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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur la forme exponentielle d'un nombre complexe}}\end{center}

\subsection{}
Écrire sous forme d'exponentielle complexe les nombres suivants :
$\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$~;~$-3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$~;~$-2\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$

\subsection{}
En utilisant la notation exponentielle, retrouver les formules de trigonométrie donnant les nombres suivants en fonction de $\cos\theta$ ou $\sin\theta$.

\begin{enumerate}[a)]
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)$~;~$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)$

\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$~;~$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$

\item $\cos(\pi-\theta)$~;~$\sin(\pi-\theta)$.

\end{enumerate}
\subsection{}
On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle de $j$.

\item En déduire $j^3$ puis la somme $1+j+j^2$.

\item Montrer que $\dfrac{1}{j}=\overline{j}=j^2$.

\item Quelle est la nature du triangle ABC où A, B et C ont respectivement pour affixes les nombres 1, $j$ et $j^2$ ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Quelle est la forme algébrique de $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2014}$ ?

\subsection{}
On donne les identités remarquables suivantes :  \\
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
\begin{enumerate}[a)]

\item Rappeler pourquoi, pour tout $x$ réel et tout entier naturel $n$, on a : $\cos(nx)+\mathrm{i}\sin(nx)=(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^n$ (formule de Moivre)

\item En déduire l'expression de $\cos(2x)$ et de $\sin(2x)$ en fonction de $\cos x$ et de $\sin x$.

\item Trouver l'expression de $\cos(3 x)$ et de $\sin(3 x)$.

\item Exprimer $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ et de $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}$.

\item En déduire l'expression de $\cos^2 x$ et de $\sin^2 x$ en fonction de $\cos2 x$.

\item En déduire l'expression de $\cos^3 x$ en fonction de $\cos3 x$ et de $\cos x$ puis $\sin^3 x$ en fonction de $\sin x$ et $\sin(3 x)$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Une somme de cosinus}}
$\theta$ est une nombre réel.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=-2\sin\dfrac{\theta}{2}\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\theta2}$ (il faut faire apparaître $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}$ donc on factorisera par \dots)

\item Montrer alors que :\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{11}}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\frac\pi{11}}+\mathrm{e}^{5\mathrm{i}\frac\pi{11}}+\mathrm{e}^{7\mathrm{i}\frac\pi{11}}+\mathrm{e}^{9\mathrm{i}\frac\pi{11}}=\dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{11}}{\sin\dfrac{\pi}{11}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{11}}.\]

\item En déduire la valeur de : \[\cos\dfrac{\pi}{11}+\cos\dfrac{3\pi}{11}+\cos\dfrac{5\pi}{11}+\cos\dfrac{7\pi}{11}+\cos\dfrac{9\pi}{11}.\]
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  