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\lhead{\small Baccalaur\'eat S}%tapez un titre
\lfoot{\small{Lyc\'ee Maurice Genevoix-Bac blanc}}
\rfoot{\small{Mars 2011 - Dur\'ee : 4 heures}}
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\def\montitre{BACCALAUR\'EAT BLANC}
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {Session 2011}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATH\'EMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{S\'erie : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DUR\'EE DE L'\'EPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte 5 pages, num\'erot\'ees de 1 \`a \pageref{fin}}}\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autoris\'ee}\vspace{1.5cm}\\
\begin{tabular}{|c|}\hline\\
Le candidat doit traiter les exercices 1, 2, 3, ainsi que l'exercice 4 correspondant \`a sa sp\'ecialit\'e.\\
\\
La qualit\'e de la r\'edaction, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements\\entreront pour
une part importante dans l'appr\'eciation des copies.\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage
\normalsize

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hrulefill 3 points}}
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
	
\textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. 
  
\item  On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que :

\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\]
 
\textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente.

\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=\ln\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$.\\
 \textbf{Proposition 3} : La suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.\\
 

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2\hrulefill 7 points}}%Polynésie septembre 2010 exercice 4
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

La figure est donnée en annexe.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

\setlength\parindent{5mm}

$M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
 $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
$Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.

\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \\

\noindent Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3\hrulefill 5 points}}%Nouvelle Calédonie novembre 2010
Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 

\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate} 

\newpage	
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité\hrulefill 5 points}}%Nouvelle Calédonie novembre 2010
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. 
		\item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC .
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation r. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		
		\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] 
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité\hrulefill 5 points}}%Amérique du Nord juin 2009
Soit $A$  l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. 
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation 
	\[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]
	où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. 
		\item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. 
		\item En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$.
	\end{enumerate} 
\item  Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $ab \equiv 0 \quad  (47)$ alors $a \equiv 0 \quad  (47)$) ou $b \equiv 0 \quad  (47)$. 
		\item En déduire que si $a^2 \equiv  1 \quad  (47)$ alors $a \equiv  1 \quad  (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad  (47)$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.\\
			Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté $inv(p)$, appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv  1 \quad  (47)$.
			
Par exemple :
			
$inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad  (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv  1 \quad  (47),$

$ inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv  1 \quad  (47)$. 
		\item Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ?
		\item Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 



\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE (à l'exercice 2)} 
\end{center}
\vspace{1,5cm}

\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.}

\bigskip
 
\vspace{1,5cm}

 
%\begin{center}
%\psset{unit=2.4cm}
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%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=2.4cm}
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\end{center}

\label{fin}
\end{document}