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\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices sur les suites (1)}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites croissantes ; la suite 
$(u_{n}+v_{n})$ est-elle croissante ?\\



\subsection{}
La somme des seize premiers termes d'une suite arithmétique, de raison $r=5$ est 648.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le premier terme de cette suite.

\item Calculer alors la somme des trente-deux premiers termes.
\end{enumerate}



\subsection{}
$(v_{n})$ est la suite définie par $v_{0}=1$ et pour tout entier 
naturel n, $v_{n+1}=\frac{v_{n}}{1+v_{n}}$.\\
On admet que $v_{n}$ est positif pour tout n. Montrer que la suite 
$(u_{n})$ définie par : $u_{n}=\frac{1}{v_{n}}
$ est arithmétique.

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac ES Nouvelle Calédonie novembre 2010}}
La suite $\left(u_{n}\right)$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,6u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{4}$. 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 20$. 
Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison. 
\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
%\item  Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $(u_{n})$ définie par : \\
$u_{0}=2$ ; $u_{1}=4$ ; $u_{n+1}=4u_{n}-u_{n-1}$ pour tout $n\geqslant 1$

\begin{enumerate}
\item  Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a+b=4$ et $ab=1$

\item On note $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{n}=u_{n+1}-au_{n}$. \\
Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison b.

\item On note $(w_{n})$ la suite définie par : $w_{n}=u_{n+1}-bu_{n}$. 
Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison a.

\item Expliciter $v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_{n}$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

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%\subsection{}
%$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites croissantes ; la suite 
%$(u_{n}+v_{n})$ est-elle croissante ?\\
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%\subsection{}
%La somme des seize premiers termes d'une suite arithmétique, de raison $r=5$ est 648.
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer le premier terme de cette suite.
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%\item Calculer alors la somme des trente-deux premiers termes.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%$(v_{n})$ est la suite définie par $v_{0}=1$ et pour tout entier 
%naturel n, $v_{n+1}=\frac{v_{n}}{1+v_{n}}$.\\
%On admet que $v_{n}$ est positif pour tout n. Montrer que la suite 
%$(u_{n})$ définie par : $u_{n}=\frac{1}{v_{n}}
%$ est arithmétique.
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%\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac ES Nouvelle Calédonie novembre 2010}}
%La suite $\left(u_{n}\right)$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,6u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$. 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_{4}$. 
%\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 20$. 
%Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison. 
%\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
%%\item  Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%On considère la suite $(u_{n})$ définie par : \\
%$u_{0}=2$ ; $u_{1}=4$ ; $u_{n+1}=4u_{n}-u_{n-1}$ pour tout $n\geqslant 1$
%
%\begin{enumerate}
%\item  Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a+b=4$ et $ab=1$
%
%\item On note $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{n}=u_{n+1}-au_{n}$. \\
%Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison b.
%
%\item On note $(w_{n})$ la suite définie par : $w_{n}=u_{n+1}-bu_{n}$. 
%Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison a.
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%\item Expliciter $v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_{n}$ en fonction de $n$.
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\label{fin}
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