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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat sur la géométrie dans l'espace}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à  un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 

\medskip
\scriptsize{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$\\
\\
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}} \normalsize

\medskip 	 	 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à  l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}

\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:}
\\
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.\\
On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.\\
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,\\
le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,\\
le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,\\
le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
\psline(1,1)(5.04,1.26)
\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(1,1)
\psline(1,1)(1,5)
\psline(1,5)(5.04,5.26)
\psline(5.04,5.26)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
\psline(7.36,2.84)(7.36,6.84)
\psline(5.04,5.26)(5.04,1.26)
\psline(5.04,5.26)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
\psline(3.32,6.58)(5.04,5.26)
\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
\rput[bl](5.1,1){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
\rput[bl](5.24,5){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,6.84)
\rput[bl](7.48,6.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}

\end{center}


\medskip

\emph{Ceci est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à  la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  0.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  $(-1)$.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  1.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  2.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:
	\begin{enumerate}
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AH} + \frac12\overrightarrow{AF}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AK}$.
		\item $\overrightarrow{ID}=\frac12\overrightarrow{IJ}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}+\frac23\overrightarrow{AE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2013}}
\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}
 
\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}
\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
\begin{itemize}
\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0)$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6)$, E $(7~;~3~;~-3)$;
\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1}

Une équation cartésienne du plan parallèle à  $\mathscr{P}$ et passant par le point A est :
 
\[2x + y + 2z - 24 = 0\]

\textbf{Affirmation 2}

Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9 - 3t\\y&=&0\\
z&=&5 + 5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.

\textbf{Affirmation 3}

La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

\textbf{Affirmation 4}

La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2013}}
On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace} 

\begin{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(10,10.2)
\pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF
\psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH
\psline(7,6.4)(7,0.4)%GC
\psline(3.2,9.9)(7,6.4)%EG
\psline(7,6.4)(0.9,1.3)%GB
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%BE
\psline[linestyle=dashed](0.9,7.4)(9.2,3)%FD
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3,4.2)(3.2,9.9)%BAE
\psline[linestyle=dashed](3,4.2)(9.2,3)%AD
\uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} 
\uput[ul](0.9,7.4){F} \uput[dr](7,6.4){G} \uput[ur](9.2,8.9){H} \uput[ul](3.2,9.9){E} 
\uput[u](3.6,5.95){K}\psdots(3.6,5.95)  
\end{pspicture}
\end{center}

\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). 
\item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). 
\item Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$. 
\item Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire. 
\item En déduire le volume du tétraèdre BEGD. 
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  