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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 3 }}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie septembre 2013
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On considére l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à  $K$\\ 
&Affecter 2 à  $U$ \\
&Affecter 10 à  $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à  $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à  $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à  $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à  $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline 
1&&&\\ \hline
2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PARTIE  B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: $
		\[v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right).\] 
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose \[w_{n} = v_{n} - u_{n}.\]
		 
Montrer que pour tout entier naturel $n$,\[w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n.\]
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
		\item En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. 
\item Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 

En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. 
\end{enumerate}

\subsection{}%mérique du Sud  novembre 2011

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation 

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2~cm. 

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ o˘ :
 
\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

		\item Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Construire les points C et D dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Expliquer la construction proposée.
\end{enumerate}

\subsection{}%Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. 
\item En déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 

\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \]

\begin{enumerate}
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. 
		\item Démontrer que E est un point de la droite (AB).
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :

\[\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] 

\item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ 
appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).
\end{enumerate}

\end{multicols}
\large
\subsection{\textcolor{blue}{Fonction limite d'une suite de fonctions}}
 Pour tout entier $n\geqslant l$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^n}.\]
On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$.· 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, pour $n\geqslant 1$, les variations de $f_n$. 

\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_n$ passent toutes par deux points fixes (indépendants de $n$) que l'on déterminera. 

\item Soient deux entiers $n$ et $m$ non nuls avec $n < m$.\\
Comparer $f_n(x)$ et $f_m(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
En déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_n$ et $\mathscr{C}_m$.
\end{enumerate}

\item On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_1$ , $\mathscr{C}_2$ , $\mathscr{C}_3$ , $\mathscr{C}_{10}$  et $\mathscr{C}_{100}$ .
\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=7.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0.0}{4.0}{1/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.0}{4.0}{1/(1+x^3)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x^10)}
\psplot[plotpoints=300,linecolor=red]{0.0}{4.0}{1/(1+x^100)}

\uput[r](2,0.35){$\mathscr{C}_1$}
\uput[r](2,0.22){$\mathscr{C}_2$}
\uput[r](2,0.13){$\mathscr{C}_3$}
\uput[r](0.8,0.83){$\mathscr{C}_{10}$}
\uput[r](0.85,1){$\mathscr{C}_{100}$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, selon la valeur du réel $x \geqslant 0$, la limite de $f_n(x)$ lorsque que $n$ tend vers $+\infty$. 

\item Démontrer la conjecture émise à la question précédente. 


\item Pour tout réel $x \geqslant  0$, on note $f(x) = \lim_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)$.\\
On définit ainsi une fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\\
Expliciter la fonction f . 

\item La fonction $f$ est-elle continue sur $[0~;~+\infty[$ ? 

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  