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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2011}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 4~cm. 

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}

\medskip
 
On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. 
		\item Faire une figure et construire les points P et Q.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. 
		\item Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle 
		$\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip
 
On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$.
 
On suppose que l'origine O du repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $|a| = |b| = |c|$. 
		
		En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. 
		\item Montrer que $a + b + c = 0$.
		 
		\item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. 
		\item En utilisant la partie A, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$.  
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.  
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. 
		\item Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Transmath page 369
Laura débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que de perde la première partie.

\noindent On admet que si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est 0,6 ; si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la suivante est 0,7.

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\text{G}_n$ l'événement \og{} Laura gagne la $n\ieme{}$ partie\fg. 


\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilités $p\left(\text{G}_n\right)$ et $p\left(\overline{\text{G}_n}\right)$.

\item  Pour tout entier $\geqslant 1$, on pose : 
$x_n =p\left(\text{G}_n\right)\text{ et }y_n=p\left(\overline{\text{G}_n}\right).$

Prouver que, pour tout entier $n \geqslant  1$ : 

$\left\{\begin{array}{l}x_{n+1} =0,6x_n + 0,3y_n\\y_{n+1}= 0,4x_n +0,7y_n \end{array}\right.$

\item Pour tout entier $n\geqslant 1$ , on pose : 

$v_n=x_n+y_n\text{ et }w_n=4x_n-3y_n.$

\begin{enumerate}
\item a) Prouver que la suite $\left(v_n\right)$ est constante. 

\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant 1$ , exprimer $x_n$ en fonction de $n$.

\item Prouver que la suite $\left(x_n\right)$ converge vers un nombre que à préciserer.

\noindent Interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}



\end{enumerate}




\subsection{}%Métropole juin 2012
 
\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
& $u$ est un réel.\\
Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
 
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
\item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. 
\item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\numprint{1000} &\numprint{1500} &\numprint{2000}\\ \hline 
$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
 
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]
 
où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier strictement positif. 

Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$.

En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.

Démontrer l'inégalité 	$\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1). 
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]
  
		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item  Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. 
\end{enumerate}



\subsection{}%Nouvelle Calédonie mars 2012
On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
 
L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
 
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
 
On considère les évènements suivants :
 
$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 

$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. 
		\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. 
	\end{enumerate}
\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item On donne le tableau suivant: 

\medskip

\hspace{-1cm}\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$P(X < k)$ &\numprint{0,0091}&\numprint{0,0637}  &\numprint{0,2110} &\numprint{0,4467} &\numprint{0,6943} &\numprint{0,8725} &\numprint{0,9616} &\numprint{0,9922}& \numprint{0,9990}&\numprint{0,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip

Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
 
À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

%Test de dépistage 
%
%Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 1 0-4 près. 
%Dans un pays, 2 % de la population est contaminée par un virus. 
%A. On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes: 
%_ la probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est 0,99 (sensibilité du test) ; 
%-la probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97 (spécificité du test). 
%On fait passer ce test à une personne choisie au hasard dans cette population. 
%On note V l'événement « La personne est contaminée par le virus» et T l'événement « Le test est positif D. 
%Traduisez la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
%
%Démontrez que la probabilité que le test soit positif est 0,0492. 
%3. a) Justifiez par le calcul la phrase suivante: 
%« Si le test est positif, il y a environ 40 % de chanco , que la personne soit contaminée ». 
%b) Déterminez la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée sachant que son test est négatif. 
%B. On choisit successivement et au hasard dix personnes de la population. 
%On considère que les choix sont indépendants. 
%On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées parmi ces dix person nes. 
%1. Justifiez que X suit une loi binomiale dont vo us préciserez les paramètres. 
%2. Calculez la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les dix. 

\label{fin}
\end{document}  