ par son 
premier terme $v_0~(v_0 > 0)$ et, pour tout entier naturel $n,~v_{n+1} = 
v_n\text{e}^{-v_n}$. 

Existe-t-il une valeur de $v_0$ diff\'erente de $\alpha$ telle que, pour 
tout $n \geqslant 1$, on ait $u_n = v_n$ ? 

Si oui, pr\'eciser laquelle. 

\end{enumerate} 





\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 2 pour ceux qui ne suivent pas l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\psset{unit=3.24cm}
 \begin{pspicture}(-0.6667,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.6667,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{<->}(0,0)(1,0)(0,1)
\multido{\d=-0.6667+0.1111}{36}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\d,-0.2222)(\d,2.5555)}
\multido{\d=-0.2222+0.1111}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](-0.6667,\d)(3.222,\d)}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,0){A} 
\psplot{-0.5}{3.2}{x 3 div 23 27 div add}
\psplot{0}{2.5}{x}
\psdots(2,0)
\end{pspicture}





\label{fin}
\end{document}