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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{x}$ est-elle dérivable à droite en 0 ? Pourquoi ?\\

\item Qu'en est-il de la fonction $g$ définie par : \[g(x)=x\sqrt{x} ?\]
\end{enumerate}

\subsection{}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{enumerate}
\item La tangente à la courbe d'équation \\
$y=x^2+ 3x-1$ au point $A(1 ;3)$ a pour équation $y=5x-2$.

\item La tangente à la courbe d'équation $y=x-\frac{1}{x}$ au point $B(1 ;0)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\item Les courbes d'équations : $y=(x+1)\sqrt{x}$ et \\
$y=x^3+\frac{1}{x}$ ont la mÍme tangente au point $C(1 ;2)$.

\item La tangente à la courbe d'équation $y=\sqrt{3x+1}$ au point $C(1 ;2)$ passe par le point $D(-3 ;-1)$.\\
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.

\subsection{}
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.

\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.

\item La démontrer.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'une fonction auxiliaire}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
\noindent On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=x\sqrt{x^2+1}-1.\]

\begin{enumerate}

\item Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item \'Etudier les variations de $g$.

\item Démontrer qu'il existe un unique $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.\\
Donner un encadrement de $\alpha$ = 0,1 près.

\item En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R} $.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B : \'Etude d'une fonction}}\\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}$.

\item Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^4-3}{3\alpha}$ ; en déduire une valeur approchée.

\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  