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% pour le pied de page central
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\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sin 3x-3\sin x$.
\begin{enumerate}
\item Comparer $f(x+2\pi)$, $f(-x)$ et $f(\pi-x)$ à $f(x)$.\\
En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\item Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-6\sin x\sin 2x$.

\item Étudier les variations de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-2\pi~;~2\pi]$
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{Notation} : soit $f$ une fonction que l'on peut dériver autant de fois que l'on veut (fonction indéfiniment dérivable) ; on note $f^{(n)}$ sa dérivée d'ordre $n$. Par conséquent $f'=f^{(1)}$, $f''=f^{(2)}$ et plus généralement $f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$.\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)$.\\
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0~;~+\infty[$.\\
On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
Soit $M$ un point quelconque de sa courbe représentative $\mathscr{C}$ et soit $A(1~;~0)$.
\begin{enumerate}
\item À l'aide du logiciel Geogebra, conjecturer la position de M rendant la longueur AM minimale.

\item On note $x$ l'abscisse de M ; montrer que $\text{AM}=\sqrt{x^2-x+1}$.

\item On note $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{x^2-x+1}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ puis étudier son signe.

\item En déduire le tableau de variation de $g$.

\item En déduire l'abscisse de $x$ qui rend la distance AM minimale et donner cette longueur minimale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x^3-3x-4$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, que l'on appellera $\alpha$.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction défiinie sur $]1;+\infty[$ par : $f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est dérivable et que $f'$ a le même signe que $g$ sur $]1.+\infty[$.
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son intervalle de définition, construire le tableau de variation de $f$ et donner une valeur approchée de $f(\alpha)$.
\item Démontrer que la droite d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique pour $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette asymptote.
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2.
\item Construite $\mathscr{C}_f$, ses asymptotes et les tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points d'abscisses $\alpha$ et 2.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
\noindent $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^4-x^3+x^2-\dfrac{3}{4}x+1.\]
$\mathscr{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repËre.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée $f'$, puis $f''$.

\item Étudier le signe de $f''$ ; en déduire le tableau de variations de $f'$.

\item Calculer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ; en déduire le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$.

\item Donner les équations des tangentes $T$ et $T'$ ‡ $\mathscr{C}$ en -1 et en 1.\\
Tracer les deux tangentes $T$, $T'$ et $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
 Pour tout entier $n\geqslant 1$, on considère la fonction $f_n$ définie sur [0~;~1] par :\[f_n(x)=x^n\sqrt{1-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f_1$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer $f_1'(x)$ et déterminer son signe.
      
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f_1$.

\item En déduire que la fonction $f_1$ admet sur [0~;~1] un maximum en une valeur $x_1$ que l'on précisera.
\end{enumerate}

\item Étude des fonctions $f_n$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de [0~;~1[, \[f_n'(x)=\dfrac{x^{n-1}[2n-(2n+1)x]}{2\sqrt{1-x}}.\]

\item Déterminer le signe de $f_n'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.

\item En déduire que, pour tout entier $n\geqslant 1$, la fonction $f_n$ admet sur [0~;~1] un maximum en une valeur $x_n$ que l'on précisera.
\end{enumerate}

\item Étude de la suite $\left(x_n\right)$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(x_n\right)$ est croissante.

\item Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}
